球形金屬膜片結(jié)構(gòu)分析與多目標(biāo)優(yōu)化*

王佳豪, 周仕明, 李道奎*

(1.國防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院， 湖南 長沙 410000；2.空天任務(wù)智能規(guī)劃與仿真湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 湖南 長沙 410000)

0 引言

姿控系統(tǒng)工作環(huán)境的重力加速度趨于零，該環(huán)境下液體推進(jìn)劑與增壓氣體容易混溶，導(dǎo)致燃燒不穩(wěn)定.為了保證推進(jìn)劑連續(xù)穩(wěn)定的輸出，需要對推進(jìn)劑的輸出進(jìn)行管理.現(xiàn)有推進(jìn)劑管理方式中，隔膜式貯箱因?yàn)榘踩愿摺⑾嗳菪院玫膬?yōu)點(diǎn)，成為貯箱中的主流.隔膜式貯箱隔膜材料的好壞決定了其性能.金屬材料彈塑性性能優(yōu)良，是目前隔膜式貯箱中隔膜的主要材料.

在貯箱殼體內(nèi)，金屬隔膜因?yàn)闅怏w壓強(qiáng)的原因發(fā)生變形.因?yàn)槟て冃畏D(zhuǎn)過程各個(gè)位置均經(jīng)歷了彈塑性變形過程，部分膜片因?yàn)闃?gòu)型等原因，會產(chǎn)生褶皺、凹坑等使其失效.

現(xiàn)有金屬膜片研究多采用有限元仿真模擬膜片翻轉(zhuǎn).其中，朱志華等[1]通過對鈦制金屬膜片的有限元仿真得出，金屬膜片可實(shí)現(xiàn)重復(fù)翻轉(zhuǎn)的關(guān)鍵是支撐結(jié)構(gòu)以及殼體的限位設(shè)計(jì).周仕明等[2]通過對鋁制金屬膜片的仿真分析得出，卷邊區(qū)域的結(jié)構(gòu)失穩(wěn)是造成膜片失效的主要原因.馬維力等[3]通過對鈦制、鋁制以及不銹鋼制金屬膜片進(jìn)行仿真得出，鈦制金屬膜片翻轉(zhuǎn)效果優(yōu)于鋁制以及不銹鋼制金屬膜片.周算等[4-5]通過對膜片正翻以及反翻過程進(jìn)行研究，有效解決了膜片翻轉(zhuǎn)過程偏心位移過大的問題并降低了翻轉(zhuǎn)過程中的最大應(yīng)力.

本文通過對體積為60 L的不同構(gòu)型的球形金屬膜片翻轉(zhuǎn)過程進(jìn)行仿真，分析底邊半徑對偏心位移以及壓差曲線的影響，并對仿真中偏心位移以及翻轉(zhuǎn)壓差較小的構(gòu)型進(jìn)行了優(yōu)化.

1 計(jì)算方法

因?yàn)榻饘倌てD(zhuǎn)過程變形較大，材料發(fā)生了彈塑性變形，簡單的線性方程不能對其進(jìn)行表征，將翻轉(zhuǎn)過程的平衡方程表示為：

(1)

在此基礎(chǔ)上，Wempner與Riks提出了一種新的計(jì)算方法——弧長法,使該問題得以解決.其是通過計(jì)算膜片翻轉(zhuǎn)過程中受到的荷載、節(jié)點(diǎn)的位移等來獲取整個(gè)膜片的狀態(tài).當(dāng)載荷為λk，荷載參數(shù)的增量為Δλk，位移為xk時(shí)，相應(yīng)的位移增量為Δxk，則可以寫出方程

ψ(xk+Δxk,λk+Δλk)=0，

(2)

f(Δxk,Δλk)=Δlk.

(3)

式中，Δlk為增量弧長的長度.聯(lián)立式(2)與式(3)可以求解出膜片節(jié)點(diǎn)位移xk以及載荷λk.

2 有限元模型

球形隔膜式貯箱管理推進(jìn)劑的原理如圖1所示，膜片受到壓差作用，將推進(jìn)劑擠出貯箱.球形膜片的幾何示意圖如圖2所示，其中膜片底部半徑R、預(yù)翻邊半徑R0、膜片高h(yuǎn)、上部圓弧半徑R1以及角度α,設(shè)圓心的坐標(biāo)為(0，y).

圖1 球形金屬膜片貯箱結(jié)構(gòu)Fig. 1 The structure of spherical metal diaphragm tank

圖2 膜片幾何參數(shù)Fig.2 Geometric parameters of spherical diaphragm

設(shè)定貯箱體積為60 L，預(yù)翻邊半徑長度為5 mm，對這一給定體積下不同球形金屬膜片的幾何參數(shù)對膜片翻轉(zhuǎn)過程進(jìn)行仿真分析.設(shè)計(jì)膜片幾何參數(shù)共三組，如表1所示.

