輪對(duì)系統(tǒng)的Hopf 分岔研究1)

武世江 張繼業(yè) ,2) 隋 皓 殷中慧 胥 奇

* (西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

? (西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院,成都 610031)

引言

近年來(lái)隨著高速列車運(yùn)行速度的提高,車輛系統(tǒng)的蛇行失穩(wěn)問(wèn)題越發(fā)突出,蛇形運(yùn)動(dòng)作為車輛系統(tǒng)的固有屬性,嚴(yán)重影響著車輛系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性、乘坐舒適性和安全性[1],對(duì)車輛系統(tǒng)進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)理論方面的研究,不僅可以從車輛動(dòng)力學(xué)角度更加全面地了解蛇形運(yùn)動(dòng),而且對(duì)車輛系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與參數(shù)優(yōu)化也具有非常重要的意義.

在國(guó)外研究中,True[2]用延續(xù)算法求解了非線性車輛系統(tǒng)中的分岔問(wèn)題.Wagner[3]將非線性輪軌力分段函數(shù)擬合為關(guān)于橫移量的三次方與五次方的疊加函數(shù),并用該非線性輪軌函數(shù)求解了輪對(duì)系統(tǒng)的分岔圖,極大地方便了理論研究非線性輪軌接觸對(duì)輪對(duì)蛇形運(yùn)動(dòng)的影響.Zboinski 和Dusza[4-6]研究了車輛系統(tǒng)中懸掛參數(shù)、曲線半徑、踏面和車輪名義滾動(dòng)圓半徑在曲線軌道上的穩(wěn)定性.Kim 等[7]建立了31 個(gè)自由度的車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,通過(guò)分岔圖研究發(fā)現(xiàn)輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度對(duì)應(yīng)亞臨界Hopf 分岔,而非線性臨界速度對(duì)應(yīng)的是一個(gè)鞍結(jié)點(diǎn).Park 等[8]利用分岔理論研究了懸掛參數(shù)與輪軌接觸關(guān)系對(duì)車輛系統(tǒng)蛇形運(yùn)動(dòng)的影響,發(fā)現(xiàn)輪軌接觸關(guān)系比懸掛參數(shù)更加影響車輛系統(tǒng)的蛇形運(yùn)動(dòng).

在國(guó)內(nèi)研究中,張衛(wèi)華等[9-10]通過(guò)研究Poincaré 映射面上不動(dòng)點(diǎn)的穩(wěn)定性,得到了軌道車輛系統(tǒng)的周期解,并將其結(jié)果與滾動(dòng)振動(dòng)試驗(yàn)臺(tái)所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析,解釋了相關(guān)結(jié)果出現(xiàn)差異的可能原因.曾京[11]針對(duì)17 個(gè)自由度的經(jīng)典客車模型,應(yīng)用QR 算法和黃金分割法計(jì)算了該客車系統(tǒng)蛇形失穩(wěn)的臨界速度,并用打靶法對(duì)其領(lǐng)域的極限環(huán)進(jìn)行了求解.張繼業(yè)等[12-13]利用Hurwitz 行列式得到了平衡點(diǎn)失穩(wěn)的Hopf 分岔代數(shù)判據(jù),極大地方便了車輛系統(tǒng)中尋找Hopf 分岔點(diǎn)的過(guò)程.黃世凱[14]在研究輪對(duì)系統(tǒng)陀螺效應(yīng)的時(shí)候,定義了輪對(duì)系統(tǒng)的陀螺力貢獻(xiàn)率,但其并沒(méi)有從Hopf 分岔的角度研究陀螺效應(yīng).董浩等[15-16]建立了中國(guó)高速動(dòng)車組CRH2和CRH3 的轉(zhuǎn)向架和半車車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型,采用范式法證明了其在簡(jiǎn)單輪軌接觸關(guān)系下均存在亞臨界和超臨界Hopf 分岔,但并沒(méi)有建立整車動(dòng)力學(xué)模型,所以該結(jié)論不一定適應(yīng)整車動(dòng)力學(xué)模型.高學(xué)軍等[17-20]對(duì)車輛系統(tǒng)提出了“合成分岔圖”,研究發(fā)現(xiàn)車輛系統(tǒng)在擬周期運(yùn)動(dòng)后出現(xiàn)混沌現(xiàn)象.張波等[21-22]對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)進(jìn)行了分析,對(duì)比了考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的分岔圖,研究發(fā)現(xiàn)陀螺力不做功,具有增穩(wěn)效果.Zeng 等[23]在研究輪對(duì)系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)時(shí)發(fā)現(xiàn),輪對(duì)系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)關(guān)于縱向的分量會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而關(guān)于垂向的分量有助于提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性,兩者的綜合作用可以提高車輛系統(tǒng)的臨界速度并抑制極限環(huán)的幅值.張婷婷等[24-25]研究了單輪對(duì)系統(tǒng)的Hopf 分岔類型及其遷移機(jī)理,但該模型過(guò)于簡(jiǎn)單,沒(méi)有考慮陀螺效應(yīng)和阻尼約束.Ge 等[26]用實(shí)測(cè)踏面數(shù)據(jù)修正了輪軌非線性關(guān)系,使用MATCONT 求解了修正后的輪對(duì)系統(tǒng)的周期解,但對(duì)修正后的輪對(duì)系統(tǒng)出現(xiàn)的部分周期解缺少相關(guān)理論解釋.

