用數(shù)學(xué)思想方法貫穿教學(xué)全程

鄭召欣

[摘 要]人教版教材第十一冊(cè)的“雞兔同籠”課程以數(shù)學(xué)思想方法貫穿始末，旨在讓學(xué)生在探究中摸索解題良方，體驗(yàn)解題時(shí)策略的多樣性，對(duì)列表法、假設(shè)法有所了解，訓(xùn)練邏輯推理能力，磨礪應(yīng)用能力。

[關(guān)鍵詞]雞兔同籠;數(shù)學(xué)思想;教學(xué)設(shè)計(jì);教學(xué)反思

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0062-02

一、教學(xué)思路與教學(xué)目標(biāo)

“雞兔同籠”本是人教版教材第十一冊(cè)第七章的課程，主要推薦列表法、假設(shè)法和方程法解題，修訂后將其前移至第八冊(cè)，雖然仍屬數(shù)學(xué)廣角內(nèi)容，卻弱化了方程法的權(quán)重，增強(qiáng)了假設(shè)法的權(quán)重，還有額外的滲透數(shù)學(xué)思想的教學(xué)任務(wù)。四年級(jí)學(xué)生對(duì)一些數(shù)學(xué)思想有所聽聞，但都是膚淺、片面、表層的，缺乏深度和厚度，所以在這節(jié)課中要繼續(xù)鞏固提升，加大力度構(gòu)建數(shù)學(xué)思想體系大廈。

本課的教學(xué)目標(biāo)主要有以下幾點(diǎn)：1.了解“雞兔同籠”問題，感受古典問題的魅力;2.嘗試用列表法、作圖法、算術(shù)法來多途徑解決“雞兔同籠”問題，并能對(duì)比優(yōu)選，體會(huì)算術(shù)法的普遍性;3.體驗(yàn)解決問題對(duì)策和路線的多樣性，滲透化繁為簡、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練邏輯思維。教學(xué)重點(diǎn)為多途徑解決“雞兔同籠”問題，并優(yōu)選方法，體會(huì)算術(shù)法的算理和通用性。教學(xué)難點(diǎn)為通過數(shù)形結(jié)合的方法，從作圖法中推導(dǎo)出算術(shù)算式。

本課以《孫子算經(jīng)》中的趣味題作為楔子，以化繁為簡、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想為主線貫穿始末，讓學(xué)生先從簡單易操作的列表法突破，然后歸納出數(shù)學(xué)規(guī)律。為了使算式的意義通俗易懂，筆者先用作圖法，再利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想將圖示經(jīng)過用算式一一破譯出來，解題過程躍然紙上，最后對(duì)比三種解法并不斷優(yōu)化，彰顯算術(shù)解法的通用性和抽象性，但也提倡自選方法，為“雞兔同籠”問題探尋更多的科學(xué)解法。

二、教學(xué)過程

1.拋出趣題，激發(fā)興趣

出示主題圖《孫子算經(jīng)》中雞兔同籠的古典難題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？再出示白話文版本的譯文：竹籠里關(guān)著烏雞和白兔若干只。伸出竹籠外有35個(gè)腦袋，圍在竹籠里有94條腿。烏雞和白兔各有幾只？（開門見山引出主題）

師：你能解答這道題嗎？這道題稍顯復(fù)雜，可先從簡單的條件尋找突破口，再來謀劃如何解題。（板書“化繁為簡”）

【設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生領(lǐng)略其趣味，激發(fā)他們的好奇心和求勝心，繼而產(chǎn)生濃厚興趣。將文言文翻譯為白話文，本身就是一種化繁為簡。】

2.初步探索，解決問題

出示例1：竹籠子里有若干只烏雞和白兔。從上面數(shù)，有8只腦袋，竹籠底部，有26條腿。烏雞和白兔各有幾只？

教師先指點(diǎn)學(xué)生充分挖掘題中各種或明或暗的信息“每只烏雞有2條腿、每只白兔有4條腿”，在學(xué)生大膽猜想后推出列表法（如表1）。學(xué)生在稿紙上將表格完善，然后匯報(bào)交流。教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)籠內(nèi)雞兔的只數(shù)和腿數(shù)之間的數(shù)量變化關(guān)聯(lián)：同時(shí)減少1只烏雞增加1只白兔，頭數(shù)不變，但是腿數(shù)增加2。

【設(shè)計(jì)意圖：將整理數(shù)學(xué)信息時(shí)找到的規(guī)律通過列表展示出來，讓學(xué)生清醒地意識(shí)到解題要有條理，思路要清晰明確。列表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)后，綜合分析發(fā)現(xiàn)解題要訣在于每只烏雞和每只白兔腿數(shù)的差距，為后面教學(xué)算術(shù)方法做好鋪墊。】

