引入拉格朗日算子的最佳線性回歸模型選擇

閆廣峰 岑敏儀

1 內(nèi)江師范學(xué)院地理與資源科學(xué)學(xué)院，四川省內(nèi)江市東桐路705號(hào)，641100 2 西南交通大學(xué)地球科學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，成都市犀安路999號(hào)，611756

對(duì)線性回歸分析、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和自回歸分析等問題進(jìn)行建模時(shí)，往往需要根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行選擇，選取的模型參數(shù)過少會(huì)導(dǎo)致所建模型帶有系統(tǒng)誤差，而參數(shù)過多會(huì)在一定程度上降低解算精度[1]。由這幾類問題的數(shù)學(xué)模型特點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于平差模型優(yōu)選，均可歸結(jié)為最佳線性回歸模型的選擇問題。對(duì)于經(jīng)典線性回歸模型，線性假設(shè)法[2-3]是目前國(guó)內(nèi)外公認(rèn)的模型優(yōu)選有效方法，如利用其確定多項(xiàng)式回歸模型階數(shù)[4]、判斷坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型的相似變換條件是否成立[5]、檢驗(yàn)三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換中尺度參數(shù)的顯著性[6]以及確定一維自回歸模型和多維自回歸模型階數(shù)[7-8]等。研究表明，利用線性假設(shè)法需滿足一定假設(shè)條件：每次被檢驗(yàn)的兩個(gè)模型中至少存在一個(gè)符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際，否則得到的結(jié)果不可靠[9-10]。但在實(shí)際建模時(shí)，每次檢驗(yàn)的兩個(gè)模型是否符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際往往未知，因此，采用該方法解決含有多個(gè)待選模型的最佳模型選擇問題時(shí)，結(jié)果的可靠性和有效性有時(shí)無法保證[11]。

此外，經(jīng)典線性回歸模型認(rèn)為僅因變量包含測(cè)量誤差，而忽略自變量的測(cè)量誤差。但在實(shí)際應(yīng)用中，回歸模型的自變量和因變量均源自觀測(cè)數(shù)據(jù)(或測(cè)量平差值)，不可避免地含有誤差。因此，傳統(tǒng)回歸分析基于經(jīng)典線性回歸模型并采用最小二乘法求解回歸系數(shù)，其解具有有偏性[12]。對(duì)此，同時(shí)顧及自變量和因變量測(cè)量誤差的回歸模型得到發(fā)展，采用整體最小二乘法求解回歸系數(shù)[13-15]，其解具有漸進(jìn)無偏性[16]。這些研究成果均以給定的平差模型為基礎(chǔ)，而在實(shí)際應(yīng)用中，利用這些方法往往應(yīng)先考慮模型的適用性問題，只有選用合理的平差模型才能夠準(zhǔn)確表達(dá)觀測(cè)量之間的物理或幾何關(guān)系。

目前，除線性假設(shè)檢驗(yàn)法外，還有白噪聲檢驗(yàn)準(zhǔn)則[10]、殘差平方和準(zhǔn)則[1,17]、赤池弘治信息準(zhǔn)則[18]等模型優(yōu)選方法，但這些方法同樣僅適用于經(jīng)典線性回歸模型，無法直接用于自變量和因變量均含誤差的回歸模型。由此可見，研究有效的適用于同時(shí)考慮自變量和因變量測(cè)量誤差的最佳線性回歸模型的選擇理論和方法，是亟待解決的問題。為此，文本基于同時(shí)考慮自變量和因變量測(cè)量誤差的線性回歸模型，結(jié)合附有參數(shù)約束的測(cè)量平差理論和含有多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論，研究線性回歸模型的優(yōu)選方法。

1 附有約束條件的線性回歸模型

1.1 顧及自變量和因變量測(cè)量誤差的線性回歸模型

線性回歸分析、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和自回歸分析等問題的平差模型均可看作線性回歸模型。在傳統(tǒng)線性回歸分析模型基礎(chǔ)上，為自變量引入誤差向量，可得：

(1)

