基于單元模態(tài)應(yīng)變能與區(qū)間分析的不確定性損傷識別

魯四平，張會峰，黃方林

(中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075)

土木工程結(jié)構(gòu)在服役期間，由于長期的荷載作用、疲勞效應(yīng)、環(huán)境腐蝕、突發(fā)效應(yīng)等因素的影響，內(nèi)部結(jié)構(gòu)必然會出現(xiàn)一定程度的損傷。當(dāng)損傷累計達(dá)到一定程度時，可能會造成不可逆轉(zhuǎn)的影響。為此，對既有結(jié)構(gòu)進行健康監(jiān)測具有重要的工程應(yīng)用價值。損傷識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的重要組成部分，已取得一定的成果，在固有頻率、振型、單元模態(tài)應(yīng)變能等基礎(chǔ)上，提出靜動力指紋識別方法。為精確地反映結(jié)構(gòu)的真實物理特性，提出基于模型修正的損傷識別方法。僅通過所檢測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)來分析結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化，提出基于實測時域信號的識別方法，以及通過與大數(shù)據(jù)下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)相結(jié)合，提出基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)損傷識別等方法[1]。其中基于模態(tài)應(yīng)變能的損傷識別方法由于其廣泛的適應(yīng)性和有效性，已成為結(jié)構(gòu)損傷領(lǐng)域的一個重要研究方向。STUBBS等[2?3]首先把模態(tài)應(yīng)變能方法用于損傷破壞的診斷。隨后其對損傷指標(biāo)進行改進并在簡支鋼橋上進行準(zhǔn)確的損傷定位。SHI等[4]提出利用單元模態(tài)變化率對結(jié)構(gòu)進行損傷識別，并在2層平面鋼架上進行了實驗，驗證了所提方法的準(zhǔn)確性。劉暉等[5]將材料領(lǐng)域的耗散率引入到單元模態(tài)應(yīng)變能理論中，提出一種新的損傷識別方法。顏王吉等[6]利用單元模態(tài)應(yīng)變能和泰勒公式，導(dǎo)出了單元模態(tài)應(yīng)變能1階與2階靈敏度損傷識別方法。YANG等[7]結(jié)合跨模型模態(tài)應(yīng)變能和同步優(yōu)化的優(yōu)點，提出了一種2階段損傷識別方法，基于模態(tài)應(yīng)變能建立損傷指標(biāo)，然后針對傳統(tǒng)靈敏度分析計算量大的問題，引入同步優(yōu)化的方法進行損傷識別。HOSSEINI等[8]對基于模態(tài)應(yīng)變能的損傷識別方法進行研究，定義一種新的損傷識別影響因子，最后對所得的結(jié)果進行評價，為每一個基于該影響因子的數(shù)值算例引入最佳目標(biāo)函數(shù)?，F(xiàn)有方法大多沒有考慮諸多不確定性因素的影響，如測量誤差、結(jié)構(gòu)體系的復(fù)雜性、環(huán)境噪聲等[9]，這些因素可能導(dǎo)致?lián)p傷識別精度下降，甚至出現(xiàn)誤判。如何有效地解決測試中不確定性因素的影響[10]成為損傷識別中迫切需要解決的問題之一。目前，現(xiàn)有的不確定性分析技術(shù)方法有概率計算法、模糊計算法和區(qū)間分析方法。前2種方法都需要大量的實驗數(shù)據(jù)進行計算才能確定參數(shù)所服從的概率密度函數(shù)和隸屬度函數(shù)，在實際應(yīng)用上具有一定的限制。區(qū)間分析方法[11]則很好地解決了測量數(shù)據(jù)較少、結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征量界限難以量化的問題。王曉軍等[12]較早提出將區(qū)間分析方法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)損傷識別中。駱勇鵬等[13]提出了一種適用于當(dāng)概率分布未知和數(shù)據(jù)樣本較少時的不確定性損傷識別方法，并通過數(shù)值模擬算例和實測斜拉橋驗證了方法的可行性和有效性。方圣恩等[14]在模態(tài)區(qū)間分析理論中，引入改進解析冗余度，提出一種嶄新的損傷識別方法，解決了經(jīng)典區(qū)間算法出現(xiàn)的區(qū)間擴張問題。本文首先基于多次重復(fù)測量數(shù)據(jù)，提出采用區(qū)間數(shù)來量化響應(yīng)的不確定性，結(jié)合單元模態(tài)應(yīng)變能理論，建立區(qū)間損傷識別方程組；然后，引入快速非支配排序遺傳算法(NSGA-Ⅱ)求解該方程組，計算單元剛度折減系數(shù)區(qū)間范圍，采用區(qū)間重疊度與區(qū)間中值距離構(gòu)造損傷定位和損傷定量指標(biāo)進行損傷識別；最后，采用數(shù)值模擬驗證所提方法的有效性和可行性。