3.提升難度，再次探索

教師先引進(jìn)作圖法，繼續(xù)強(qiáng)調(diào)化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，并用符號(hào)來記錄;再將學(xué)生分成兩大組：一組扮演烏雞、一組扮演白兔。“烏雞隊(duì)”發(fā)現(xiàn)腿數(shù)偏少，“白兔隊(duì)”發(fā)現(xiàn)腿數(shù)偏多。小組合作探究：“烏雞隊(duì)”怎么補(bǔ)足腿數(shù)？“白兔隊(duì)”怎么退還腿數(shù)？

小組代表發(fā)言：“烏雞隊(duì)”里每只烏雞可添補(bǔ)2條腿，缺少的10條可補(bǔ)充給5只烏雞，如此一來就有5只白兔、3只烏雞?！鞍淄藐?duì)”每只白兔可退還2條腿，送出的6條腿會(huì)讓3只白兔變身為烏雞。

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生再次體驗(yàn)多路徑解題和化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，逐步感受作圖法的優(yōu)勢，在小組比賽搶答和不斷討論中尋找規(guī)范答案。作圖法與后面的算術(shù)法原理相似。】

4.思想升華，構(gòu)建模型

師：如果“雞兔同籠”問題中涉及的數(shù)字較大，列表法和作圖法還好使嗎？（讓學(xué)生產(chǎn)生尋找一種通用方法的動(dòng)機(jī)）

師：你能把剛才作圖的每個(gè)步驟都翻譯成算式嗎？

（小組合作研究，用算式來書寫作圖流程。討論結(jié)束后，請(qǐng)各組代表敘述經(jīng)過，并輔之以課件動(dòng)畫說明）

師：為何兩種解法里都有“+2”這一步操作呢？（鄭重申明每只烏雞和每只兔的腿數(shù)的差值為2）

師：剛才大家不自覺運(yùn)用了一種重要的數(shù)學(xué)思想——數(shù)形結(jié)合。

（用算術(shù)法解答《孫子算經(jīng)》中的原題）

【設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生對(duì)于算術(shù)法的理解是教學(xué)難點(diǎn)，為了順利化解，采用了小組合作研討的策略，讓學(xué)生在集體商議中取長補(bǔ)短，摸透解題思路。由于算術(shù)法的算式就是從所作圖形中直譯而來的，既避開了直接理解的難點(diǎn)，也捎帶滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，可謂一箭雙雕。】

三、教學(xué)反思

1.一題多法，滲透數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)廣角是人教版教材的特色單元，設(shè)計(jì)的初衷就是為了滲透一些數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)問題時(shí)的決斷力和謀劃力，適時(shí)增加數(shù)學(xué)的趣味性，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生一定的興趣。在本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，筆者先通過一題多解引發(fā)對(duì)比和優(yōu)化，并讓學(xué)生多維度、多層次體驗(yàn)同一數(shù)學(xué)思想，感知數(shù)學(xué)思想的抽象性、普遍性和指導(dǎo)性。首先，滲透化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，再循序漸進(jìn)地滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生自己開動(dòng)腦筋解決問題，自力更生，感受數(shù)學(xué)的魅力。

2.鼓勵(lì)參與，在合作中提高學(xué)習(xí)效率。根據(jù)課標(biāo)倡導(dǎo)的“生本位”理念，在課堂上盡量設(shè)置自由民主的探索交流空間。本節(jié)課中，筆者主要通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生邊活動(dòng)邊摸索，自己去反思總結(jié)，得出結(jié)論，筆者只需教會(huì)學(xué)生運(yùn)用假設(shè)的數(shù)學(xué)思想即可。學(xué)生能夠積極地思考，深入探討，小組合作切實(shí)有效，數(shù)形結(jié)合的思想就會(huì)深入人心。

3.關(guān)注每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展，提高課堂教學(xué)的生成性。由于學(xué)生存在先天的個(gè)體差異，解題水平就會(huì)參差不齊，面對(duì)同一問題，學(xué)生的認(rèn)知水平也不盡相同。教師在教學(xué)時(shí)不能一刀切，要因材施教、因人而異。本節(jié)課，師生共同經(jīng)歷了不同的方法的探索，并進(jìn)行比較優(yōu)化，這樣教學(xué)既培養(yǎng)了學(xué)生的研究能力、溝通力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，又展現(xiàn)了算法的多樣性與擇優(yōu)錄用原則，同時(shí)面向全體，讓不同層級(jí)的學(xué)生各有所得。

總的來說，本節(jié)課為學(xué)生量身定做教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)過程設(shè)計(jì)合理，活動(dòng)素材充足，引人入勝，讓學(xué)生在合作探究中構(gòu)建知識(shí)。在整堂課中，學(xué)生學(xué)得興致勃勃、不亦樂乎，愉快地解決了問題，數(shù)學(xué)的價(jià)值和學(xué)習(xí)的樂趣盡在不言中。

（責(zé)編 羅 艷）