完整巖石拉壓應(yīng)力狀態(tài)下的張裂破壞準(zhǔn)則1)

呂愛鐘 劉宜杰 尹崇林

(華北電力大學(xué)水電與巖土工程研究所,北京 102206)

引言

巖石是一種天然材料,它的力學(xué)特性與金屬材料有很大不同,如何建立能反映巖石固有特性的強(qiáng)度準(zhǔn)則(也稱破壞準(zhǔn)則,有時(shí)也稱屈服準(zhǔn)則),一直是巖石力學(xué)工作者所關(guān)注的重要研究課題.Coulomb 于1773 年提出了第一個(gè)線性破壞準(zhǔn)則[1],認(rèn)為材料中某個(gè)面上的剪切應(yīng)力達(dá)到了黏結(jié)力和該面正應(yīng)力引起的內(nèi)摩擦力之和時(shí),材料將產(chǎn)生破壞.Griffith[2]于1921 年基于脆性材料裂紋的擴(kuò)展提出了一種非線性破壞準(zhǔn)則.在1980 年Hoek 和Brown[3]提出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)破壞準(zhǔn)則.

在過去的60 多年中,已提出了很多關(guān)于巖石破壞的強(qiáng)度準(zhǔn)則,但大多數(shù)準(zhǔn)則只適用于壓應(yīng)力狀態(tài),而不適用于拉應(yīng)力狀態(tài)[4],且大都將巖石壓縮狀態(tài)下的破壞歸結(jié)于剪切破壞機(jī)理,Coulomb 準(zhǔn)則就是基于剪切破壞而建立的.1900 年Mohr[5]基于破壞應(yīng)力狀態(tài)的所有應(yīng)力圓包絡(luò)線,提出了非線性剪切破壞準(zhǔn)則.后來的很多經(jīng)驗(yàn)破壞準(zhǔn)則都是基于Mohr 假定,Hoek-Brown 準(zhǔn)則就是其中之一.Drucker 和Prager[6]在1952 年基于Mises 和Coulomb 準(zhǔn)則,提出了含有3 個(gè)主應(yīng)力的破壞準(zhǔn)則,這個(gè)準(zhǔn)則與八面體上的剪應(yīng)力有關(guān).1961 年俞茂宏提出的屈服準(zhǔn)則也與剪應(yīng)力有關(guān),所提的雙剪應(yīng)力屈服準(zhǔn)則已經(jīng)在很多領(lǐng)域得到了廣泛介紹和應(yīng)用[7-8].

目前大部分強(qiáng)度準(zhǔn)則[1-5,9-15]只涉及到2 個(gè)主應(yīng)力σ1,σ3,而忽略了中間主應(yīng)力σ2對(duì)強(qiáng)度的影響,只有少數(shù)準(zhǔn)則涉及到3 個(gè)主應(yīng)力的情形[6,8,16-18].并且有些強(qiáng)度準(zhǔn)則只是在假定σ1,σ2,σ3之間具有某種函數(shù)形式的基礎(chǔ)上,利用一些試驗(yàn)結(jié)果,通過擬合的方法來確定函數(shù)中的未知參數(shù),這些參數(shù)可能一點(diǎn)物理意義都沒有,建立的準(zhǔn)則很難具有通用性,也很難被廣泛接受和使用.

本文將討論不同應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則,以適用于含有拉應(yīng)力的情形.對(duì)于實(shí)際巖石工程,有時(shí)會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力分量.例如在隧洞兩側(cè),頂部和底部的部分區(qū)域有時(shí)會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力,在采場(chǎng)上覆的頂板下部也會(huì)出現(xiàn)拉應(yīng)力[19].由于巖石是一種抗壓不抗拉的材料,所以拉應(yīng)力的存在勢(shì)必對(duì)巖石的破壞產(chǎn)生很大影響,由于以往的強(qiáng)度準(zhǔn)則大都反映的是剪切破壞機(jī)理,所以這些強(qiáng)度準(zhǔn)則在這種拉壓應(yīng)力狀態(tài)下是不適用的.目前對(duì)拉壓應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則研究得較少,只有Bineshian 等[4]于2012 年提出了一個(gè)僅含有σ1,σ3的非線性壓拉強(qiáng)度準(zhǔn)則.該強(qiáng)度準(zhǔn)則中含有3 個(gè)參數(shù),其中一個(gè)為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度,另外兩個(gè)參數(shù)由回歸分析獲得,難以通過試驗(yàn)的方法直接獲得.