將表1中的幾何尺寸帶入求解膜片實(shí)際容積，計(jì)算得到的體積值與設(shè)計(jì)值的誤差均在1.2%以內(nèi)，認(rèn)為三組模型體積一致，可以進(jìn)行計(jì)算分析.

表1 膜片的幾何參數(shù)

選取膜片頂點(diǎn)在翻轉(zhuǎn)過程中偏離y軸的位移以及翻轉(zhuǎn)過程中的壓差曲線作為評價(jià)指標(biāo).其中，頂點(diǎn)偏離y軸的位移表示膜片翻轉(zhuǎn)過程中的偏心程度.偏心位移越大，代表膜片翻轉(zhuǎn)過程中的穩(wěn)定性越低，反之則穩(wěn)定性越高.膜片翻轉(zhuǎn)的難易程度是通過膜片內(nèi)表面與外表面的壓力差來判斷的.翻轉(zhuǎn)過程中的壓差越小表示此狀態(tài)下膜片翻轉(zhuǎn)越容易，反之則越困難.通過比較60-1、60-2、60-3三組構(gòu)型，對膜片的翻轉(zhuǎn)特性進(jìn)行研究.

設(shè)置下部預(yù)翻邊段膜片厚度為2.0 mm，上部翻轉(zhuǎn)圓弧段膜片厚度隨著高度依次遞增，其中最厚的頂點(diǎn)厚度為2.3 mm，底邊厚度與預(yù)翻邊厚度相同.設(shè)定膜片的材料為鈦合金，密度為4.51 g/cm3,泊松比為0.34，彈性模量為110 GPa.

圖3 相同體積不同幾何尺寸的金屬膜片F(xiàn)ig.3 Metal diaphragms of the same volume and different geometrical dimensions

60-1、60-2、60-3三組球形金屬膜片翻轉(zhuǎn)過程的應(yīng)力云圖如圖4所示.三組膜片翻轉(zhuǎn)過程中均沒有產(chǎn)生凹坑、褶皺等失效現(xiàn)象，完成了翻轉(zhuǎn)過程且沒有較大的偏心位移.其翻轉(zhuǎn)位移曲線與壓差曲線如圖5與圖6所示，其中60-1、60-2、60-3底邊半徑逐漸增大.從圖中可以看出， 60-2偏心位移與翻轉(zhuǎn)過程中的起始壓差與最大壓差最小.對比60-1與60-2可以看出，適當(dāng)增大膜片的半徑可以減小膜片翻轉(zhuǎn)過程中的偏心位移與翻轉(zhuǎn)過程中的起始壓差與最大壓力.對比60-2與60-3構(gòu)型可以看出，當(dāng)膜片底邊半徑過大時(shí)，膜片的偏心位移與翻轉(zhuǎn)過程中的翻轉(zhuǎn)壓差與最大壓力會增大.

圖4 膜片翻轉(zhuǎn)過程Fig.4 The process of diaphragm overturning

圖5 膜片頂點(diǎn)位移Fig.5 Diaphragm vertex displacement

圖6 膜片壓差曲線Fig.6 Diaphragm differential pressure curve

3 多目標(biāo)結(jié)構(gòu)優(yōu)化

膜片翻轉(zhuǎn)過程中存在偏心、褶皺等現(xiàn)象，會影響膜片翻轉(zhuǎn)過程，需要對膜片的構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，由于仿真需要花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間較長，進(jìn)行多組數(shù)的分析時(shí)，時(shí)間成本較大.文章通過構(gòu)建膜片翻轉(zhuǎn)的代理模型，來降低仿真所需的時(shí)間成本.

代理模型是將離散的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行擬合，從而推算得到離散點(diǎn)之外的數(shù)據(jù)值，構(gòu)建代理模型的過程如圖7所示.

圖7 代理模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of agent model

徑向基函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型被廣泛應(yīng)用于擬合非線性問題.由于金屬膜片的翻轉(zhuǎn)過程屬于高度的非線性問題，故選用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法構(gòu)建代理模型[6].

徑向基函數(shù)(RBF)的近似模型如圖8所示.共包括三層前向網(wǎng)絡(luò)——輸入層、隱含層、輸出層.其中，輸入層與輸出層的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)由輸入數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)決定，隱含層節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)與輸入數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)無關(guān)，是由擬合函數(shù)的復(fù)雜程度所決定的.

圖8 RBF結(jié)構(gòu)示意圖Fig.8 RBF schematic diagram

(4)

式中：N代表輸入樣本點(diǎn)的數(shù)量；X代表輸入樣本點(diǎn)的數(shù)值；Yk(X)代表基函數(shù)的第k個(gè)預(yù)測值；Xi代表樣本點(diǎn)；ωik代表對應(yīng)預(yù)測值的分量大小，其值可以通過N個(gè)樣本點(diǎn)進(jìn)行矩陣運(yùn)算得到；φi代表基函數(shù).

