淺析柱狀微元模型在高考物理中的考查

黑龍江 劉 玉 高 洋

微元思想是高中物理中非常重要的思想方法，在高中物理學(xué)習(xí)中，建立微元思想可以提升對物理概念的理解、提高解決物理問題的能力。近些年高考物理試題中出現(xiàn)的“微元法”問題主要一類為柱狀微元模型，這類問題經(jīng)常在動量定理、功率、電流微觀表達(dá)式以及氣體壓強(qiáng)微觀表達(dá)式中進(jìn)行考查。

“微元法”的關(guān)鍵是通過取某一時(shí)刻某一小段(微元)作為研究對象進(jìn)行研究，可以將變速問題變?yōu)闃O短時(shí)間內(nèi)的勻速問題、恒速問題，體現(xiàn)了“化變?yōu)楹恪钡乃枷?。由于流體模型(如水流、氣流、粒子流等)具有連續(xù)性作用的特點(diǎn)，從整體上往往無從下手，這時(shí)我們就可以通過“微元法”處理。這里的“微元”主要體現(xiàn)在研究對象的選?。喝『芏虝r(shí)間Δt內(nèi)的流體物質(zhì)為研究對象，建立“柱狀模型”，研究對象的質(zhì)量均勻分布在橫截面積為S，長為vΔt的柱體內(nèi)，即Δm=ρSvΔt。

一、柱狀微元模型在動量定理問題中的考查

【例1】(2019·北京卷·24)雨滴落到地面的速度通常僅為幾米每秒，這與雨滴下落過程中受到空氣阻力有關(guān)。雨滴間無相互作用且雨滴質(zhì)量不變，重力加速度為g。

(1)質(zhì)量為m的雨滴由靜止開始，下落高度h時(shí)速度為u，求這一過程中克服空氣阻力所做的功W。

(2)將雨滴看作半徑為r的球體，設(shè)其豎直落向地面的過程中所受空氣阻力f=kr2v2，其中v是雨滴的速度，k是比例系數(shù)；

a.設(shè)雨滴的密度為ρ，推導(dǎo)雨滴下落趨近的最大速度vm與半徑r的關(guān)系式；

b.圖1中畫出了半徑為r1、r2(r1>r2)的雨滴在空氣中無初速下落的v-t圖線，其中________(填“①”或“②”)對應(yīng)半徑為r1的雨滴；若不計(jì)空氣阻力，請?jiān)趫D中畫出雨滴無初速下落的v-t圖線。

圖1

(3)由于大量氣體分子在各方向運(yùn)動的幾率相等，其對靜止雨滴的作用力為零。將雨滴簡化為垂直于運(yùn)動方向面積為S的圓盤，證明：圓盤以速度v下落時(shí)受到的空氣阻力f∝v2(提示：設(shè)單位體積內(nèi)空氣分子數(shù)為n，空氣分子質(zhì)量為m0)。

【試題分析】(1)(2)略

(3)設(shè)在極短時(shí)間Δt內(nèi)，空氣分子與雨滴碰撞，空氣分子的速率為u，

在Δt內(nèi)，空氣分子個(gè)數(shù)為：N=nSvΔt，其質(zhì)量為：

Δm=Nm0

取向下為正方向，對圓盤下方空氣分子由動量定理有：

F1Δt=Δm(v+u)-0

對圓盤上方空氣分子由動量定理有：

-F2Δt=0-Δm(u-v)

圓盤受到的空氣阻力為：f=F1-F2

聯(lián)立解得：f=2Sv2nm0∝v2

【反思】本題的難點(diǎn)是求空氣阻力的大小，而求空氣阻力的關(guān)鍵是在很短的一段Δt時(shí)間內(nèi)雨滴(圓盤)上方和下方空氣柱的選取，部分學(xué)生在求解過程中無法正確選取研究對象來進(jìn)行研究。需要注意的是雨滴運(yùn)動過程中，上、下方空氣均與其有相互作用，我們可以在任意位置取很短的一段Δt時(shí)間內(nèi)雨滴上、下方各一段質(zhì)量為Δm的空氣柱來研究，其中Δm=Nm0，N=nSvΔt，再通過柱狀微元的選取和動量定理的表達(dá)式就可以得出結(jié)果。

【變式1】(2020·海南高考真題)太空探測器常裝配離子發(fā)動機(jī)，其基本原理是將被電離的原子從發(fā)動機(jī)尾部高速噴出，從而為探測器提供推力，若某探測器質(zhì)量為490 kg，離子以30 km/s的速率(遠(yuǎn)大于探測器的飛行速率)向后噴出，流量為3.0×10-3g/s，則探測器獲得的平均推力大小為

( )

A.1.47 N B.0.147 N C.0.09 N D.0.009 N

【試題分析】取Δt時(shí)間內(nèi)從發(fā)動機(jī)尾部高速噴出的質(zhì)量為Δm的離子為研究對象，Δm=3.0×10-3×10-3Δt；根據(jù)動量定理有FΔt=Δmv，解得F=0.09 N。

根據(jù)牛頓第三定律，探測器獲得的平均推力大小為0.09 N，故選C。

對題干中“離子以30 km/s的速率(遠(yuǎn)大于探測器的飛行速率)向后噴出”的理解：認(rèn)為30 km/s的速率是離子相對探測器的速度大小，而探測器的飛行速率在Δt時(shí)間內(nèi)可以理解為不發(fā)生變化。

【變式2】(2019·全國卷Ⅰ·16)最近，我國為“長征九號”研制的大推力新型火箭發(fā)動機(jī)聯(lián)試成功，這標(biāo)志著我國重型運(yùn)載火箭的研發(fā)取得突破性進(jìn)展。若某次實(shí)驗(yàn)中該發(fā)動機(jī)向后噴射的氣體速度約為3 km/s，產(chǎn)生的推力約為4.8×106N，則它在1 s時(shí)間內(nèi)噴射的氣體質(zhì)量約為