本文將基于最大面積增長率的概念建立完整巖石復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則.通過后文可知:所建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則具有明確的物理意義,準(zhǔn)則中所涉及的參數(shù)為泊松比和單軸抗壓強(qiáng)度.用主應(yīng)力表示的強(qiáng)度準(zhǔn)則非常簡潔,這類強(qiáng)度準(zhǔn)則不但可以反映中間應(yīng)力σ2對(duì)強(qiáng)度的影響,而且也可以反映靜水拉力引起破壞,而靜水壓力不能產(chǎn)生破壞的特點(diǎn).

1 理論基礎(chǔ)

最大拉應(yīng)變理論認(rèn)為:當(dāng)材料的最大拉應(yīng)變?chǔ)?等于單向拉伸屈服應(yīng)變?chǔ)舠時(shí),材料將發(fā)生破壞.該理論與大多數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果不相符合,這個(gè)理論曾廣為流行,但今天已很少有人應(yīng)用[20].

作者認(rèn)為材料的破壞不僅僅取決于最大張應(yīng)變?chǔ)?,而應(yīng)該也與次大張應(yīng)變?chǔ)?有關(guān).作者在文獻(xiàn)[21]中證明了ε1+ε2所表示的是σ1主平面的面積增長率ΔS/S,如圖1 所示.認(rèn)為面積擴(kuò)張率ε1+ε2等于極限值εu時(shí),材料將產(chǎn)生張裂(也稱劈裂).文獻(xiàn)[21]基于ε1+ε2=εu建立了三向壓應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則,并利用真三軸和常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了準(zhǔn)則的適用性.

圖1 σ1 主平面的面積從S 增大到S +ΔS(σ1 ≥σ2 ≥σ3)Fig.1 Area of σ1-plane increases from S to S +ΔS(σ1 ≥σ2 ≥σ3)

現(xiàn)有的壓縮試驗(yàn)實(shí)際已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象,例如在常規(guī)三軸壓縮條件下,巖石的脆性破壞實(shí)際是一個(gè)微裂紋沿σ1方向萌生、擴(kuò)展和聚結(jié)的過程,尤其是σ2(σ3) 的值相對(duì)較小時(shí),可以觀察到側(cè)向宏觀擴(kuò)張破壞[1,22],如圖2 所示.

圖2 泥質(zhì)石英巖試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線及在試件上所觀察的微裂紋[1,22]Fig.2 Stress-strain curve of argillaceous quartzite specimens and cartoons of the state of microcracking observed on specimens[1,22]

由圖2 可以看出:全應(yīng)力-應(yīng)變曲線可分為4 個(gè)區(qū)域.在AB區(qū)域,出現(xiàn)了一些可見的微裂紋,這些微裂紋基本平行于σ1方向(在±10°范圍內(nèi)).在BC區(qū)域的末端,微裂紋開始沿著一個(gè)平面聚結(jié),在破壞點(diǎn)C,形成一個(gè)宏觀斷裂“平面”.最后,在CD區(qū)域,斷裂面延伸到整個(gè)試樣.文獻(xiàn)[23]也認(rèn)為巖石的破壞發(fā)展過程與微裂紋、空隙的變形有關(guān),在應(yīng)力不斷增大的情形下,空穴的聯(lián)通,裂紋的數(shù)量增加,裂隙的合并、交叉,逐漸形成沿σ1方向的宏觀裂紋.過去常見的錐形體破壞實(shí)際上也是側(cè)向宏觀擴(kuò)張引起的破壞,之所以見到的是錐形體破壞形態(tài),是由試件端部的摩擦效應(yīng)引起的,加載裝置限制了試件端部向外的自由變形[24].