膜片的屈曲荷載Pbuckle表示膜片抗失穩(wěn)能力，屈曲荷載Pbuckle過小時(shí)，膜片在起始翻轉(zhuǎn)時(shí)，容易出現(xiàn)局部結(jié)構(gòu)失穩(wěn).膜片翻轉(zhuǎn)過程中的偏心位移Txz表示膜片翻轉(zhuǎn)穩(wěn)定性.本文選取膜片初始位置屈曲荷載Pbuckle以及翻轉(zhuǎn)過程中的偏心位移Txz作為優(yōu)化目標(biāo).研究膜片錐角α、預(yù)翻邊半徑R0、膜片頂點(diǎn)厚度d三個(gè)因素對膜片翻轉(zhuǎn)過程中偏心位移Txz以及初始位置屈曲荷載Pbuckle的影響.

金屬球形膜片偏心位移與屈曲載荷多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)解析式為：

MinimizeTxz(α,R,R0,d)

MaximizePbuckle(α,R,R0,d)

Subject toR=245 mm

78°≤α≤82°

7 mm≤R0≤9 mm

2.3 mm≤d≤2.7 mm

將三因素三水平通過全因子正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)共27組試驗(yàn).金屬膜片底邊半徑為245 mm，采用的材料與第二部分一致，均為鈦合金，全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)表如表2所示.

表2 全因子試驗(yàn)設(shè)計(jì)表

從27組仿真結(jié)果中隨機(jī)選取3組作為代理模型的驗(yàn)證值，將其余24組仿真結(jié)果擬合得到偏心位移、屈曲載荷與錐角、半徑、厚度之間的代理模型.并將3組驗(yàn)證值代入代理模型進(jìn)行驗(yàn)證，對比結(jié)果如表3所示.其中偏心位移Txz預(yù)測值與樣本值的誤差基本在10%，第3組樣本值偏心位移誤差較大，達(dá)到20.88%，分析認(rèn)為是由于該組膜片偏心位移相對其余組別較小，導(dǎo)致相對誤差增大，但絕對誤差均控制在了0.52 mm以內(nèi)；屈曲荷載Pbuckle的擬合效果較好，相對誤差均在10%以內(nèi)，認(rèn)為滿足精度要求.

表3 代理模型的預(yù)測效果

選用第二代遺傳算法(NSGA-2)對構(gòu)建的代理模型進(jìn)行優(yōu)化，設(shè)置優(yōu)化起點(diǎn)為R=245 mm、α=78；種群的大小為24，進(jìn)化的代數(shù)為20，其中交叉編譯的概率為0.9.在迭代計(jì)算481次后，得出Pareto最優(yōu)解集80組.在其中篩選偏心位移Txz<1.4 mm，屈曲荷載Pbuckle>6.2 MPa的共計(jì)5組，如表4所示.

表4 經(jīng)過挑選的Pareto最優(yōu)解集

選取屈曲載荷Pbuckle優(yōu)化效果最明顯的第五組作為優(yōu)化結(jié)果，與起始樣本點(diǎn)的膜片進(jìn)行對比，結(jié)果如表5所示.從表中可以看出，屈曲荷載Pbuckle相比優(yōu)化之前增加了1.13%，偏心位移Txz相比優(yōu)化之前減少了36.07%，優(yōu)化后膜片翻轉(zhuǎn)的性能更好.

表5 優(yōu)化前后結(jié)果對比

4 結(jié)論

本文通過對相同體積不同底邊半徑的球形金屬膜片進(jìn)行翻轉(zhuǎn)仿真分析，得出膜片底邊半徑與偏心位移以及壓差曲線的影響，得到底邊半徑的較優(yōu)構(gòu)型；并選取錐角、膜片頂點(diǎn)厚度以及預(yù)翻邊半徑作為優(yōu)化變量對該底邊半徑較優(yōu)構(gòu)型進(jìn)行優(yōu)化，得出結(jié)論如下：

1) 體積相同的情況下，適當(dāng)增大球形膜片底邊半徑可以減小翻轉(zhuǎn)過程中的偏心位移；但是當(dāng)?shù)走叞霃竭^大時(shí)，偏心位移反而會增大.

2) 體積相同的情況下，適當(dāng)增大球形膜片底邊半徑可以減小膜片翻轉(zhuǎn)的起始壓差與最大壓差；但是當(dāng)球形膜片底邊半徑過大時(shí)，起始壓差與最大壓差反而增大.

3) 對底邊半徑為245 mm的球形金屬膜片進(jìn)行了優(yōu)化，找到了該底邊半徑下錐角、預(yù)翻邊以及膜片頂點(diǎn)厚度的局部最優(yōu)解.