式(1)中各項(xiàng)誤差的隨機(jī)模型為：

(2)

式中，σ0為單位權(quán)中誤差；Qy為觀測(cè)量誤差的協(xié)因數(shù)矩陣；設(shè)A中含有u個(gè)不同的隨機(jī)量，a為將A中不同的隨機(jī)量按列依次提取組成的u×1向量，eAs為a對(duì)應(yīng)的誤差向量，QAs為a的協(xié)因數(shù)陣。

式(1)可視為非線性高斯-赫爾默特模型。將EA中隨機(jī)量作為待估參數(shù)，式(1)可表示為：

(3)

顯然，式(3)為非線性模型，將其轉(zhuǎn)化為線性模型并采用高斯-牛頓法迭代求解。設(shè)第i次迭代后，參數(shù)ξ的估值為ξ(i)，eAs的估值為eAs(i)，將式(3)右端在(ξ(i)，eAs(i))處采用泰勒級(jí)數(shù)展開并取至一階項(xiàng)：

(4)

式中，δξ為ξ(i)的微小改正值；R為與ξ(i)及EA有關(guān)的n×u矩陣，滿足ReAs=EAξ(i)。

構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

(5)

對(duì)各變量求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，可得：

(6)

(7)

以參數(shù)的最小二乘解為初值，根據(jù)式(6)和式(7)進(jìn)行迭代計(jì)算，直至‖δξ(i+1)‖2<ε(ε為很小的常數(shù))時(shí)迭代結(jié)束。

1.2 附有參數(shù)約束的線性回歸模型

在線性回歸分析、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和自回歸分析等問題對(duì)應(yīng)的回歸模型中，參數(shù)個(gè)數(shù)少的均可通過對(duì)參數(shù)個(gè)數(shù)多的附加一定的參數(shù)約束得到。因此，建模時(shí)若給定模型參數(shù)選擇的最大范圍，并稱待選模型中參數(shù)個(gè)數(shù)最多的為一般回歸模型(general regression model, GRM)，則其他待選模型均可通過對(duì)GRM依次添加相應(yīng)參數(shù)約束得到。

假定對(duì)某實(shí)際問題，共有(f+1)個(gè)待選回歸模型，根據(jù)模型中未知參數(shù)個(gè)數(shù)由多至少依次排序，設(shè)其分別為F1=0、F2=0…Ff=0、F(f+1)=0。選擇參數(shù)個(gè)數(shù)最多的F1=0為GRM，則第j個(gè)待選模型Fj=0可通過在式(3)基礎(chǔ)上增加一個(gè)約束方程Gjξ=bj得到，即

(8)

式中，j=2,3,…,(f+1)；Gjξ=bj為第j個(gè)待選模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)約束條件。

由式(4)、式(6)和式(7)迭代求解無約束線性回歸模型的系數(shù)矩陣誤差和未知參數(shù)值，設(shè)在第m次迭代后參數(shù)向量滿足收斂條件。

結(jié)合式(4)，將式(8)在(ξ(m)，eAs(m))處采用泰勒級(jí)數(shù)展開并取至一階項(xiàng)：

(9)

按求條件極值的方法構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)：

(10)

式中，K為對(duì)應(yīng)約束條件的聯(lián)系數(shù)向量(拉格朗日算子)。

對(duì)各變量求偏導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0，可得：

(11)

(12)

拉格朗日算子及其對(duì)應(yīng)的方差協(xié)方差陣為：

(13)

(14)

需要說明的是，在實(shí)際坐標(biāo)轉(zhuǎn)換問題中，仿射基準(zhǔn)變換模型允許不同坐標(biāo)軸采用不同的尺度和旋轉(zhuǎn)參數(shù)，這樣更具一般性，可將其作為GRM；對(duì)于線性回歸分析和自回歸分析問題，可首先選擇N/3～2N/3(N為樣本觀測(cè)值個(gè)數(shù))之間的整數(shù)作為預(yù)設(shè)擬合最高階數(shù)[7]，若在后續(xù)分析中接近預(yù)設(shè)最高階數(shù)仍未得到最佳模型，可再調(diào)整預(yù)設(shè)擬合最高階數(shù)。