以剪切破壞為機(jī)理的強(qiáng)度準(zhǔn)則很難反映上述這種側(cè)向宏觀擴(kuò)張破壞[25],而本文提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則正是基于這種情形.處于三向拉應(yīng)力狀態(tài)下的巖石試件更容易產(chǎn)生拉應(yīng)變,所產(chǎn)生的ε1+ε2更大,巖石更容易破壞,所以利用ε1+ε2建立壓拉應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則是合情合理的.

本文仍規(guī)定3 個(gè)主應(yīng)力σ1,σ2和σ3都以壓為正,以拉為負(fù),而3 個(gè)主應(yīng)變?chǔ)?,ε2,ε3以伸長為正.這樣,對(duì)于任意的應(yīng)力狀態(tài),顯然有以下結(jié)論:ε1一定沿σ3方向,ε2一定沿σ2方向,如圖1 所示.σ1主平面的面積增長率比σ2主平面和σ3主平面的面積增長率都大,即σ1主平面的面積增長率最大.

用主應(yīng)變分量表示的強(qiáng)度準(zhǔn)則為

文獻(xiàn)[21] 在建立強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí),事先主觀假定了εu的大小,認(rèn)為εu=2εs(εs為單軸拉伸時(shí)的屈服應(yīng)變),本文無需采用這個(gè)假定,而是通過單向受拉或單向受壓的極限破壞狀態(tài)來確定εu的大小,這個(gè)方法比文獻(xiàn)[21] 更為嚴(yán)謹(jǐn).且由后面的推導(dǎo)可知,對(duì)于三向壓應(yīng)力狀態(tài),本文所得到的強(qiáng)度準(zhǔn)則與文獻(xiàn)[21]是完全相同的.

本文在推導(dǎo)強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí),假定巖石為各向同性的材料,且在拉伸和壓縮時(shí)具有不同的彈性參數(shù)和強(qiáng)度.在巖石為脆性破壞的前提下,可認(rèn)為巖石在破壞前為線彈性材料,即在破壞的極限狀態(tài),所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變滿足廣義胡克定律.

巖石在拉伸和壓縮時(shí)具有不同的彈性參數(shù),這已經(jīng)被很多試驗(yàn)所證實(shí)[26-32].試驗(yàn)結(jié)果表明:壓縮彈性模量Ec大于拉伸彈性模量Et;壓縮泊松比μc也大于拉伸泊松比μt,μt一般在0.05～0.2 之間,大部分巖石的μt位于0.05～0.1 區(qū)間,巖石拉壓彈性參數(shù)可近似滿足以下關(guān)系[33]

對(duì)于σ1=σ2=0,σ3=-σt時(shí)的單向受拉極限破壞狀態(tài),由廣義胡克定律可得

式中σt為巖石的單軸抗拉強(qiáng)度.而對(duì)于σ1=σc,σ2=σ3=0 時(shí)的單向受壓極限破壞狀態(tài),由廣義胡克定律可得

式中σc為巖石的單軸抗壓強(qiáng)度.式(3)和式(4)給出了εu的計(jì)算式,它與文獻(xiàn)[21] 是不同的,由式(2)～式(4)可得到

當(dāng)μt位于0.05～0.1 區(qū)間時(shí),σc=(9.5～4.5)σt.即σc遠(yuǎn)大于σt,式(5)可能為間接確定巖石的單軸抗拉強(qiáng)度提供了一條途徑.