目前關(guān)于輪對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的文獻(xiàn)中,缺少同時(shí)考慮陀螺效應(yīng)和退化Hopf 分岔理論的研究.本文在文獻(xiàn)[3]的基礎(chǔ)上,研究輪對(duì)系統(tǒng)中有、無(wú)陀螺效應(yīng)對(duì)單參數(shù)下的Hopf 分岔類型以及雙參數(shù)下的退化Hopf 分岔的影響.

1 考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)模型

1.1 輪對(duì)模型建立

輪對(duì)系統(tǒng)作為機(jī)車車輛里面最簡(jiǎn)單的系統(tǒng),研究輪對(duì)系統(tǒng)可以從原理上簡(jiǎn)單的解釋蛇形運(yùn)動(dòng).如圖1 所示,假設(shè)輪對(duì)系統(tǒng)在直線軌道上做微幅振動(dòng),輪軌之間采用kalker[27]線性蠕滑模型,建立考慮陀螺效應(yīng)、剛度約束和非線性輪軌關(guān)系的輪對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型.

圖1 輪對(duì)模型圖Fig.1 Wheelset model diagram

記x=(y,φ)T,主要影響輪對(duì)系統(tǒng)蛇形運(yùn)動(dòng)的橫移和搖頭運(yùn)動(dòng)方程為[3]

式中m,Iz,Iy和W分別為輪對(duì)質(zhì)量、垂向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和軸重;r0,b,l和 λ 分別為名義滾動(dòng)圓半徑、兩滾動(dòng)圓跨距之半、左右懸掛距離之半和踏面等效錐度;kx和ky分別為縱向和橫向剛度;f11,f22,f23和f33分別為縱向蠕 滑系數(shù)、橫向蠕 滑系數(shù)、橫向自旋蠕滑系數(shù)和自旋蠕滑系數(shù);δ1和 δ2為非線性輪軌力系數(shù);v為輪對(duì)運(yùn)行速度,以上各參數(shù)取值見(jiàn)附錄A 中表A1.

方程(1)中的矩陣G為陀螺矩陣[21],可以看出影響輪對(duì)系統(tǒng)陀螺效應(yīng)的主要參數(shù)是橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.本文將動(dòng)力學(xué)方程中不考慮橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的輪對(duì)系統(tǒng)稱為不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),動(dòng)力學(xué)方程中考慮橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的輪對(duì)系統(tǒng)稱為考慮陀 螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng).

1.2 輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式推導(dǎo)

式中p1,p2,p3,f1,f2,g,s和c的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄B 中式(B1)～ 式(B8).

方程(2)的線性部分對(duì)應(yīng)的特征方程如下

根據(jù)Hopf 分岔代數(shù)判據(jù)[12]可知,方程(4)的4 個(gè)特征值中存在一對(duì)純虛根且其余兩個(gè)根的實(shí)部均為負(fù)數(shù)的條件為

其中 Δ3為Hurwitz 行列式.