2 最佳線性回歸模型選擇

以眾多待選模型中參數(shù)最多的模型作為GRM，則除GRM外的待選模型可表示為附有參數(shù)約束的線性回歸模型，進(jìn)而可以基于附有參數(shù)約束的測(cè)量平差理論和含有多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論，從中選出既符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際，又具有最少模型參數(shù)的線性回歸模型，稱為初選回歸模型(primary regression model, PRM)。通過分析不同模型平差后的參數(shù)精度，進(jìn)一步篩選出最佳回歸模型(optimum regression model, ORM)。

2.1 模型初選

要從眾多待選模型中選出最佳模型，首先要對(duì)各模型中相應(yīng)的附加參數(shù)約束進(jìn)行多個(gè)備選假設(shè)檢驗(yàn)和顯著性分析，以定位出不兼容的參數(shù)約束?？紤]到最佳模型應(yīng)是參數(shù)解算精度高且模型參數(shù)盡可能少的平差模型[17]，提出原假設(shè)和備選假設(shè)分別為：

(15)

式中，H0為原假設(shè)；H1，H2，…，Hf為f個(gè)備選假設(shè)。當(dāng)F(f+1)=0中參數(shù)約束G(f+1)ξ=b(f+1)對(duì)回歸模型影響不顯著時(shí)接受H0，則F(f+1)=0為PRM；否則拒絕H0，備選模型中PRM需通過進(jìn)一步假設(shè)檢驗(yàn)分析來確定。

式(10)中拉格朗日算子是為求解條件極值而引入的中間未知量，已有研究表明[11,19]，其數(shù)值大小反映的是參數(shù)約束對(duì)回歸模型影響強(qiáng)度的大小，當(dāng)約束條件對(duì)無約束線性回歸模型影響顯著時(shí)，拉格朗日算子往往較大，反之較小?；诖?，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：

(16)

(17)

式中，v(m+1)為無約束線性回歸模型在滿足收斂條件時(shí)的觀測(cè)值殘差向量，Q為其對(duì)應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣。

給定顯著水平α，其表示H0為真時(shí)拒絕H0的概率，只有c′個(gè)約束條件全部成立時(shí)才接受H0。設(shè)c′個(gè)約束條件之間相互獨(dú)立，且每個(gè)約束條件成立的概率為1-α1，則c′個(gè)約束條件全部成立的概率P1為：

(18)

于是有：

1-α=(1-α1)c′=1+c′(-α1)+

(c′(c′-1)/2)(-α1)2+(c′(c′-1)(c′-2)/

(3×2))(-α1)3+…

(19)

由于α1為遠(yuǎn)小于1的常數(shù)，因此式(19)可忽略高次項(xiàng)，從而得到：

(20)

α1≈α/c′

(21)

因此對(duì)于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)量T，當(dāng)T

2)將其他待選模型統(tǒng)一為式(8)形式，并在(ξ(m)，eAs(m))處采用泰勒級(jí)數(shù)展開，得到式(9)形式。

3)設(shè)原假設(shè)H0和備選假設(shè)HA。H0：待選模型中參數(shù)個(gè)數(shù)最少者為PRM；HA：其他模型為PRM。

4)對(duì)于由參數(shù)約束最多的模型，根據(jù)式(13)和式(14)得到拉格朗日算子向量K及其對(duì)應(yīng)的方差協(xié)方差陣DKK。

5)根據(jù)式(16)和式(21)構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T并進(jìn)行t檢驗(yàn)，若T

6)從待選模型組合中刪除原假設(shè)對(duì)應(yīng)的線性回歸模型，得到新的待選模型組合，并重復(fù)步驟3)～5)，直到H0成立，算法結(jié)束。