2 不同應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則

2.1 σ3 ≤σ2 ≤σ1 ≤0 的情形

當(dāng)σ3≤σ2≤σ1≤0 時(shí),有

將式(6)和式(7)代入式(1),并利用式(5)可得σ3≤σ2≤σ1≤0 時(shí)的強(qiáng)度準(zhǔn)則

對(duì)于三向等拉狀態(tài)(本文稱靜水拉力狀態(tài)),σ1=σ2=＞0),代入式(8)并利用式(5),可得巖石產(chǎn)生破壞時(shí)所需要的靜水拉力為

2.2 σ1 ≥0,σ3 ≤σ2 ≤0 的情形

當(dāng)σ1≥0,σ3≤σ2≤0 時(shí),有

將式(10) 和式(11) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥0,σ3≤σ2≤0 時(shí)的強(qiáng)度準(zhǔn)則

式(12)與式(8)完全相同.這說明只要σ2,σ3為拉應(yīng)力,無論σ1為壓應(yīng)力還是拉應(yīng)力,所獲得的強(qiáng)度準(zhǔn)則都是一樣的.

2.3 σ1 ≥σ2 ≥0,σ3 ≤0 的情形

當(dāng)σ1≥σ2≥0,σ3≤0 時(shí),有

將式(13) 和式(14) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥σ2≥0,σ3≤0 時(shí)的強(qiáng)度準(zhǔn)則

2.4 σ1 ≥σ2 ≥σ3 ≥0 時(shí)的情形

這種情形已經(jīng)在文獻(xiàn)[21] 中討論過,現(xiàn)基于新的εu來推導(dǎo)強(qiáng)度準(zhǔn)則,此時(shí)

將式(16) 和式(17) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥σ2≥σ3≥0 時(shí)的強(qiáng)度準(zhǔn)則

式(18)與文獻(xiàn)[21]所獲得的結(jié)果是相同的.式(18)與式(8),式(12) 的函數(shù)形式完全相同,將式(18) 中的μc換為μt即可獲得式(8)或式(12).

由于在σ1=σ2=σ3＞0 的靜水壓力作用下,ε1=ε2都為壓應(yīng)變,所以σ1主平面的面積增長率是負(fù)值,即σ1主平面的面積是減小的,按照本文的準(zhǔn)則,此時(shí)巖石不會(huì)產(chǎn)生破壞,這與過去的認(rèn)知是相同的.實(shí)際上通過式(18)也可證明此結(jié)論.

當(dāng)μc=μt=μ 時(shí),不同應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則式(8)、式(12)、式(15)、式(18)都變?yōu)橥粋€(gè)式子

3 強(qiáng)度準(zhǔn)則的討論

3.1 屈服曲面和屈服曲線

當(dāng)μc=μt=μ 時(shí),適用于全部應(yīng)力狀態(tài)的強(qiáng)度準(zhǔn)則可由同一個(gè)表達(dá)式(19) 表示,這樣通過式(19)可以在主應(yīng)力空間描繪一個(gè)完整的屈服曲面.如圖3所示,屈服曲面為一正三棱錐的錐面,棱錐的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-σt,-σt,-σt).

圖3 在主應(yīng)力空間所描繪的屈服曲面Fig.3 Yield surface described in principal stress space

當(dāng)μc≠μt時(shí),式(8)、式(12) 和式(18) 表示的強(qiáng)度準(zhǔn)則與式(19)在形式上完全相同,所以式(8)、式(12)和式(18)所描繪的屈服曲面形狀也是正三棱錐的錐面.又因?qū)?yīng)于2.1 節(jié)和2.2 節(jié)這兩種應(yīng)力狀態(tài)的式(8)和式(12)完全相同,所以這兩種應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)于棱錐頂點(diǎn)附近的錐面,其中棱錐頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)于三向等拉應(yīng)力狀態(tài).對(duì)應(yīng)2.4 節(jié)應(yīng)力狀態(tài)的式(18),所描繪的是與前面不同的正三棱錐的錐面,且屈服曲面不能包含棱錐頂點(diǎn)的錐面.而對(duì)于2.3 節(jié)這種應(yīng)力狀態(tài),所給出的強(qiáng)度準(zhǔn)則表達(dá)式(15)與式(19)完全不同,所以在應(yīng)力空間描繪的屈服曲面并非為正三棱錐的錐面.