1 基于單元模態(tài)應(yīng)變能理論和區(qū)間分析的不確定性損傷識別

1.1 基于單元模態(tài)應(yīng)變能的結(jié)構(gòu)損傷識別理論

單元模態(tài)應(yīng)變能只與單元的剛度和單元對應(yīng)的振型向量有關(guān)。單元模態(tài)應(yīng)變能[6]為：

其中：φk表示第k階振型向量；Ki是單元矩陣在整體坐標(biāo)系下擴階而來的。

以單元模態(tài)應(yīng)變能的改變作為損傷識別的基本特征，依據(jù)單元模態(tài)應(yīng)變能理論，將單元剛度的折減來作為損傷指標(biāo)，文獻(xiàn)[6]已經(jīng)對其進行了理論推導(dǎo)，得出結(jié)構(gòu)的損傷識別方程組為：[A]{α}={ΔS}，即：

式中，損傷后的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征量用上標(biāo)加d表示。下標(biāo)n表示結(jié)構(gòu)被分為n個單元。αi為第i單元的剛度折減系數(shù)；φdk為單元損傷后的第K階振型；λk為結(jié)構(gòu)損傷前后的第k階特征值；Ki是單元矩陣K e i在整體坐標(biāo)系下擴階而來的；M為整體剛度矩陣。通過求解矩陣中的αi即可確定單元的損傷定位和損傷定量。

1.2 區(qū)間分析理論

區(qū)間分析可大致分為區(qū)間算數(shù)運算法，區(qū)間截斷法，區(qū)間組合法[15]和區(qū)間優(yōu)化算法[16]。但無論是區(qū)間算數(shù)方法還是區(qū)間組合方法都要求響應(yīng)量隨著變量在區(qū)間內(nèi)單調(diào)變化，或者要求變量之間相互獨立。但是，在仿真或者實驗中很難看出響應(yīng)量在變量區(qū)間中的規(guī)律變化，單純的利用區(qū)間算數(shù)或者區(qū)間組合就會導(dǎo)致區(qū)間出現(xiàn)擴張，難以滿足實際要求。

區(qū)間優(yōu)化算法能較好地解決上述出現(xiàn)的問題。NSGA-Ⅱ遺傳算法是一種快速非支配多目標(biāo)優(yōu)化算法。求解區(qū)間范圍的流程如下：1)在變量區(qū)間內(nèi)隨機生成一個由多個個體組成的初始種群P0，以函數(shù)minf(a)作為目標(biāo)函數(shù)，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法對minf(a)進行優(yōu)化求解，將得到目標(biāo)函數(shù)值的最優(yōu)解αi作為下限值。2)同理以種群P1為初始種群，采用NSGA-Ⅱ遺傳算法求解響應(yīng)量αi的上限值，因此也就得到了響應(yīng)量c的取值范圍。即在區(qū)間的變化范圍內(nèi)求區(qū)間的上下限。

式中：minf(a)，maxf(a)為優(yōu)化函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)。

利用NSGA-Ⅱ遺傳算法求解上述2個優(yōu)化方程，所得到的最大化和最小化函數(shù)的解即為響應(yīng)量αi的區(qū)間范圍。

2 不確定性損傷識別的區(qū)間算法流程

2.1 損傷指標(biāo)不確定性量化

因為在實際工程測量中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)往往會受到很多不確定性因素的影響，并且往往結(jié)構(gòu)在實際的實驗過程中無法測得足夠多的實驗數(shù)據(jù)，用來確定參數(shù)服從的概率密度函數(shù)。而區(qū)間分析理論則只需很少的實測數(shù)據(jù)即可對其進行損傷識別。因此損傷識別步驟為：

1)多次重復(fù)測試數(shù)據(jù)，求出系數(shù)矩陣、系數(shù)向量中各個元素的取值區(qū)間。系數(shù)矩陣及系數(shù)向量也就變成區(qū)間矩陣。

2)損傷識別方程也變成損傷區(qū)間識別方程組。

3)在此基礎(chǔ)上，采用NSGA-Ⅱ區(qū)間優(yōu)化算法求解損傷區(qū)間方程組，并轉(zhuǎn)化成為對區(qū)間向量中各元素上下界的優(yōu)化問題。

假設(shè)αi為第i個單元剛度損傷指標(biāo)，則它的最小值和最大值將轉(zhuǎn)化為：

單元剛度損傷矩陣αi的求解也就轉(zhuǎn)變成已知變量取值范圍下，αi求解最大值最小值的問題。多次重復(fù)上述操作即可得到單元剛度損傷指標(biāo)α的區(qū)間向量：

2.2 基于區(qū)間分析的損傷指標(biāo)構(gòu)建

對相關(guān)結(jié)構(gòu)進行測試，獲得相關(guān)測試數(shù)據(jù)后，采用前述損傷識別步驟可得出損傷識別指標(biāo)αi的損傷區(qū)間，，由于通過區(qū)間的相互分離來判定結(jié)構(gòu)是否發(fā)生損傷顯得不夠直觀和明顯，因此定義區(qū)間重疊度[17]來進行識別：

通過計算OP指標(biāo)的所有情況如下：

由圖1可以看出，OP=1，以及OP≈1時可以判定結(jié)構(gòu)未發(fā)生損傷；OP≤0，判定結(jié)構(gòu)嚴(yán)格發(fā)生損傷；當(dāng)0

