非線性濾波技術(shù)在GPS動(dòng)態(tài)濾波中的運(yùn)用

陳治國(guó)

(中國(guó)空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471000)

0 引言

GPS全球定位系統(tǒng)為新一代的精密衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)，在軍事、民用領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用，但因GPS定位含有很多誤差源，分別是測(cè)量隨機(jī)誤差與衛(wèi)星的結(jié)合位置誤差等，對(duì)定位精準(zhǔn)性形成較大影響，GPS動(dòng)態(tài)濾波是解除GPS定位隨機(jī)誤差額度有效方法之一。基于非線性濾波技術(shù)實(shí)現(xiàn) GPS動(dòng)態(tài)濾波，能顯著提升 GPS導(dǎo)航定位的精準(zhǔn)度。本文主要探究各種卡爾曼濾波方法在GPS定位估計(jì)方面的應(yīng)用情況。

1 非線性濾波技術(shù)

1.1 擴(kuò)展卡爾曼濾波

在上個(gè)世紀(jì)70年代后期，Sunahara等人專注于研究在非線性系統(tǒng)及觀測(cè)下 Kalman濾波理論的擴(kuò)展情況，明顯拓展了 Kalman濾波的適用范疇。擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）是一種應(yīng)用范圍十分廣泛的非線性系統(tǒng)濾波方程。為應(yīng)對(duì)一些缺少相關(guān)原始狀態(tài)信息與先驗(yàn)知識(shí)可供應(yīng)用狀況下的濾波，F(xiàn)raser提出了信息濾波的概念，這種算法在處理測(cè)量更新問題方面表現(xiàn)出良好效能，但時(shí)間更新時(shí)需要進(jìn)行大量的計(jì)算工作。

1.2 Unscented卡爾曼濾波（UKF）

EKF算法應(yīng)用時(shí)暴露出兩個(gè)不足：一是線性化假設(shè)不成立時(shí)，會(huì)造成濾波器十分不穩(wěn)定；二是很難精準(zhǔn)地計(jì)算出Jacobi與Hesse矩陣。為處理以上問題，國(guó)外學(xué)者提出了一種較適用于非線性系統(tǒng)的濾波器，即UKF。和EKF算法最大的不同是，UKF算法利用確定性采樣所得的sigma點(diǎn)去表示系統(tǒng)額度屬性，能做出更精準(zhǔn)的估計(jì)結(jié)果。對(duì)于任何一個(gè)非線性系統(tǒng)，UKF算法對(duì)于高斯、非高斯輸入量至少能分別達(dá)到最優(yōu)估計(jì)的三、二階近似，和EKF算法相比有很大提升[1]。

1.3 魯棒濾波

常規(guī)Kalman濾波算法是基于H2估算準(zhǔn)則為基礎(chǔ)建設(shè)的，在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中，很難全面了解外界干擾信號(hào)的統(tǒng)計(jì)屬性，且系統(tǒng)模型本體存有一定攝動(dòng)，實(shí)質(zhì)上就是外界干擾與系統(tǒng)均帶有不確定性。魯棒控制就是針對(duì)如上特點(diǎn)，導(dǎo)入魯棒控制思維，誘導(dǎo)魯棒濾波理論的生成與發(fā)展過程，H∞濾波便是十分經(jīng)典的方法。

2 GPS導(dǎo)航系統(tǒng)內(nèi)非線性濾波技術(shù)的應(yīng)用

2.1 EKF

2.1.1 技術(shù)處理

在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)內(nèi)，卡爾曼濾波是常用的定位解算算法，但真實(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)及觀測(cè)模型都是非線性的，故而在現(xiàn)實(shí)運(yùn)用中應(yīng)用的是EKF。

2.1.2 仿真分析

觀測(cè)時(shí)間間隔 T=l s，用戶初始位置：（–1727947.4，4982862.9，3575658.9）m，初始速度：（100，100，100）m/s，初始加速度：（10，10，10）m/s2，三個(gè)方向的加速度正上、負(fù)下限分別取15 m/s2、–15 m/s2，應(yīng)用二炮接收機(jī)實(shí)測(cè)仿真內(nèi)的形成的衛(wèi)星信息，求算出衛(wèi)星位置[3]。

結(jié)合仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)伴隨抽樣點(diǎn)位置的改變，真實(shí)值與估計(jì)值均有不斷增加的趨勢(shì)，濾波走勢(shì)相對(duì)穩(wěn)定后兩條曲線基本吻合，顯現(xiàn)出線性改變趨勢(shì)。但在濾波早期，實(shí)際值和估計(jì)值之間形成較大偏差。在應(yīng)用“當(dāng)下”統(tǒng)計(jì)模型時(shí)，EKF算法在 X、Y、Z三個(gè)方向的最大定位誤差依次是0.5008 mm、1.885 mm、2.278 mm，速度最大誤差估計(jì)依次是2.064 m/s、5.821 m/s、6.777 m/s，均符合m級(jí)精準(zhǔn)度要求。

2.2 UKF

2.2.1 UT變換

UT方法為UKF算法的核心。UT變化的思想主要是采用定量的闡述去進(jìn)食一個(gè)高斯分布，和近似任何一個(gè)非線性函數(shù)或變換相比較其更加簡(jiǎn)單容易。其實(shí)現(xiàn)原理可以做出如下闡述：依照某個(gè)規(guī)則在原先狀態(tài)分布內(nèi)取一些點(diǎn)，使這些點(diǎn)的平均值、協(xié)方差和原狀態(tài)分布的均值與協(xié)方差持平；把以上這些點(diǎn)代進(jìn)非線性函數(shù)，這樣便能獲得非線性函數(shù)值點(diǎn)集，利用這些點(diǎn)集求算出變換以后的均值與協(xié)方差；因?yàn)橐陨纤玫暮瘮?shù)值未經(jīng)過線性化處理，也沒有重視自身的高階項(xiàng)，故而基于此估計(jì)所得的平均值和協(xié)方差和EKF方法相比較精準(zhǔn)度更高。