本文在與π 平面平行的π′平面內(nèi)討論屈服曲線,π′平面與3 個(gè)坐標(biāo)軸σ1,σ2,σ3的截距都為σc,如圖4 所示.所表示的平面方程為

圖4 π′ 平面上的屈服曲線[21]Fig.4 Yield curves on π′-plane[21]

可以證明在π′平面,式(19)相應(yīng)的屈服曲線為3 條直線[21].這些直線組成了一個(gè)邊長為的正三角形,如圖4 所示.三角形的邊長只與σc有關(guān),而與μ 無關(guān).這個(gè)正三角形實(shí)際上是屈服曲面(圖3)與π′平面的交線.

3.2 與常用屈服準(zhǔn)則的比較

本文擬將本文準(zhǔn)則與常用的Mohr-Coulomb(MC)準(zhǔn)則和Drucker-Prager(D-P)準(zhǔn)則進(jìn)行比較,M-C 準(zhǔn)則由式(21)給出給出

式中,c,φ 分別是巖石的內(nèi)聚力和內(nèi)摩擦角.下面都以壓應(yīng)力狀態(tài)為例,來討論這些準(zhǔn)則.

根據(jù)塑性力學(xué)中相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則,由式(21)和式(18) 可求出M-C 和本文準(zhǔn)則的塑性體積應(yīng)變?cè)隽?且可以寫為簡單的表達(dá)式,而D-P 準(zhǔn)則的較復(fù)雜,且與主應(yīng)力σ1,σ2,σ3有關(guān),在此只比較前兩種準(zhǔn)則的

對(duì)M-C 準(zhǔn)則

對(duì)本文準(zhǔn)則

因dλ ＞0,0 ≤μc≤0.5,0 ≤sin φ ≤1,所以有:＜0,＜0.因規(guī)定壓應(yīng)力為正,所以當(dāng)塑性體積應(yīng)變?cè)隽繛樨?fù)值時(shí),就表明塑性體積應(yīng)變是增大的,這與巖石壓縮破壞時(shí)所出現(xiàn)的擴(kuò)容現(xiàn)象是一致的.

但兩種準(zhǔn)則所反映的塑性體積應(yīng)變?cè)隽渴遣煌?表1 給出了不同參數(shù)下的塑性體積應(yīng)變?cè)隽?當(dāng)內(nèi)摩擦角φ 較大時(shí),由M-C 準(zhǔn)則計(jì)算的的值與試驗(yàn)結(jié)果相比偏大[34-35],所以一般采用非關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則來解決這個(gè)問題,用剪脹角Ψ 代替φ,但這樣的Ψ 并沒有明顯的物理含義[36],或者直接通過減小φ 的措施,但這樣有很大的主觀性.

表1 兩種準(zhǔn)則在不同參數(shù)下的塑性體積應(yīng)變?cè)隽縏able 1 Plastic volume strain increment of two criteria under different parameters

M-C 準(zhǔn)則在π′平面上的屈服曲線如圖5 所示,圖中也給出了D-P 準(zhǔn)則和本文準(zhǔn)則的結(jié)果,M-C 準(zhǔn)則和D-P 準(zhǔn)則在π′平面上的屈服曲線分別是六角形和圓形.假定3 條曲線在單軸壓縮點(diǎn)相互重合,則本文準(zhǔn)則所對(duì)應(yīng)的屈服曲線包圍了D-P 曲線和M-C 曲線,D-P 曲線又包圍了M-C 曲線,這反映出M-C 準(zhǔn)則最保守,D-P 準(zhǔn)則次之,而本文準(zhǔn)則最不保守.

