數(shù)學(xué)建模中的最優(yōu)化方法探討

余 璟 岳振軍 賈永興

（陸軍工程大學(xué)通信工程學(xué)院，江蘇 南京210000）

1 數(shù)學(xué)建模

1.1 數(shù)學(xué)建模的含義

數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）是近幾十年來出現(xiàn)的新詞匯，但是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決那些數(shù)量規(guī)律的實(shí)際問題，卻是始終伴隨著人類社會(huì)的產(chǎn)生和發(fā)展的[1]。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的首要一步是建立研究對(duì)象的數(shù)學(xué)模型，再借助計(jì)算機(jī)加以計(jì)算求解。數(shù)學(xué)模型，是對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形等對(duì)問題本質(zhì)屬性做出抽象而又準(zhǔn)確的刻畫，便于人們更深刻地認(rèn)識(shí)所研究的對(duì)象[2]。

針對(duì)某一對(duì)象或問題建立數(shù)學(xué)模型，能夠?qū)陀^規(guī)律進(jìn)行量化的準(zhǔn)確描述，或根據(jù)已有信息估測某特定參數(shù)的變化趨勢，以便于做出合理決策。

1.2 數(shù)學(xué)建模的方法與過程

數(shù)學(xué)建模，一般待解決的都是有著實(shí)際應(yīng)用背景的問題，往往還需要相關(guān)的詳細(xì)資料。建立數(shù)學(xué)模型的方法多種多樣，常見方法包括機(jī)理分析方法、構(gòu)造分析方法、直觀分析方法、數(shù)值分析方法等[3]。

數(shù)學(xué)建模的一般過程如圖1所示，其中，問題分析指的是分析待解決的實(shí)際問題和已知信息，明確要解決的問題是什么；模型假設(shè)指的是對(duì)問題進(jìn)行合理的簡化，抓住問題中的主要矛盾，合理地忽略次要矛盾，能夠提高建模的效率和成功率；模型建立指的是綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；模型求解指的是采用數(shù)學(xué)知識(shí)求解數(shù)學(xué)模型中的變量，對(duì)于較為復(fù)雜的模型，模型求解往往需要借助計(jì)算機(jī)來實(shí)現(xiàn)；求解模型后，還需要對(duì)求解的物理內(nèi)涵和實(shí)際意義做出必要解釋，并說明該模型的適用條件、分析解的誤差，等等；最后，還要將所建立模型以及求解結(jié)果應(yīng)用到實(shí)際問題中，進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，建模工作才算基本完成。

圖1 數(shù)學(xué)建模的一般過程

2 最優(yōu)化方法的概念

“優(yōu)化”是生活中經(jīng)常使用的詞：坐出租車時(shí)希望司機(jī)不繞彎路、走優(yōu)化路線；逛超市時(shí)考慮各種優(yōu)惠活動(dòng)，希望獲得最大優(yōu)惠；企業(yè)推出新產(chǎn)品要綜合考慮成本與市場吸引力，對(duì)資金進(jìn)行優(yōu)化配置，等等。這些問題都是“最優(yōu)化問題”，也是數(shù)學(xué)建模中的典型問題，解決最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)方法就是“最優(yōu)化方法”。最優(yōu)化方法的出發(fā)點(diǎn)是系統(tǒng)思維，最優(yōu)化方法的基本思路是在一定的約束條件下，保證各方面資源的合理分配，最大限度地提升系統(tǒng)某一性能或系統(tǒng)整體性能，最終實(shí)現(xiàn)最理想結(jié)果。

運(yùn)用最優(yōu)化方法建立并求解數(shù)學(xué)模型，主要包括以下步驟：

（1）明確目標(biāo)，分析問題背景，確定約束條件，搜集全面的客觀數(shù)據(jù)和信息；

（2）建立數(shù)學(xué)模型，構(gòu)建變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，設(shè)立目標(biāo)函數(shù)；

（3）分析數(shù)學(xué)模型，綜合選擇最適合該模型的優(yōu)化方法；

（4）求解模型，通常借助計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)分析軟件完成；

（5）對(duì)最優(yōu)解進(jìn)行檢驗(yàn)和實(shí)施。

3 最優(yōu)化方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

3.1 梯度下降法

梯度下降法是經(jīng)典的最優(yōu)化方法之一[4]，其核心思想是高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)理論。梯度下降法實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化的原理是，每次迭代更新目標(biāo)函數(shù)時(shí)，都以該變量導(dǎo)數(shù)（即梯度）的反方向作為更新參數(shù)的方向，最終解一定會(huì)收斂于最優(yōu)解。這個(gè)原理類似于走下坡路時(shí)，總是沿著最陡峭的方向向下走，最后就一定會(huì)走到坡底。