由方程(5) 可知,當(dāng)輪對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)滿足ai>0 (i=0,1,···,4) 時(shí),令 Δ3=0可得關(guān)于輪對(duì)系統(tǒng)運(yùn)行速度v的一元六次方程如下

其中b0,b1,b2和b3的具體表達(dá)式參見(jiàn)附錄B 中式(B9)～ 式(B12).

令v2=d,由方程(6)可得關(guān)于x的一元三次方程如下

在Hopf 分岔點(diǎn)處,輪對(duì)系統(tǒng)有且僅有一個(gè)線性臨界速度(正實(shí)數(shù)),故方程(7)中的一元三次方程的根中必須有且僅有一個(gè)正實(shí)根,根據(jù)文獻(xiàn)[28]中對(duì)一元三次方程根的討論,令可得考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式為

其中

不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),即橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均為零時(shí),方程(7)中的系數(shù)b0和b1變?yōu)榱?b2和b3也會(huì)分別簡(jiǎn) 化為b22和b33,b22和b33的表達(dá)式見(jiàn)附錄B 中式(B13)和式(B14),方程(7)簡(jiǎn)化為一元一次方程

求得不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式為

其與文獻(xiàn)[24]中是一樣的.

取縱向剛度為4 MN/m,其他參數(shù)取值見(jiàn)附錄A 中表A1,將參數(shù)值代入本文推導(dǎo)的考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)線性臨界速度解析表達(dá)式(8)～ 式(11)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)線性臨界速度解析表達(dá)式(13),求得考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度值為140.5364 m/s,不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度值為135.4532 m/s.

同理取縱向剛度kx為4 MN/m,其他參數(shù)取值見(jiàn)附錄A 中表A1,對(duì)方程(2)的線性部分使用根軌跡法[11]求解Hopf 分岔點(diǎn)處輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度,即設(shè)初速度為v0,步長(zhǎng)為 Δv和特征值控制精為ep.令v=v0,計(jì)算速度v對(duì)應(yīng)的方程(2) 中J(v)矩陣的特征值.然后對(duì)每一個(gè)速度v對(duì)應(yīng)下的所有特征值的實(shí)部取絕對(duì)值,找出每一個(gè)速度v對(duì)應(yīng)的特征值實(shí)部絕對(duì)值的最大值 |Rmax|,若 |Rmax|≤ep,則此時(shí)的速度就是輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度.若|Rmax|>ep,此 時(shí) 當(dāng)Rmax<0 時(shí),則 設(shè)v=v0+Δv,當(dāng)Rmax>0 時(shí),則v=v0?Δv,重復(fù)以上計(jì)算過(guò)程,直到得到滿足控制精度ep的輪對(duì)系統(tǒng)Hopf 分岔線性速度值為止.最后求得考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度值為140.5364 m/s,不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度值為135.4532 m/s.

該結(jié)果與本文推導(dǎo)的考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)線性臨界速度解析表達(dá)式(8)～ 式(11)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)線性臨界速度解析表達(dá)式(13)的結(jié)果是一樣的.

1.3 輪對(duì)系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)參數(shù)分析

由方程(1)中的陀螺矩陣G可知,影響輪對(duì)系統(tǒng)陀螺效應(yīng)的主要參數(shù)為橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,假設(shè)橫向自旋蠕滑系數(shù)和橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的數(shù)值變化不引起輪對(duì)系統(tǒng)其他參數(shù)的變化.

取縱向剛度值為4 MN/m,橫向自旋蠕滑系數(shù)分別取0.01 MN,0.13 MN 與0.2 MN,橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的值從50 k g·m2取到150 k g·m2,其他參數(shù)取附錄A 中表A1,將其代入式(8)～ 式(11)中,得到考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)中,線性臨界速度與橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系如圖2 所示.