2.2.2 應(yīng)用與分析

解讀UKF算法對(duì)GPS系統(tǒng)動(dòng)態(tài)濾波的仿真情況[4]。關(guān)于UKF算法三個(gè)方向的位置和速度誤差對(duì)比的情況，發(fā)現(xiàn)UKF位置估計(jì)值自開始便和真實(shí)軌跡有較高的吻合度，表現(xiàn)出均勻增長(zhǎng)的線性改變趨勢(shì)。EKF、UKF算法三維位置估計(jì)的誤差最大值以及位置誤差樣本標(biāo)準(zhǔn)差，如表 1。比較發(fā)現(xiàn)，在三個(gè)坐標(biāo)方向的最大位置誤差指標(biāo)上，UKF都比EKF濾波提升了25%之上。對(duì)比兩種算法的位置誤差標(biāo)準(zhǔn)差，發(fā)現(xiàn)三個(gè)方向均有提升[5]。

表1 UKF、EKF算法的應(yīng)用情況Tab.1 application of UKF and EKF algorithms

基于以上仿真結(jié)果與分析說明，不難發(fā)現(xiàn)在非線性系統(tǒng)內(nèi)，和EKF相比較，UKF的性能更加優(yōu)異。UKF無需對(duì)狀態(tài)及測(cè)量方程進(jìn)行線性化近似處理，規(guī)避了非線性系統(tǒng)線性化過程生成的誤差問題，且在計(jì)算量上和EKF沒有顯著差異。從某個(gè)角度分析，UKF能夠?qū)KF取而代之用于非線性系統(tǒng)內(nèi)。

2.3 H∞濾波

在上個(gè)世紀(jì)90年代，H∞濾波理論成為了魯棒估計(jì)領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)之一，其設(shè)計(jì)的主要思路如下：研發(fā)出一種濾波器，對(duì)應(yīng)的性能指標(biāo)是外界干擾信號(hào)到估計(jì)誤差信號(hào)的H∞范數(shù)，這樣當(dāng)面對(duì)各種外界干擾信號(hào)時(shí)，能將估計(jì)誤差值降到最低水平。

2.3.1H∞濾波問題的表達(dá)

本文主要研究最優(yōu)H∞濾波的定義，具體是探尋到H∞估計(jì)，進(jìn)而獲得，推導(dǎo)出正定矩陣P0。參照以上做出的定義，不難發(fā)現(xiàn)H∞最優(yōu)濾波器針對(duì)所有具有確定能量的可能干擾輸入，確保將估計(jì)誤差能量增益控制到最小。但以上所得結(jié)果過于保守，如下給出了次優(yōu)H∞濾波問題的定義：具體是給定正數(shù)γ〉0，探尋到次優(yōu)H∞估計(jì)

2.3.2 分析及應(yīng)用

參照GPS導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)方程與量測(cè)方程的計(jì)算方法，離散化以后，最后的狀態(tài)及量測(cè)方法可以用式（5）表示：

H∞濾波器設(shè)計(jì)階段，伴隨參數(shù)γ取值的減小，那么其所對(duì)應(yīng)的H∞濾波器的魯棒性就有一定強(qiáng)化；參數(shù)γ達(dá)最優(yōu)值時(shí)，此時(shí)便能獲得H∞最優(yōu)濾波器，這種濾波器對(duì)外界干擾信號(hào)表現(xiàn)出很強(qiáng)的魯棒性，但是其估計(jì)相對(duì)較保守，且只能在特殊情境下才能獲得其最優(yōu)閉環(huán)解。鑒于以上情況，通常利用探求其次優(yōu)解的方式去代替?？偨Y(jié)H∞濾波的仿真結(jié)果[7]，發(fā)現(xiàn)和UKF、EKF算法相比較，H∞濾波在三個(gè)方向位置最大誤差是分別提升 90%、17%以上，且H∞濾波的收斂速度和其他兩個(gè)算法相比較有很大提升。綜合以上所得的仿真及分析結(jié)果，不難發(fā)現(xiàn)和UKF、EKF相比，H∞濾波能更好的修正GPS導(dǎo)航系統(tǒng)，位置與速度精準(zhǔn)度均有顯著提升，濾波誤差收斂速度更快。并且不必實(shí)時(shí)計(jì)算系統(tǒng)噪聲方差陣，降低了濾波的計(jì)算量，能取得更優(yōu)秀的濾波效果[8]。

3 結(jié)語

當(dāng)下，GPS導(dǎo)航系統(tǒng)在軍事、民用等諸多領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用，但是在部分場(chǎng)合，尤其是高動(dòng)態(tài)環(huán)境下，初有的定位方法已經(jīng)不能滿足不斷提升的性能要求。本文主要針對(duì)高動(dòng)態(tài)用戶設(shè)計(jì)定位算法，將卡爾曼最優(yōu)估計(jì)理論用在GPS導(dǎo)航定位范疇中，明顯提升了用戶定位的精準(zhǔn)性，使系統(tǒng)運(yùn)行可靠性得到更大保障。和UKF、EKF相比，H∞濾波能更好的修正GPS導(dǎo)航系統(tǒng)，位置與速度精準(zhǔn)度均有顯著提升，濾波誤差收斂速度更快。