圖1 區(qū)間重疊度示意圖Fig.1 Overlapping rate

當(dāng)αi和的中值分別與的下限和αi的上限重合時，OP=1/3，故選取1/3作為判斷結(jié)構(gòu)是否損傷的閾值。當(dāng)OP<1/3時，定義為損傷；反之，OP>1/3時，結(jié)構(gòu)未損傷。

定義區(qū)間中值的差值IM作為損傷程度的定量標(biāo)準(zhǔn)，

3 數(shù)值模擬驗證

簡支梁長6 m，梁截面為0.2×0.25 m2，彈性模量E=32 GPa，密度ρ=2 500 kg/m3，梁被劃分成12個單元，單元均長為0.5 m。采用降低單元剛度的方式來模擬結(jié)構(gòu)單元損傷，共設(shè)計3個損傷工況，不同工況對應(yīng)不同損傷位置及單元損傷程度，見表1。

表1 損傷工況Table 1 Damage cases

在實際工程測量中，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)往往會受到測試噪聲的影響，考慮觀測數(shù)據(jù)不確定性的影響是很有必要的。測量噪聲采用均值為0，方差為1高斯白噪聲模擬，并將其直接加入到測量的振型和頻率中去，因此加入噪聲后的頻率和噪聲分別為：

式中：wk與分別為受噪聲污染前后的第k階特征值；φki與分別為受噪聲污染前后的第k階第i單元的振型；rw,rφ分別為特征值與振型的噪聲水平；頻率噪聲、振型噪聲為1%，3%，5%，用來考慮模型誤差和測量誤差；ρ為隨機變量，服從于均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。由于在實際的測量過程中往往無法測得足夠多的數(shù)據(jù)，本文采用重復(fù)多次(50次)的方法，模擬來求的結(jié)構(gòu)狀態(tài)特征量的取值區(qū)間。

按照區(qū)間分析的損傷指標(biāo)不確定性量化識別步驟進行計算各損傷工況下的αi的取值區(qū)間以及OP取值表見圖3～5與表2。由圖2和圖3可知在噪聲水平為1%和3%情況下，損傷單元在損傷狀態(tài)下與健康狀態(tài)下的區(qū)間完全分開，嚴(yán)格判定結(jié)構(gòu)損傷,并沒出現(xiàn)誤判與漏判的情況；當(dāng)噪聲水平為5%時，損傷單元取值區(qū)間出現(xiàn)重合，故采用OP指標(biāo)進行判定。根據(jù)表2可得出，區(qū)間重疊度指標(biāo)值均小于1/3，判定結(jié)構(gòu)出現(xiàn)損傷，損傷識別未出現(xiàn)誤判和漏判。

圖2 簡支梁的模型Fig.2 Simply beam model drawing

表2 5%噪聲水平下D1損傷工況下的OP指標(biāo)Table 2 OP index under D1 damage condition under 5%noise level

圖3 噪聲水平為1%時，健康狀態(tài)和損傷狀態(tài)下的αi區(qū)間范圍Fig.3 Range ofαi values for healthy and damaged states at 1%noise level

圖4 噪聲水平為3%時，健康狀態(tài)和損傷狀態(tài)下的αi區(qū)間范圍Fig.4 Range ofαi values for healthy and damaged states at 3%noise level

圖5 噪聲水平為5%時，健康狀態(tài)與損傷狀態(tài)下的αi區(qū)間范圍Fig.5 Range ofαivalues for healthy and damaged states at 5%noise level

其次采用IM指標(biāo)進行損傷程度識別，結(jié)果如表3所示。為了進一步描述識別效果的好壞，定義損傷程度相對識別誤差值：

式中：?是采用本文方法所測得的結(jié)果；αi是真實的損傷值；|·|是結(jié)果的絕對值。

由表3～4可知：

表3 各噪聲水平下各損傷工況的IM指標(biāo)Table 3 IM index of each damage condition under various noise levels

1)對于任何損傷工況，本方法均能準(zhǔn)確對單元進行損傷定位，未出現(xiàn)誤判和漏判；

2)隨著噪聲水平的增大，損傷程度的識別精度有所降低，在5%噪聲水平工況下，損傷單元損傷程度最大識別誤差為7.6%。

表4 最大相對識別誤差Table 4 Maximum relative recognition error

4 結(jié)論

1)土木工程結(jié)構(gòu)常常受到各種不確定性因素的影響，原有模態(tài)應(yīng)變能理論以確定性分析方法為主，提出一種基于單元模態(tài)應(yīng)變能理論與區(qū)間分析理論相結(jié)合的不確定性損傷識別方法，通過區(qū)間重疊度與區(qū)間中值距離構(gòu)造損傷定位和損傷定量指標(biāo)，識別損傷的目的。

2)數(shù)值算例表明，在不確定性因素的影響下，該方法能對損傷單元進行準(zhǔn)確定位，其損傷程度的定量識別精度隨著噪聲水平的增大而有所降低，當(dāng)噪聲水平取5%時，損傷最大相對識別誤差值為7.6%。