圖2 輪對(duì)系統(tǒng)線性臨界速度與橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的關(guān)系Fig.2 The relationship between the linear critical speed of the wheelset system and the lateral moment of inertia

取縱向剛度為4 MN/m,橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別取80 k g·m2,100 k g·m2與120 k g·m2,橫向自旋蠕滑系數(shù)的值從0.001 MN 取到0.25 MN,其他參數(shù)取附錄A 中表A1,將其代入式(8)～ 式(11)中,得到考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)中,線性臨界速度與橫向自旋蠕滑系數(shù)的關(guān)系如圖3 所示.

圖2 與圖3 中Iy為輪對(duì)系統(tǒng)的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,v為輪對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行速度,f23為輪對(duì)系統(tǒng)的橫向自旋蠕滑系數(shù).由圖2 可知,在同一橫向自旋蠕滑系數(shù)下,輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度隨著橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的增大而增大,該變化趨勢(shì)比較明顯.在同一橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下,橫向自旋蠕滑系數(shù)分別為0.01 MN,0.13 MN與0.2 MN 對(duì)應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度依次增大,該變化趨勢(shì)不太明顯.由圖3 可知,在同一橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量下,輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度隨著橫向自旋蠕滑系數(shù)的增大而增大,該變化趨勢(shì)不太明顯.在同一橫向自旋蠕滑系數(shù)下,橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為80 k g·m2,100 k g·m2與120 k g·m2對(duì)應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度依次增大,該變化趨勢(shì)比較明顯.

圖3 輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度與橫向自旋蠕滑系數(shù)關(guān)系Fig.3 The relationship between the linear critical speed of the wheelset system and the lateral spin-slip coefficient

對(duì)比圖2 與圖3 可知,橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在輪對(duì)系統(tǒng)陀螺效應(yīng)中起主導(dǎo)作用,橫向自旋蠕滑系數(shù)起次要作用.

2 輪對(duì)系統(tǒng)第一、第二Lyapunov 系數(shù)的求解

為更好地研究輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)形式,采用分岔理論中的投影法[29-30]求解輪對(duì)系統(tǒng)的第一、第二Lyapunov 系數(shù),從而方便研究輪對(duì)系統(tǒng)在單參數(shù)下的Hopf 分岔類型與雙參數(shù)下的退化Hopf 分岔類型.

2.1 輪對(duì)系統(tǒng)第一Lyapunov 系數(shù)求解

在輪對(duì)系統(tǒng)的Hopf 分岔點(diǎn)處,即v=vcr時(shí),方程(2) 中的矩陣J(v)的特征值中存在一對(duì)純虛根±ω0i 與兩個(gè)具有負(fù)實(shí)部的根,設(shè)矩陣J(v)的特征值為純虛根時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量為q=[x1,x2,x3,x4]T,滿足J(v)q=iω0q,其中

在輪對(duì)系統(tǒng)的Hopf 分岔點(diǎn)處,即v=vcr時(shí),方程(2)中的矩陣J(v) 的轉(zhuǎn)置矩陣為JT(v),該轉(zhuǎn)置矩陣的特征值中存在一對(duì)純虛根 ± iω0和兩個(gè)具有負(fù)實(shí)部的根,設(shè)矩陣JT(v)的特征值為純虛根時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量為p=[x11,x22,x33,x44]T,滿足JT(v)p=?iω0p,其中

從方程(1)中可知非線性輪軌力為關(guān)于橫移量的三次方和五次方的疊加,根據(jù)投影法[29-30]求解可得

當(dāng)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)發(fā)生Hopf 分岔時(shí),若第一Lyapunov 系數(shù)大于零,系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf 分岔.若第一Lyapunov 系數(shù)小于零,系統(tǒng)發(fā)生超臨界Hopf 分岔.若第一Lyapunov 系數(shù)等于零,系統(tǒng)發(fā)生退化的Hopf 分岔.故可通過(guò)計(jì)算輪對(duì)系統(tǒng)的第一Lyapunov 系數(shù)判斷系統(tǒng)發(fā)生的Hopf 分岔類型.