( )

A.1.6×102kg B.1.6×103kg

C.1.6×105kg D.1.6×106kg

二、柱狀微元模型在功率問題中的考查

【例2】(2018·海南卷·6)某大瀑布的平均水流量為5 900 m3/s，水的落差為50 m。已知水的密度為1.00×103kg/m3。在大瀑布水流下落過程中，重力做功的平均功率約為

( )

A.3×106W B.3×107W

C.3×108W D.3×109W

圖2

【變式1】(2021·浙江高二期中)圖3為嘉興七一廣場音樂噴泉噴出水柱的場景。噴泉噴出的最高水柱約50 m，噴管的直徑約為10 cm，已知水的密度ρ=1×103kg/m3。據(jù)此估計(jì)噴管噴水的電動機(jī)的輸出功率約為

圖3

( )

A.6.5×104W B.1.3×105W

C.2.6×105W D.5.2×105W

【試題分析】噴泉噴水從噴泉口噴出的初速度為

在很短的一段Δt時(shí)間內(nèi)噴泉口噴出水的質(zhì)量為

根據(jù)動能定理，在Δt時(shí)間內(nèi)電動機(jī)對水流做功

【反思】部分學(xué)生在處理此問題時(shí)得出不一樣的結(jié)果，過程如下：

【變式2】圖4用高壓水槍噴出的強(qiáng)力水柱沖擊右側(cè)的煤層。設(shè)水柱直徑為D，水流噴出速度為v。方向水平，水柱垂直煤層表面，水柱沖擊煤層后水的速度為零。高壓水槍的質(zhì)量為M，手持高壓水槍操作，進(jìn)入水槍的水流速度可忽略不計(jì)，已知水的密度為ρ，下列說法正確的是

圖4

( )

A.高壓水槍的流量為vπD2

D.手對高壓水槍的作用力水平向右

三、柱狀微元模型在電流微觀表達(dá)式中的考查

【例3】(2020·北京卷·19)如圖5所示，真空中有一長直細(xì)金屬導(dǎo)線MN，與導(dǎo)線同軸放置一半徑為R的金屬圓柱面。假設(shè)導(dǎo)線沿徑向均勻射出速率相同的電子，已知電子質(zhì)量為m，電荷量為e。不考慮出射電子間的相互作用。

圖5

(1)可以用以下兩種實(shí)驗(yàn)方案測量出射電子的初速度：

A.在柱面和導(dǎo)線之間，只加恒定電壓；

B.在柱面內(nèi)，只加與MN平行的勻強(qiáng)磁場。

當(dāng)電壓為U0或磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0時(shí)，剛好沒有電子到達(dá)柱面。分別計(jì)算出射電子的初速度v0。

(2)撤去柱面，沿柱面原位置放置一個(gè)弧長為a、長度為b的金屬片，如圖6所示。在該金屬片上檢測到出射電子形成的電流為I，電子流對該金屬片的壓強(qiáng)為p。求單位長度導(dǎo)線單位時(shí)間內(nèi)出射電子的總動能。

圖6

【試題分析】(1)略

圖7

本題模型的建立需要選取單位時(shí)間內(nèi)射到單位面積的金屬片上的電子來研究，根據(jù)電流的比值定義式得到電流的微觀表達(dá)式，同時(shí)應(yīng)用柱狀微元動量定理表達(dá)式。

四、柱狀微元模型在壓強(qiáng)微觀表達(dá)式問題中的考查

【例4】(2019·全國卷Ⅱ·33)如圖8所示，1、2、3三個(gè)點(diǎn)代表某容器中一定量理想氣體的三個(gè)不同狀態(tài)，對應(yīng)的溫度分別是T1、T2、T3。用N1、N2、N3分別表示這三個(gè)狀態(tài)下氣體分子在單位時(shí)間內(nèi)撞擊容器壁上單位面積的次數(shù)，則N1________N2，T1________T3，N2________N3。(填“大于”“小于”或“等于”)

圖8

【試題分析】本題可定量推導(dǎo)氣體分子單位時(shí)間內(nèi)撞擊容器壁單位面積的次數(shù)N與壓強(qiáng)p的關(guān)系式，就是定量推導(dǎo)氣體壓強(qiáng)微觀表達(dá)式。

氣體壓強(qiáng)微觀表達(dá)式的推導(dǎo)：取正方體密閉容器(容器內(nèi)有大量運(yùn)動氣體分子)，每個(gè)粒子質(zhì)量為m，單位體積內(nèi)氣體分子數(shù)量n為恒量。為簡化問題，我們假定：氣體分子大小可以忽略；其速率均為v，且與器壁各面碰撞的機(jī)會均等；與器壁碰撞前后瞬間，氣體分子速度方向都與器壁垂直，且速率不變。利用所學(xué)力學(xué)知識，導(dǎo)出器壁單位面積所受氣體分子壓力F與m、n和v的關(guān)系。

設(shè)分子質(zhì)量為m，平均速率為v，單位體積的分子數(shù)為n(分子數(shù)密度)；建立圖9所示柱體模型，設(shè)柱體右側(cè)面積為S，長為l，則l=vΔt，柱體體積V=Sl

圖9

柱體內(nèi)分子總數(shù)N總=nV

氣體分子單位時(shí)間內(nèi)撞擊容器壁單位面積的次數(shù)N的表達(dá)式推導(dǎo)：

pΔSΔt=2NΔSΔtmv得p=2Nmv