圖5 不同準(zhǔn)則在π′ 平面的屈服曲線[21]Fig.5 Yield curves of different criteria on π′-plane[21]

為什么M-C 準(zhǔn)則最保守呢?這主要是因?yàn)樗鼪]有考慮中間主應(yīng)力σ2對(duì)巖石強(qiáng)度的影響.從本文建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則式(18)可知,σ2對(duì)巖石強(qiáng)度(指σ1的值) 的影響很大,而且中間主應(yīng)力σ2對(duì)強(qiáng)度的影響與最小主應(yīng)力σ3完全等同,這與雙剪強(qiáng)度理論是一致的[7-8].實(shí)際上很多學(xué)者通過大量的真三軸試驗(yàn),也揭示了σ1隨σ2增大而提高的規(guī)律,都認(rèn)為在考慮中間主應(yīng)力σ2作用后,結(jié)構(gòu)具有更大的承載能力[37].

4 強(qiáng)度準(zhǔn)則的試驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)于前面2.1 節(jié)和2.3 節(jié)所討論的應(yīng)力狀態(tài),目前尚未見到相應(yīng)的試驗(yàn)數(shù)據(jù);而對(duì)于2.2 節(jié)所討論的二向受拉一向受壓應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)也很少,只有Brace 于1964 年給出了一些巖石處于二向等拉一向受壓(σ1≥0,σ2=σ3＜0)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)[38];而2.4節(jié)所討論的三向受壓應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多,尤其是常規(guī)三軸狀態(tài)(σ1≥σ2=σ3≥0)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)很多.由于在文獻(xiàn)[38]中Brace 也給出了常規(guī)三軸狀態(tài)下的試驗(yàn)數(shù)據(jù),所以下面首先利用Brace 的試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證2.2 節(jié)和2.4 節(jié)提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則.

以往在進(jìn)行強(qiáng)度試驗(yàn)時(shí),大都關(guān)心的是給定σ2,σ3后,當(dāng)σ1達(dá)到多少值時(shí),試件發(fā)生破壞,很少在試驗(yàn)中也測(cè)定巖石的μc和μt,所以下面在利用Brace試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證強(qiáng)度準(zhǔn)則時(shí),都是利用試驗(yàn)所得的數(shù)據(jù)(σ1i,σ2i,σ3i)(i=1,2,···,n),來計(jì)算巖石的泊松比和單軸抗壓強(qiáng)度.若求得的泊松比處于巖石的正常取值范圍之內(nèi),且求得的單軸抗壓強(qiáng)度與實(shí)際的單軸抗壓強(qiáng)度σc相近,那么可以間接說明所提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則是合適的.

本文在利用試驗(yàn)數(shù)據(jù)求解泊松比、抗壓強(qiáng)度時(shí),應(yīng)將2.2 節(jié)和2.4 節(jié)這兩種應(yīng)力狀態(tài)分開單獨(dú)討論.對(duì)于二向等拉一向受壓狀態(tài),應(yīng)采用強(qiáng)度準(zhǔn)則(12).而對(duì)于受壓的常規(guī)三軸狀態(tài)應(yīng)采用強(qiáng)度準(zhǔn)則(18).

對(duì)于二向等拉一向受壓狀態(tài),通過最小二乘法獲得式(12)的拉伸泊松比和單軸抗壓強(qiáng)度的最優(yōu)擬合值和為

式中αi=(σ2i+σ3i)/2.

以后凡是出現(xiàn)上角標(biāo)*的變量都表示是擬合值,而不是實(shí)測(cè)值.

當(dāng)給定σ2,σ3時(shí),由下式可以求出

而對(duì)于受壓的常規(guī)三軸狀態(tài),通過最小二乘法可獲得式(19)的壓縮泊松比和單軸抗壓強(qiáng)度的最優(yōu)擬合值以及此時(shí)的擬合優(yōu)度式(24)～式(27) 此時(shí)仍然可以使用,只需將式(24)～式(27)中的分別換為及即可.

圖6～圖9 給出了白云巖、輝綠巖、花崗巖和石英巖這4 種巖石的計(jì)算結(jié)果.