2.2 輪對(duì)系統(tǒng)第二Lyapunov 系數(shù)求解

為研究第一Lyapunov 系數(shù)等于零時(shí)輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔形式,根據(jù)投影法[29-30]求解輪對(duì)系統(tǒng)的第二Lyapunov 系數(shù),其中輪對(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的投影法中各系數(shù)分別如下

3 輪對(duì)系統(tǒng)的分岔圖

3.1 采用打靶法求解輪對(duì)系統(tǒng)分岔圖

采用打靶法[11]求解輪對(duì)系統(tǒng)的分岔圖,其原理為假設(shè)極限環(huán)周期為T,滿足Y(t+T)=Y(t),令t=Tz,則方程(2)可以被表示為

方程(20)滿足邊界條件Y(1)=Y(0),對(duì)方程(20)在區(qū)間[0,1]內(nèi)積分可以得到Y(jié)(1)=G(Y,T,v),使得其滿足

通過(guò)使用得到的輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式(8)～ 式(11)與式(13),參數(shù)值代入附錄A 中表A1,計(jì)算輪對(duì)系統(tǒng)Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度vcr.

取初值分別為T0=2π/ω0,v0=vcr,y=y0,=0,φ=0 和=0,其中,y0為輪對(duì)橫移量初始微小擾動(dòng),使用Newton?Raphson 迭代法[31]求解方程(21),每次使用Newton?Raphson 迭代法求解方程(21)的過(guò)程中,都要用變步長(zhǎng)歐拉法[31]在區(qū)間[0,1]內(nèi)積分求解方程(21),并判斷F(Y,T,v)的范數(shù)是否滿足控制精度,若滿足則得到輪對(duì)系統(tǒng)的極限環(huán)解(輪對(duì)橫移量周期解),然后選取下一極限環(huán)的初值為y=y0+h(h為步長(zhǎng))與=0,其他值取前一極限環(huán)的值,重復(fù)循環(huán)計(jì)算最終可以得到輪對(duì)系統(tǒng)的分岔圖.

令D=?G/?Y,當(dāng)矩陣D的特征值最大模小于1 時(shí),極限環(huán)穩(wěn)定,否則不穩(wěn)定.

為對(duì)比考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)分岔圖的影響,取輪對(duì)系統(tǒng)的縱向剛度分別為4.0 MN/m,5.0 MN/m,5.5 MN/m,6.0 MN/m,6.5 MN/m 與7.0 MN/m,其他參數(shù)值取附錄A 中表A1,采用打靶法[11]求解出不同縱向剛度值下不考慮陀螺效應(yīng)與考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)分岔圖如下圖4與圖5 所示.

圖4 不同縱向剛度下不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)分岔圖Fig.4 The bifurcation diagram of wheelset system without considering the gyroscopic action under different longitudinal stiffness

圖5 不同縱向剛度下考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)分岔圖Fig.5 The bifurcation diagram of wheelset system considering the gyroscopic action under different longitudinal stiffness

圖中y1表示輪對(duì)系統(tǒng)的橫移量,v表示輪對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行速度,實(shí)線表示穩(wěn)定的極限環(huán),虛線表示不穩(wěn)定極限環(huán).vi,j(i=1,2,···,12;j=1)為輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度,其余的vi,j為輪對(duì)系統(tǒng)的非線性臨界速度,各值見(jiàn)附錄A 中表A2 與表A3.

由方程(17)可得,圖4 中不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),縱向剛度依次取4.0 MN/m,5.0 MN/m,5.5 MN/m,6.0 MN/m,6.5 MN/m 與7.0 MN/m 時(shí),分別對(duì)應(yīng)的第一Lyapunov 系數(shù)依次為0.051 5,0.0238,0.0108,?0.0024,?0.0168 與?0.033 6.圖5 中考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),縱向剛度依次取4.0 MN/m,5.0 MN/m,5.5 MN/m,6.0 MN/m,6.5 MN/m 與7.0 MN/m 時(shí),分別對(duì)應(yīng)的第一Lyapunov系 數(shù) 依 次 為0.045 2,0.017 2,0.003 7,?0.010 3,?0.0258 與?0.044 2.可知當(dāng)縱向剛度為4.0 MN/m,5.0 MN/m,5.5 MN/m 時(shí),考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)第一Lyapunov 系數(shù)均大于零,即輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處發(fā)生亞臨界Hopf 分岔.當(dāng)縱向剛度為6.0 MN/m,6.5 MN/m,7.0 MN/m 時(shí),考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)第一Lyapunov 系數(shù)均小于零,即輪對(duì)系統(tǒng)在Hopf 分岔點(diǎn)處發(fā)生超臨界Hopf 分岔.