2.2 最佳模型選擇

要從眾多待選模型中得到最佳模型，需要對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)得到的PRM與其他待選模型作進(jìn)一步分析。為此，對(duì)比分析所有待選模型平差后的參數(shù)精度。當(dāng)各模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的中誤差接近時(shí)，取參數(shù)個(gè)數(shù)最少的模型為最佳模型；而當(dāng)全部或部分模型參數(shù)對(duì)應(yīng)的中誤差相差較大時(shí)，取最小中誤差對(duì)應(yīng)的模型為最佳回歸模型(ORM)。

當(dāng)無約束線性回歸模型取得最優(yōu)解時(shí)，待估參數(shù)的方差協(xié)方差陣為：

(22)

當(dāng)?shù)趈個(gè)附有參數(shù)約束的待選模型取得最優(yōu)解時(shí)，待估參數(shù)的方差協(xié)方差陣為：

(23)

(24)

式中，vj(m+1)為第j個(gè)待選模型取得最優(yōu)解時(shí)求得的隨機(jī)誤差向量，Q為其對(duì)應(yīng)的協(xié)因數(shù)陣，c′j為第j個(gè)待選模型中參數(shù)約束條件的個(gè)數(shù)。

為敘述方便，稱以上包含模型初選和最佳模型選擇等環(huán)節(jié)的線性回歸模型優(yōu)選方法為引入拉格朗日算子的最佳線性回歸模型選擇算法(optimum linear regression model selection algorithm with Lagrange multipliers)，簡(jiǎn)稱OLRS-LM法。OLRS-LM算法步驟為：首先將眾多待選模型統(tǒng)一為附有參數(shù)約束的線性回歸模型，然后進(jìn)行最佳線性回歸模型的篩選分析。由此可見，當(dāng)不考慮回歸模型中自變量的測(cè)量誤差時(shí)，該方法同樣可行，只是無需進(jìn)行模型線性化及迭代求解。

3 算例分析

設(shè)計(jì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型優(yōu)選實(shí)驗(yàn)對(duì)OLRS-LM算法的應(yīng)用效果進(jìn)行分析。選取某GPS網(wǎng)中19個(gè)控制點(diǎn)(點(diǎn)號(hào)為1～19)在工程獨(dú)立坐標(biāo)系下的坐標(biāo)作為Ⅰ套坐標(biāo)系下的模擬真值，并設(shè)計(jì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)：平移參數(shù)X0=10 m、Y0=20 m，尺度參數(shù)κx=1、κy=1，旋轉(zhuǎn)角ωx=5.00″、ωy=5.00″，得到控制點(diǎn)在Ⅱ套坐標(biāo)系下的坐標(biāo)真值?？刂泣c(diǎn)兩套坐標(biāo)真值見表1。

在控制點(diǎn)的2套坐標(biāo)中添加期望u=0、中誤差σ=5.0 mm的正態(tài)分布隨機(jī)誤差，分別采用OLRS-LM算法和線性假設(shè)法進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型優(yōu)選分析。由于經(jīng)典的線性假設(shè)法只能用于傳統(tǒng)線性回歸模型，而且要求被檢驗(yàn)的2個(gè)模型中至少有一個(gè)成立，因此，本文在應(yīng)用時(shí)對(duì)經(jīng)典的線性假設(shè)法進(jìn)行適當(dāng)改進(jìn)：1)逐個(gè)選擇各待選模型與參數(shù)最多的模型，進(jìn)行單個(gè)備選假設(shè)檢驗(yàn)；2)對(duì)檢驗(yàn)通過的待選模型兩兩組合進(jìn)行檢驗(yàn)，由此得到最佳的平差模型。該過程可確保每次檢驗(yàn)的2個(gè)模型中至少有一個(gè)符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際，以保證線性假設(shè)法檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。

在平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中，盡管兩參數(shù)和三參數(shù)模型實(shí)際應(yīng)用較少，卻是兩種重要的模型，如在定量分析不同坐標(biāo)系之間的系統(tǒng)誤差時(shí)，應(yīng)盡可能地考慮不同坐標(biāo)系之間的差異可能性。因此，將待選轉(zhuǎn)換模型均設(shè)為仿射變換模型、相似變換模型、三參數(shù)模型和兩參數(shù)模型。其中，后3種轉(zhuǎn)換模型均可由仿射變換模型附加相應(yīng)參數(shù)約束得到，具體如下。