圖6 白云巖試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果的比較Fig.6 Comparison of test results and theoretical calculation results for dolomite

圖7 輝綠巖試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果的比較Fig.7 Comparison of test results and theoretical calculation results for diabase

圖8 花崗巖試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果的比較Fig.8 Comparison of test results and theoretical calculation results for granite

圖9 石英巖試驗(yàn)結(jié)果和理論計(jì)算結(jié)果的比較Fig.9 Comparison of test results and theoretical calculation results for quartzite

由兩類試驗(yàn)獲得的巖石抗壓強(qiáng)度是不同的,對(duì)于4 種巖石的二向等拉一向受壓狀態(tài),所求的與實(shí)測(cè)的σc的相對(duì)誤差δt分別為:7.5%,3.6%,3.3%,3.4%,平均為4.5%;對(duì)于4 種巖石的三向受壓狀態(tài),所求的與實(shí)測(cè)的σc的相對(duì)誤差δc分別為:11.2%,7.8%,5.2%,7.3%,平均為7.9%.

文獻(xiàn)[38]中也給出了更為簡單的受力狀態(tài)下的試驗(yàn)結(jié)果.試驗(yàn)僅有一組雙向等拉試驗(yàn)(σ2=σ3＜0,σ1=0),其他都為三向壓縮試驗(yàn).由雙軸拉伸和單軸壓縮二組試驗(yàn)數(shù)據(jù),利用式(12)可以求得μt和σc,對(duì)于三向壓縮試驗(yàn)可以利用式(18)求得如表2 所示.

由表 2 可以看出:17 組巖石的 μt都位于0.05～0.13 之間,平均為0.08;而17 組巖石的μc除1 組為0.41 外,其他大都位于0.07～0.3 之間,平均為0.20.除了Copper cliff礦的石英閃長巖μt=μc外,其他巖石都有μt＜μc.

表2 巖石雙向等拉下的μt 及三向壓縮下的,δcTable 2 μt of rocks under biaxial equal tension and ,δc of rocks under three-dimensional compression

表2 巖石雙向等拉下的μt 及三向壓縮下的,δcTable 2 μt of rocks under biaxial equal tension and ,δc of rocks under three-dimensional compression

即Betourney 和Borecki[38]的試驗(yàn)結(jié)果同樣驗(yàn)證了強(qiáng)度準(zhǔn)則的適用性.

5 強(qiáng)度準(zhǔn)則的應(yīng)用

通過巴西圓盤劈裂試驗(yàn)(圖10)間接獲得的巖石單軸抗拉強(qiáng)度是否能完全代替單軸拉伸試驗(yàn)直接獲得的單軸拉強(qiáng)度呢?換句話說,兩種方法獲得的單軸抗拉強(qiáng)度是否相同? 陶紀(jì)南[40]于1995 年通過大量的試驗(yàn)結(jié)果闡明:劈裂法不能真實(shí)地反映巖石的抗拉強(qiáng)度,對(duì)于硬巖,劈裂法一般偏低;對(duì)于軟巖或?qū)訝顜r石,劈裂法則偏高.這個(gè)規(guī)律可以通過本文提出的準(zhǔn)則做出很好的解釋.

圖10 巴西圓盤劈裂試驗(yàn)簡圖Fig.10 Diagram of Brazilian disc splitting test

劈裂法試驗(yàn)與單軸拉伸試驗(yàn)相比,其試件的受力狀態(tài)稍為復(fù)雜一些,前者為壓拉應(yīng)力狀態(tài),后者為單向受拉狀態(tài).以往在利用劈裂法確定巖石單軸抗拉強(qiáng)度時(shí),認(rèn)為圓盤中心沿x方向的拉應(yīng)力σx達(dá)到巖石的單軸抗拉強(qiáng)度時(shí),圓盤將從圓盤中心開始產(chǎn)生沿作用力P方向的劈裂破壞.下面將用建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則(12) 證明所求得的比真實(shí)的單軸抗拉強(qiáng)度σt小.