圖4 與圖5 對(duì)比可知,輪對(duì)系統(tǒng)的縱向剛度依次取4.0 MN/m,5.0 MN/m,5.5 MN/m,6.0 MN/m,6.5 MN/m 與7.0 MN/m 時(shí),考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)均經(jīng)歷了從亞臨界Hopf 分岔到超臨界Hopf 分岔的變化,在輪對(duì)系統(tǒng)中,當(dāng)縱向剛度值與其他各參數(shù)值均已知時(shí),考慮陀螺效應(yīng)的線性臨界速度和非線性臨界速度均高于不考慮陀螺效應(yīng)的線性臨界速度和非線性臨界速度,即在同一縱向剛度值下,陀螺效應(yīng)既可以提高輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度,又可以提高輪對(duì)系統(tǒng)的非線性臨界速度,陀螺效應(yīng)對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)具有增穩(wěn)效果.

3.2 輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的分岔圖

由分岔理論[29-30]可知,若在Hopf 分岔點(diǎn)處系統(tǒng)滿足第一Lyapunov 系數(shù)為零,系統(tǒng)發(fā)生退化Hopf分岔.

針對(duì)輪對(duì)系統(tǒng),若考慮陀螺效應(yīng),輪對(duì)橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取100 k g·m2,橫向自旋蠕滑系數(shù)取0.13 MN,其他參數(shù)取值見(jiàn)附錄A 中表A1,根據(jù)第一Lyapunov系數(shù)表達(dá)式(17)與Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式(8)～ 式(11),得到考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的縱向剛度與輪對(duì)線性臨界速度分別為kc1與vc1

針對(duì)輪對(duì)系統(tǒng),若不考慮陀螺效應(yīng),輪對(duì)系統(tǒng)的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取0 k g·m2,橫向自旋蠕滑系數(shù)取0 MN,其他參數(shù)取值見(jiàn)附錄A 中表A1,根據(jù)第一Lyapunov 系數(shù)表達(dá)式(17)與Hopf 分岔點(diǎn)處的線性臨界速度表達(dá)式(13),得到不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的縱向剛度與輪對(duì)線性臨界速度分別為kc2與vc2

采用打靶法[11]分別計(jì)算考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的分岔圖如下圖6 所示.

圖6 輪對(duì)系統(tǒng)退化Hopf 分岔圖Fig.6 Degenerate Hopf bifurcation diagram of the wheelset system

圖中y1表示輪對(duì)系統(tǒng)的橫移量,v表示輪對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行速度,實(shí)線表示穩(wěn)定的極限環(huán),虛線表示不穩(wěn)定極限環(huán).v13,1與v14,1為輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度,且v13,1=vc1,v14,1=vc2,vi,j(i=13,14;j=2,3)為輪對(duì)系統(tǒng)的非線性臨界速度,其值參見(jiàn)附錄A 中表A4.

由圖6 可知,考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在各自的退化Hopf 分岔點(diǎn)處,考慮陀螺效應(yīng)的線性臨界速度與非線性臨界速度值均高于不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng).

4 輪對(duì)系統(tǒng)的退化Hopf 分岔形式

4.1 輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的Bautin 分岔拓?fù)湫问?/h3>

當(dāng)?shù)谝籐yapunov 系數(shù)為零時(shí),輪對(duì)系統(tǒng)發(fā)生退化Hopf 分岔.

根據(jù)文獻(xiàn)[30]中對(duì)于退化Hopf 分岔的討論可知,兩參數(shù)平面系統(tǒng)經(jīng)過(guò)一系列時(shí)間尺度變換最終可化簡(jiǎn)為

當(dāng)L(μ)>0,即退化H o p f 分岔點(diǎn)處的第二Lyapunov 系數(shù)大于零時(shí),s=1 .當(dāng)L(μ)<0,即退化Hopf 分岔點(diǎn)處的第二Lyapunov 系數(shù)小于零時(shí),s=?1.