1)仿射變換模型：

(25)

式中，(xⅠi,yⅠi)、(xⅡi,yⅡi)分別為第i個(gè)點(diǎn)在Ⅰ、Ⅱ兩套坐標(biāo)系中的二維坐標(biāo)，a1=κxcosωx、a2=κysinωy、b1=κxsinωx、b2=κycosωy，(X0，Y0)、(κx，κy)、(ωx，ωy)分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)坐標(biāo)軸的平移、尺度和旋轉(zhuǎn)參數(shù)。

坐標(biāo)變換過程中圖形保持正形特點(diǎn)需滿足柯西-黎曼微分方程：

(26)

式中，Δxi=xⅡi-xⅠi，Δyi=yⅡi-yⅠi。

由式(26)可得滿足正形變換條件的相似變換模型，附加參數(shù)約束為[1]：

(27)

在相似變換模型基礎(chǔ)上，若要得到尺度參數(shù)為1的三參數(shù)模型，附加參數(shù)約束為：

(28)

若2套坐標(biāo)系之間僅有沿坐標(biāo)軸的平移，則為兩參數(shù)模型，附加參數(shù)約束為：

a2=0

(29)

根據(jù)式(25)～(29)可得顧及自變量和因變量測(cè)量誤差的仿射變換模型，將其他待選模型表示為附有參數(shù)約束的線性回歸模型。OLRS-LM算法的模型參數(shù)優(yōu)選分析結(jié)果見表2和表3，線性假設(shè)法結(jié)果見表4。其中，2種方法的顯著水平均分別取α1=0.05和α2=0.01。

表4 線性假設(shè)檢驗(yàn)法最佳模型選擇結(jié)果

從表2和表3可以看出，三參數(shù)模型為初選平差模型，且為最佳平差模型。具體來看，無論取顯著水平α1=0.05還是α2=0.01，對(duì)于兩參數(shù)模型，根據(jù)拉格朗日算子構(gòu)造的假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量遠(yuǎn)大于閾值，表明兩參數(shù)模型中附加的部分(或全部)參數(shù)約束與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間存在不兼容，同時(shí)也說明旋轉(zhuǎn)參數(shù)在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型中具有顯著作用，必須引入；對(duì)于三參數(shù)模型，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于閾值，說明該模型中附加的全部參數(shù)約束與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間兼容性較好，旋轉(zhuǎn)角在X、Y兩個(gè)方向的差異不顯著。分別采用三參數(shù)模型、相似變換模型和仿射變換模型進(jìn)行平差，兩個(gè)平移參數(shù)的中誤差存在明顯差異，其中，三參數(shù)模型和相似變換模型求得的模型參數(shù)精度明顯高于仿射變換模型，且三參數(shù)模型的解算精度高于相似變換模型。由此可以說明，三參數(shù)模型更符合觀測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況，為最佳平差模型，這與仿真數(shù)據(jù)的實(shí)際情況相符。

表2 OLRS-LM算法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型初選結(jié)果

表3 三種模型平差后坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)的中誤差

由表4可知，兩參數(shù)模型、三參數(shù)模型和相似變換模型分別與仿射變換模型組合進(jìn)行差異性檢驗(yàn)，無論取顯著水平α1=0.05或α2=0.01，兩參數(shù)模型對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均遠(yuǎn)超過閾值，相似變換模型對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均小于閾值；三參數(shù)模型對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于閾值Fα1，小于閾值Fα2。由此說明，Ⅰ、Ⅱ兩坐標(biāo)系之間無顯著的尺度差異，但可能存在旋轉(zhuǎn)角。需要注意的是，此時(shí)并無法確定三參數(shù)模型即為參數(shù)解算精度最高的最佳模型，實(shí)際上其僅僅是完成最佳平差模型的初選。

分別采用4種待選坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型計(jì)算坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，并用模型參數(shù)的均方誤差M[21]評(píng)定參數(shù)估計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確度(參數(shù)均方誤差越小，參數(shù)估值準(zhǔn)確度越高)，以進(jìn)一步驗(yàn)證以上分析結(jié)果的正確性，結(jié)果見表5。