實(shí)際上圓盤中心的破壞是在σx和σy(σy=-3σx) 的共同作用下產(chǎn)生的,因σx和σy都為主應(yīng)力,所以對(duì)應(yīng)于破壞狀態(tài)的應(yīng)力狀態(tài)為:σ1=σ2=0,σ3=代入式(12),并利用式(5)可得

因0 ≤μt≤0.5,所以通過劈裂法獲得的比實(shí)際巖石的單軸抗拉強(qiáng)度σt小.當(dāng)μt=0.05 時(shí),=0.76;μt=0.1 時(shí),=0.6.所以直接將作為單軸抗拉強(qiáng)度時(shí)比實(shí)際的單軸抗拉強(qiáng)度σt偏低,當(dāng)μt=0.05 時(shí),可偏低24%,當(dāng)μt=0.1 時(shí),可偏低40%.

式中Pmax是巖石試件從圓盤中心拉開時(shí)的最大破壞載荷,d和t是圓盤的直徑和厚度.

實(shí)際上,在試驗(yàn)過程中難以保證外載荷P作用于一條直線上,對(duì)于軟巖更是如此.為了防止試件的破壞始于集中力作用處,ISRM 建議通過圖10(b) 所求的弧板模具對(duì)圓盤加壓,這時(shí)的外載荷P不是作用于一條直線上,而是作用在圓盤環(huán)向一定的范圍之內(nèi),隨著載荷不斷增大,這個(gè)加載范圍將不斷增大,對(duì)于軟巖加載范圍增大得會(huì)更為明顯.但如果仍按式(29) 計(jì)算圓盤中心拉開時(shí)的應(yīng)力,那么這必將造成誤差.

設(shè)弧板與圓盤之間的接觸角度為2α,文獻(xiàn)[41]獲得了圓盤中心沿x方向的拉應(yīng)力為

6 結(jié)論

本文通過主平面的最大面積增長率,建立了脆性巖石4 種應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度準(zhǔn)則,所獲得的強(qiáng)度準(zhǔn)則具有3 個(gè)形式類似的數(shù)學(xué)表達(dá)式.用主應(yīng)力σ1,σ2,σ3表示的強(qiáng)度準(zhǔn)則都是線性方程,強(qiáng)度準(zhǔn)則中只含有泊松比(μc,μt)和單軸抗壓強(qiáng)度σc兩個(gè)或3 個(gè)參數(shù).

通過三向受壓狀態(tài)和拉壓應(yīng)力狀態(tài)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了這類準(zhǔn)則的適用性.由強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的單軸抗壓強(qiáng)度理論值與實(shí)測(cè)值之間的平均相對(duì)誤差為6%左右,所獲得的泊松比也都落在巖石的正常取值范圍之內(nèi).

所建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則可以反映中間主應(yīng)力σ2對(duì)強(qiáng)度的影響,對(duì)于三向受拉和三向受壓狀態(tài),中間主應(yīng)力σ2對(duì)強(qiáng)度的影響與最小主應(yīng)力σ3完全等同.建立的強(qiáng)度準(zhǔn)則還可以反映靜水應(yīng)力狀態(tài)對(duì)強(qiáng)度的影響規(guī)律.

利用所提出的強(qiáng)度準(zhǔn)則,在理論上證明了通過圓盤劈裂法傳統(tǒng)計(jì)算公式不能正確計(jì)算巖石的實(shí)際抗拉強(qiáng)度.對(duì)于硬巖,傳統(tǒng)公式的計(jì)算結(jié)果比實(shí)際的單軸抗拉強(qiáng)度低,當(dāng)拉伸泊松比為0.05～0.1 時(shí),偏低24%～40%.

對(duì)于壓應(yīng)力狀態(tài),如果中間和最小主應(yīng)力(σ2,σ3) 很大,那么本文的強(qiáng)度準(zhǔn)則可能是不適用的,這是因?yàn)楸疚牡臏?zhǔn)則是基于巖石破壞前為線彈性的前提下獲得的,而當(dāng)σ1,σ2和σ3都很大時(shí),巖石破壞前進(jìn)入了塑性狀態(tài),此時(shí)巖石的破壞為延性破壞,不滿足線彈性的假設(shè)條件.