由式(19)、式(22)與式(23)可得,考慮陀螺效應(yīng)和不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)處的第二Lyapunov 系數(shù)分別為?0.01478 與?0.01463,均小于零,結(jié)合方程(25)可知,有、無(wú)陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的Bautin 分岔[30]的形式均為

對(duì)應(yīng)的Bautin 分岔見(jiàn)圖7,其中H?和H+分別對(duì)應(yīng)Hopf 分岔的第一Lyapunov 系數(shù)小于0 和第一Lyapunov 系數(shù)大于0.

在圖7 中繞著Bautin 點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蚩疾?從區(qū)域①中的點(diǎn)開始,在該區(qū)域里面系統(tǒng)有單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)而沒(méi)有極限環(huán).從區(qū)域①到區(qū)域②穿過(guò)Hopf 分岔邊界H?,出現(xiàn)唯一穩(wěn)定極限環(huán).當(dāng)穿過(guò)Hopf 分岔邊界H+進(jìn)入?yún)^(qū)域③時(shí),該穩(wěn)定的極限環(huán)依然存在,此時(shí)平衡點(diǎn)恢復(fù)它的穩(wěn)定性,同時(shí)在第一個(gè)環(huán)內(nèi)部額外產(chǎn)生了一個(gè)不穩(wěn)定極限環(huán),兩個(gè)具有相反穩(wěn)定性的環(huán)在區(qū)域③中存在并在曲線T上相遇消失而留下單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),這就走完了一圈.

圖7 Bautin 分岔圖(ξ=?1)Fig.7 Bautin bifurcation diagram (ξ=?1)

在圖7 中每次穿越 β1軸時(shí)系統(tǒng)的第一Lyapunov 系數(shù)都會(huì)出現(xiàn)變號(hào),若逆時(shí)針?lè)较虼┰?β1負(fù)半軸,系統(tǒng)從亞臨界Hopf 分岔轉(zhuǎn)變?yōu)槌R界Hopf 分岔,若逆時(shí)針穿越 β1正半軸,系統(tǒng)從超臨界Hopf 分岔轉(zhuǎn)變?yōu)閬喤R界Hopf 分岔.這就是系統(tǒng)在雙參數(shù)下,由亞臨界Hopf 分岔到超臨界Hopf 分岔,再?gòu)某R 界Hopf 分岔到亞臨界Hopf 分岔的遷移轉(zhuǎn)化機(jī)理.

4.2 輪對(duì)系統(tǒng)考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)時(shí)在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔拓?fù)鋱D對(duì)比

通過(guò)式(26)～ 式(30)中的坐標(biāo)變化,得到考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行速度與縱向剛度坐標(biāo)系下的Bautin 分岔拓?fù)鋱D如圖8 所示.

圖8 輪對(duì)系統(tǒng)考慮陀螺效應(yīng)時(shí)的Bautin 分岔拓?fù)鋱DFig.8 Bautin bifurcation topology diagram of wheelset system when considering gyroscopic action

系統(tǒng)中若存在穩(wěn)定的周期解,其相圖必然存在,在圖8 的區(qū)域①中取一個(gè)點(diǎn)(170 m/s,5.8 MN/m),在區(qū)域②中取一個(gè)點(diǎn)(170 m/s,5.2 MN/m),在區(qū)域③中取一個(gè)點(diǎn)(160 m/s,5.13 MN/m),在T曲線上取一個(gè)點(diǎn)(160 m/s,5544590 N/m),分別得到對(duì)應(yīng)的相圖如圖9～ 圖12 所示.

圖9 圖8 中區(qū)域①對(duì)應(yīng)的相圖Fig.9 Phase diagram corresponding to area ①in Fig 8

圖10 圖8 中區(qū)域②對(duì)應(yīng)的相圖Fig.10 Phase diagram corresponding to area ② in Fig 8

圖11 圖8 中區(qū)域③對(duì)應(yīng)的相圖Fig.11 Phase diagram corresponding to area ③in Fig 8

圖12 圖8 中T 區(qū)域?qū)?yīng)的相圖Fig.12 Phase diagram corresponding to the T region in Fig 8

通過(guò)式(26)～ 式(30)中的坐標(biāo)變化,得到不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行速度與縱向剛度坐標(biāo)系下的Bautin 分岔拓?fù)鋱D如圖13 所示.