表5 4種待選模型解算得到坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)及參數(shù)均方誤差

由表5可知，兩參數(shù)模型求得參數(shù)的均方誤差較大，且解算得到的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)估計(jì)值嚴(yán)重偏離設(shè)計(jì)真值；而另外3種模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果較好，參數(shù)估值與設(shè)計(jì)值均相差較小，所得參數(shù)的均方誤差也都較小。三參數(shù)模型、相似變換模型和仿射變換模型求得的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)雖然均與設(shè)計(jì)值相近，但三參數(shù)模型的均方誤差最小，而且求得的平移、旋轉(zhuǎn)和尺度參數(shù)均與設(shè)計(jì)值最接近。由此可見，三參數(shù)模型較相似變換模型和仿射變換模型準(zhǔn)確度更高，結(jié)果更優(yōu)。為說明忽略自變量誤差建立回歸模型的不足，進(jìn)一步建立不考慮自變量誤差的三參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，并采用最小二乘法求解坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)，計(jì)算其模型參數(shù)均方誤差M，結(jié)果見表6。

表6 忽略自變量誤差的三參數(shù)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型平差結(jié)果

結(jié)合表5和表6可知，忽略自變量誤差后，所求參數(shù)的均方誤差變大，解算的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)除平移參數(shù)Y0基本未變化外，其他轉(zhuǎn)換參數(shù)均與設(shè)計(jì)值存在較大差異。

綜上分析可知，只有采用合理的平差模型，才能準(zhǔn)確表達(dá)觀測(cè)量之間的物理或幾何關(guān)系。在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)首先確定最符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際的平差模型，然后再進(jìn)行求解，否則可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，采用OLRS-LM算法和改進(jìn)的線性假設(shè)法均能對(duì)顧及自變量和因變量誤差的線性回歸模型選擇作出客觀、量化的評(píng)判，且OLRS-LM算法更為簡(jiǎn)便。此外，在相同顯著水平下，采用拉格朗日算子構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可得到正確的判斷結(jié)果，而線性假設(shè)法會(huì)出現(xiàn)“棄真”錯(cuò)誤，表明以拉格朗日算子構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量較線性假設(shè)法的檢驗(yàn)功效更高，得到的結(jié)果更可靠。

4 結(jié) 語

對(duì)線性回歸分析、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和自回歸分析問題進(jìn)行建模時(shí)，應(yīng)首先進(jìn)行模型優(yōu)選分析，以建立既符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際、參數(shù)解算精度又高的最佳模型。本文基于附有參數(shù)約束的測(cè)量平差理論和含有多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論，以拉格朗日算子構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，提出最佳線性回歸模型選擇算法，推導(dǎo)其求解公式，并設(shè)計(jì)具體求解算法，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的有效性，得到以下結(jié)論：

1)最佳模型的形式完全由觀測(cè)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況決定，將眾多待選模型統(tǒng)一為附有參數(shù)約束的線性回歸模型，該觀點(diǎn)是線性回歸分析、坐標(biāo)轉(zhuǎn)換和自回歸分析等問題建模時(shí)獲得最佳模型的依據(jù)，由此可將模型的優(yōu)選問題轉(zhuǎn)化為含有多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)問題。

2)對(duì)于合理的參數(shù)約束，顧及參數(shù)約束的線性回歸模型，其參數(shù)解算精度較無約束的線性回歸模型可得到一定程度提高，因此在實(shí)際建模時(shí)，對(duì)模型進(jìn)行優(yōu)選分析具有重要意義。

3)OLRS-LM算法可準(zhǔn)確找出既符合觀測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)際、參數(shù)解算精度又高的最佳平差模型，其以拉格朗日算子構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，能夠客觀、量化地診斷參數(shù)約束與觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的兼容性，較以殘差平方和構(gòu)造假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的線性假設(shè)法的檢驗(yàn)功效更高，結(jié)果更可靠。