構(gòu)造奇數(shù)平方階最完美幻方的方法

詹 森，王輝豐

（1.廣東技術(shù)師范大學(xué) 計算機科學(xué)系，廣東 廣州 510665；2.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南 ?？?571158）

文獻[1]解決了構(gòu)造雙偶數(shù)階最完美幻方的棘手難題，給出了理論證明。文獻[2]將其推廣到雙偶數(shù)階空間最完美幻立方。在此基礎(chǔ)上，本文進而給出構(gòu)造n2(n= 2m+ 1，m是自然數(shù))階最完美幻方的三步法及其證明，我們還可給出構(gòu)造奇數(shù)平方階空間最完美幻立方的方法(見注)，這就比較全面解決了構(gòu)造最完美幻方及幻立方的難題。

分三部分討論奇數(shù)平方階最完美幻方的構(gòu)造方法如下：

1 奇數(shù)平方階最完美幻方的定義[1-3]

類比雙偶數(shù)階最完美幻方的定義[1]，給出奇數(shù)平方階最完美幻方的定義如下：

設(shè)任一個n2(n= 2m+ 1，m是自然數(shù))階幻方為Ω，若Ω是一個中心對稱完美幻方且滿足：1）從Ω中任一點出發(fā)，在同一行中向右依次取相距k個位置（k=1，2，…，n）的數(shù)直至取到第n個數(shù)，再以這些數(shù)為起點在同一列中向下依次取相距k個位置（k=1，2，…，n）的數(shù)直至取到第n個數(shù)，由這些數(shù)組成一個n×n方陣（包括跨邊界的n×n方陣），其n2個數(shù)字的和都等于n2階幻方的幻方常數(shù)；2）從Ω中任何一個位置出發(fā)，按國際象棋中的馬步沿一個方向走下去，歷經(jīng)n2步必回到出發(fā)點，所歷經(jīng)的n2個數(shù)字之和都等于n2階幻方的幻方常數(shù)，則Ω稱為n2(n= 2m+ 1，m是自然數(shù)）階最完美幻方（見定理及證明）。

顯然，除奇數(shù)平方階最完美幻方外，不存在任何其他奇數(shù)階幻方是最完美幻方。

2 構(gòu)造n2(n = 2m + 1，m是自然數(shù))階最完美幻方的三步法

第1步 構(gòu)造n2階基方陣A

給定一個n階中心對稱幻方A*，從第一行開始由上至下逐行排列成一個1×n2的矩陣，稱為基本行。以基本行作為基方陣A的第m+ 1行，第m+ 1行左（或右）移n個位置得第m行，第m行左（或右）移n個位置得第m- 1行，依次類推直至得到第一行。第m+ 1行右（或左）移n個位置得第m+ 2行，第m+ 2行右（或左）移n個位置得第m+ 3行，依次類推直至得到第n行，得一個n×n2矩陣，記為A**，n個矩陣A**從上到下排列在一起所得就是n2階基方陣A。

顯然，第1+t?n行（t=0，1，…，n-1）相同，第2 +t?n行（t=0，1，…，n-1）相同，…，第n+t?n行（t=0，1，…，n-1）相同。

n2階基方陣A位于第h*=h+s?n行，第k*=k+t?n列的元素為a(h*,k*)，其中h，k=1，2，…，n；s，t=0，1，…，n-1。

第2步 求基方陣A的轉(zhuǎn)置方陣B

把基方陣A的列作為方陣B的行，把基方陣A的行作為方陣B的列，所得方陣B就是基方陣A的轉(zhuǎn)置方陣。

第3步 基方陣A中的元素減1后乘以n2再加上轉(zhuǎn)置方陣B的對應(yīng)元素，所得n2階方陣記為Ω，就是n2階最完美幻方。不同的n（n=2m+1，m是自然數(shù)）階中心對稱幻方可得不同的n2階最完美幻方。

3 定理及證明

定理 方陣Ω就是一個n2階最完美幻方。

證明 第1步 證明基方陣A是一個非正規(guī)的n2階最完美幻方。

2）因為基本行是中心對稱的，由基本行得n×n2矩陣A**過程也是中心對稱的，所以矩陣A**是中心對稱的，從而n2階基方陣A是中心對稱的。

3）計算基方陣A從左上角到右下角的對角線和泛對角線上所有元素的和。由文獻[4]的余函數(shù)法，設(shè)R(x)是周期為n2的余函數(shù)，r(x)是周期為n的余函數(shù)。