梯度下降法的實(shí)現(xiàn)簡單，但是求解計(jì)算時(shí)間長，因此基于梯度下降法發(fā)展了很多改進(jìn)算法，包括隨機(jī)梯度下降法、小批量梯度下降法等，能夠有效改善計(jì)算成本高的問題。

3.2 懲罰函數(shù)法

懲罰函數(shù)法，指的是引入懲罰因子和懲罰函數(shù)的最優(yōu)化方法[5]。具體來說，懲罰函數(shù)的思想是：將最優(yōu)化問題中的約束條件視為圍墻，而迭代更新的解視為在圍墻內(nèi)運(yùn)動(dòng)的粒子，一旦粒子靠近圍墻，對(duì)應(yīng)的懲罰因子數(shù)值就會(huì)增大，導(dǎo)致懲罰函數(shù)值增大，反之，粒子遠(yuǎn)離圍墻時(shí)，懲罰函數(shù)值就減小。建立了這種懲罰機(jī)制后，在每次迭代過程中，模型為了“避免被懲罰”，逐漸趨近于約束邊界，從而找到了最優(yōu)解。

懲罰函數(shù)法對(duì)模型的訓(xùn)練雖然“簡單粗暴”，但是原理直觀、實(shí)現(xiàn)門檻低，是實(shí)際工程中備受青睞的最優(yōu)化方法。

3.3 遺傳算法

不同于梯度下降法和懲罰函數(shù)法，遺傳算法并非依據(jù)導(dǎo)數(shù)理論提出的算法[6]，而是一種模擬生物在自然屆中進(jìn)化規(guī)律的一種智能算法。自然界的生物進(jìn)化遵循適者生存和優(yōu)勝劣汰，即能夠適應(yīng)環(huán)境變化或基因變異的個(gè)體才能夠參與到進(jìn)化。遺傳算法的優(yōu)化原理與之類似：每一次迭代時(shí)，通過計(jì)算各個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度，從中隨機(jī)地選擇兩個(gè)個(gè)體作為父母，繁殖后代，同時(shí)誘發(fā)子代的染色體變異，重復(fù)迭代，當(dāng)出現(xiàn)最大適應(yīng)度的子代時(shí)，即認(rèn)為獲得了最優(yōu)解，循環(huán)結(jié)束。

與梯度下降法、懲罰函數(shù)法相比，遺傳算法以生物進(jìn)化為原型，收斂性較好，在計(jì)算精度要求時(shí)，具有計(jì)算時(shí)間少、魯棒性高的優(yōu)勢。

3.4 蟻群算法

與遺傳算法類似，蟻群算法也是受啟發(fā)于生物的一種最優(yōu)化方法[7]。生物科學(xué)家發(fā)現(xiàn)螞蟻經(jīng)過的路上都會(huì)有一種特殊物質(zhì)，并且蟻群中的螞蟻對(duì)該物質(zhì)高度敏感，由于該物質(zhì)濃度越高，代表著路途長度越短，想要走“捷徑”的蟻群們都會(huì)選擇濃度較高的道路行走，“捷徑”經(jīng)過的螞蟻越多，特殊物質(zhì)的濃度就越高，物質(zhì)濃度積累到一定程度，所有螞蟻都會(huì)被吸引到最佳捷徑上來，都能以最快速度找到食物了。蟻群算法解決最優(yōu)化問題，就是利用了其分布計(jì)算和信息正反饋的特點(diǎn)。

蟻群算法適合解決參數(shù)多、緯度高等復(fù)雜問題，但同時(shí)容易陷入局部最優(yōu)解，因此針對(duì)該方向的改進(jìn)算法也是近年來的研究熱點(diǎn)。

4 結(jié)語

最優(yōu)化問題是實(shí)際應(yīng)用中常見的一類問題，關(guān)于最優(yōu)化方法的討論與研究也一直是相關(guān)領(lǐng)域的熱點(diǎn)。為不同的數(shù)學(xué)模型選擇合適的最優(yōu)化方法，是數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域最有價(jià)值的研究方向，不僅促進(jìn)了數(shù)學(xué)方法的深入探究，也推動(dòng)了科學(xué)和工程的進(jìn)步。