在圖13 的區(qū)域①中取點(diǎn)(170 m/s,6.5 MN/m),在區(qū)域②中取點(diǎn)(170 m/s,5.5 MN/m),在區(qū)域③中取點(diǎn)(160 m/s,5.54 MN/m),在T曲線上取點(diǎn)(160.3 m/s,5558921 N/m),分別得到對(duì)應(yīng)的相圖如圖14～圖17 所示.

圖13 輪對(duì)系統(tǒng)不考慮陀螺效應(yīng)時(shí)的Bautin 分岔拓?fù)鋱DFig.13 Bautin bifurcation topology diagram of wheelset system without considering gyroscopic action

圖14 圖9 中區(qū)域①對(duì)應(yīng)的相圖Fig.14 Phase diagram corresponding to area ①in Fig 9

圖15 圖9 中區(qū)域②對(duì)應(yīng)的相圖Fig.15 Phase diagram corresponding to area ② in Fig 9

圖16 圖9 中區(qū)域③對(duì)應(yīng)的相圖Fig.16 Phase diagram corresponding to area ③in Fig 9

圖17 圖9 中T 區(qū)域?qū)?yīng)的相圖Fig.17 Phase diagram corresponding to the T region in Fig 9

圖8 與圖13 分別展示了考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng)在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近,依靠雙參數(shù)(縱向速度和縱向剛度)從亞臨界Hopf 分岔到超臨界Hopf 分岔,再?gòu)某R界Hopf 分岔到亞臨界Hopf 分岔的轉(zhuǎn)化過(guò)程.

由圖9～ 圖12 可知,考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),其在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔拓?fù)鋱D的區(qū)域①中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn).區(qū)域②中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定極限環(huán).區(qū)域③中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)和單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),T曲線上只有單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn).該結(jié)論與圖7 中的理論結(jié)果是一致的.

由圖14～ 圖17 可知,不考慮陀螺效應(yīng)的輪對(duì)系統(tǒng),其在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔拓?fù)鋱D的區(qū)域①中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn).區(qū)域②中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定極限環(huán).區(qū)域③中的點(diǎn)具有單個(gè)穩(wěn)定極限環(huán)和單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn),T曲線上只有單個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn).該結(jié)論與圖7 中的理論結(jié)果是一致的.

由圖8～ 圖17 可知,陀螺效應(yīng)將改變輪對(duì)系統(tǒng)的退化Hopf 分岔點(diǎn),但對(duì)于在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔形式影響不大.

5 結(jié)論

本文基于Hopf 分岔代數(shù)判據(jù)、分岔理論和打靶法,分別得到考慮陀螺效應(yīng)與不考慮陀螺效的輪對(duì)系統(tǒng)Hopf 分岔點(diǎn)解析表達(dá)式、在不同縱向剛度下的分岔圖和在退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin 分岔拓?fù)鋱D.發(fā)現(xiàn)影響輪對(duì)系統(tǒng)陀螺效應(yīng)的主要參數(shù)是輪對(duì)系統(tǒng)的橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,次要參數(shù)是輪對(duì)系統(tǒng)的橫向自旋蠕滑系數(shù).陀螺效應(yīng)不僅可以提高輪對(duì)系統(tǒng)的線性臨界速度,也可以提高輪對(duì)系統(tǒng)的非線性臨界速度,即陀螺效應(yīng)對(duì)輪對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性具有增穩(wěn)作用.陀螺效應(yīng)會(huì)改變輪對(duì)系統(tǒng)的退化Hopf 分岔點(diǎn),但對(duì)退化Hopf 分岔點(diǎn)附近的Bautin分岔形式影響不大.

附錄A

附表 A1 輪對(duì)參數(shù)表Table A1 Wheelset parameter list

附表 A2 圖4 中各速度值Table A2 Values of each speed in Fig.4

附表 A3 圖5 中各速度值Table A3 Values of each speed in Fig.5

附表 A4 圖6 中各速度值Table A4 Values of each speed in Fig.6

附錄B