由a(f*+ 1,1)開始的從左上角到右下角的對角線和泛對角線上元素a(h*,k*)的共性是R(h*-k*)=f*，其中，h*，k*=1，2，…，n2，f*=0，1，…，n2-1，不同的f*對應(yīng)不同的對角線或泛對角線，在求和的過程中f*是固定的。為簡單起見，R(h*-k*)=f*簡記為μ*，出于同樣的考慮，r(h-k) =f簡記為μ，其中，h，k=1，2，…，n，f=0，1，…，n-1，計算基方陣A從左上角到右下角的對角線和泛對角線上所有元素的和為

由a(f**,n2)開始的從右上角到左下角的對角線和泛對角線上元素a(h*,k*)的共性是R(h*+k*)=f**，其中，h*，k*=1，2，…，n2，f**=0，1，…，n2，不同的f**對應(yīng)不同的對角線或泛對角線，在求和的過程中f**是固定的。為簡單起見，R(h*+k*)=f**簡記為ν*，出于同樣的考慮，r(h+k)=fˉ簡記為ν，h，k=1，2，…，n，f=0，1，…，n，計算基方陣A從右上角到左下角的對角線和泛對角線上所有元素的和為

因而從非正規(guī)對稱完美幻方A中任何一個點出發(fā)，按國際象棋中的馬步沿右下方向直著走下去，歷經(jīng)n2步必回到出發(fā)點，所歷經(jīng)的n2個數(shù)字之和都等于非正規(guī)對稱完美幻方A的幻方常數(shù)。當(dāng)沿右下方向橫著走下去，結(jié)果相同：

同理，順著其他方向走馬步結(jié)果都相同。

綜上所述，基方陣A是一個非正規(guī)的n2階最完美幻方。

第2步 顯然，基方陣A中的元素減1后乘以n2所得方陣是一個非正規(guī)的n2階最完美幻方，轉(zhuǎn)置方陣B也是一個非正規(guī)的n2階最完美幻方?；疥嘇中的元素減1后乘以n2再加上轉(zhuǎn)置方陣B的對應(yīng)元素，所得n2階方陣Ω就是一個非正規(guī)的n2階最完美幻方。

第3步 以基方陣A笫一行的元素表示其其他元素

其中，k*= 1,2,…,n2,p= 0,1,…,n2- 1。

設(shè)轉(zhuǎn)置方陣B位于第h*行第k*列的元素為b(h*,k*)，其中h*,k*= 1,2,…,n2，a(1+p,R(k*+p?n))所對應(yīng)的元素為

為基方陣A位于第k*行的元素，即1，2，…，n2的自然數(shù)。

基方陣A中的元素減1后乘以n2所得方陣由形如p?n2（p= 0,1,…,n2- 1）的數(shù)所組成?；疥嘇中的元素減1后乘以n2再加上轉(zhuǎn)置方陣B的對應(yīng)元素，所得n2階方陣Ω由形如p?n2+h*（p= 0,1,…,n2- 1,h*=1,2,…,n2）的數(shù)所組成，即由1，2，…，n4的自然數(shù)所組成。綜上所述，方陣Ω是一個正規(guī)的n2階最完美幻方。

由第一步n×n2矩陣A**的安裝知，每一個n階中心對稱幻方按本文的三步法可產(chǎn)生兩個不同的正規(guī)的n2階最完美幻方。根據(jù)在文獻[4]給出的構(gòu)造奇數(shù)階對稱幻方或奇數(shù)階對稱完美幻方的二步法，共可產(chǎn)生2m+1(m!)種不同的n(n= 2m+ 1，m是自然數(shù))階對稱幻方或?qū)ΨQ完美幻方，相應(yīng)地就可產(chǎn)生2m+2(m!)種不同的正規(guī)的n2階最完美幻方。由于存在其他構(gòu)造奇數(shù)階對稱幻方的方法，所以實際上可得到比2m+1(m!)更多的正規(guī)的n2階最完美幻方。

例 由5階對稱幻方產(chǎn)生的25階最完美幻方（見圖1、2）。

圖1 5階對稱幻方Figure 1 5 order symmetric magic square

圖2 25階最完美幻方Figure 2 25 order most perfect magic square