基于線性與力學(xué)特征分析對稱性結(jié)構(gòu)內(nèi)力★

程時宇，黃志強(qiáng)，李冬梅

(桂林理工大學(xué)土木與建筑工程學(xué)院,廣西 桂林 541004)

在超靜定問題求解方法中,力法是重要的方法之一,也是其他超靜定解法的基礎(chǔ)。在結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本知識點(diǎn)中,對稱性問題不但可以深化基本概念的理解,同時可分析結(jié)構(gòu)的內(nèi)力特征與變形特征。應(yīng)用對稱性內(nèi)力特征與變形特征可簡化結(jié)構(gòu)體系,這為手算或定性分析超靜定結(jié)構(gòu)體系帶來了極大的便利。同時,由于對稱性所形成的內(nèi)力特征與變形特征蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)知識與力學(xué)知識,深入討論其內(nèi)在聯(lián)系,可開闊在其中的“小天地”。在眾多的教學(xué)教材描述中,對其中的內(nèi)在描述未深入探究,教與學(xué)中也帶來了盲點(diǎn)。

1 對稱性結(jié)構(gòu)在對稱荷載下內(nèi)力特征

從楊茀康[1]編寫的教材可知,對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下,對稱軸軸線處內(nèi)力特征可依據(jù)力法方程:

δ11X1+δ12X2+δ13X3+Δ1P=0；δ21X1+δ22X2+δ23X3+Δ2P=0；δ31X1+δ32X2+δ33X3+Δ3P=0。

其中,X1，X3均為對稱軸處正對稱的多余未知力；X2為正稱軸處反對稱的多余未知力。

若荷載也關(guān)于對稱軸對稱,則自由項(xiàng):

即正對稱荷載作用下,力法的典型方程為:

δ11X1+δ13X3+Δ1P=0；

δ31X1+δ33X3+Δ3P=0。

由此得到正對稱荷載作用下,對稱軸處只存在正對稱的內(nèi)力?；诰€性代數(shù)的理論,理解上述過程容易。然而反對稱荷載作用在對稱結(jié)構(gòu)上,問題帶來了一定的不確定性。

在反對稱荷載作用下的彎矩圖是反對稱的。由圖乘法及自由項(xiàng)的定義可知：

因此典型方程可化簡為:

δ11X1+δ13X3=0;
δ22X2+Δ2P=0;
δ31X1+δ33X3=0。

很顯然,此時未知力X2已與其他方程解耦,只需要分析δ11X1+δ13X3=0,δ31X1+δ33X3=0即可。

但從數(shù)學(xué)角度上無非直接得出X1=X3=0的結(jié)論,教材上普遍對于此結(jié)論做了簡單說明,然而不經(jīng)過嚴(yán)格證明無法使讀者理解該結(jié)論的正確性。

2 線性代數(shù)分析齊次線性方程組

結(jié)合線性代數(shù)[3]的理論知識可知:

δ11X1+δ13X3=0；

δ31X1+δ33X3=0。

屬于齊次線性方程組,齊次線性方程組有兩種解答,一是只有零解,二是有無窮多組解(包含零解);齊次線性方程組只有零解的條件是系數(shù)行列式不為零;齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式為零,實(shí)質(zhì)上系數(shù)行列式為零,即方程組間系數(shù)對應(yīng)成比例,這相當(dāng)于方程組中方程的數(shù)目小于未知數(shù)的數(shù)目,因此它有無數(shù)組解[4]。

由柔度系數(shù)形成的過程可知:

顯然,若對一般的彎矩方程函數(shù)而言,上式絕對有機(jī)會為零,那么就不能得到X1=X3=0的結(jié)論。因此為了進(jìn)一步研究分析,首先討論直桿,由于單位荷載作用下的內(nèi)力圖均是直線,不妨假設(shè):

所以：

顯然,若a=b=c=d時,該系數(shù)行列式是為零的,即使c=d=0時,亦滿足行列式為零,因此簡單滿足單位荷載下的彎矩圖,仍然無法得到X1=X3=0的結(jié)論,因此通過上述解析解答,還無法得到結(jié)論,僅憑數(shù)學(xué)推導(dǎo)仍然解決不了問題。

3 結(jié)合力學(xué)特征求證在反對稱荷載下內(nèi)力特征

此時,對于反對稱荷載作用下,可得出:X1=X3=0。

為了驗(yàn)證該結(jié)論的一般性,將對稱結(jié)構(gòu)中的構(gòu)件分成兩大類:一類與對稱軸垂直相交的構(gòu)件;一類與對稱軸不相交(或斜交)的構(gòu)件。如圖1所示的水平桿件為與對稱相交的構(gòu)件,豎向構(gòu)件為與對稱不相交的構(gòu)件。

由前述,多余未知力取為對稱軸處的截面內(nèi)力。而正對稱的內(nèi)力為軸力X1與X3,產(chǎn)生彎矩圖時在兩類構(gòu)件中是不一樣的。在與對稱軸相交的構(gòu)件中,由于X1為該構(gòu)件的軸力,不產(chǎn)生彎矩,而X3產(chǎn)生的彎矩?zé)o論在哪類構(gòu)件中均表現(xiàn)出彎矩均布。因此可得出如下系數(shù)關(guān)系:

1)與對稱軸相交的構(gòu)件:

此時圖乘的結(jié)果滿足:δ11δ33-δ31δ13=0。

2)與對稱軸不相交(或斜交)的構(gòu)件:

顯然,若結(jié)構(gòu)同時具有與上述兩類構(gòu)件,則算式可寫成:

顯然,對于上式而言恒為負(fù)值,即不會發(fā)生正負(fù)相加為零的結(jié)果,于是滿足δ11δ33-δ31δ13≠0,因此可嚴(yán)謹(jǐn)?shù)贸鯴1=X3=0的結(jié)論。

然而,有些結(jié)構(gòu)是只存在與對稱相交的構(gòu)件，如圖2，圖3所示。

對于圖2,它的多余未知力如圖4所示。

由于X1不產(chǎn)生彎矩,因此,δ11=0,δ13=δ31=0。在反對稱荷載作用,典型方程簡化結(jié)果表達(dá)式:

δ11X1+δ13X3=0;

δ31X1+δ33X3=0。

可得到X3=0,即對稱軸處無彎矩內(nèi)力的結(jié)論。然而X1軸力可為任意值,均可滿足上述數(shù)學(xué)表達(dá)式。但在實(shí)際力學(xué)狀態(tài)中,X1是由軸向拉壓變形而產(chǎn)生的內(nèi)力分量,而兩端為固定端時,在小變形狀態(tài)下,軸向是無伸縮量的,因此可進(jìn)一步由物理力學(xué)概念確定X1=0。

對于圖3所討論桿軸線為曲線的情況,顯然,該曲桿中,M1=1×(R-Rcosφ),M3=1。

δ11δ33-δ31δ13≠0。

因此對于曲桿而言,可由齊次方程組得到X1=X3=0的結(jié)論。

4 結(jié)語

由齊次方程組得到X1=X3=0的結(jié)論并非由于純數(shù)學(xué)解答,基于對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下,受力有明顯特征,正是基于這種特征,使得內(nèi)力圖具有特定性,也因此,此時系數(shù)行列式不等于零。所以,通過力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再進(jìn)一步結(jié)合力學(xué)特征才能完整解釋在對稱軸處不存在對稱性內(nèi)力的問題。