溫度反饋控制棘輪的最優(yōu)控制*

劉天宇 曹佳慧 劉艷艷 高天附? 鄭志剛

1) (沈陽師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,沈陽 110034)

2) (華僑大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,廈門 361021)

基于Cao 的誤差棘輪模型,通過引入溫度因子進(jìn)一步對反饋棘輪實(shí)施控制.本文詳細(xì)討論了溫度因子、溫度相位差和溫度頻率對耦合布朗粒子定向輸運(yùn)的影響.研究發(fā)現(xiàn),溫度因子并不總是減小溫度反饋棘輪的定向輸運(yùn),這意味著在一定條件下溫度因子還可以增強(qiáng)反饋棘輪的定向輸運(yùn).此外,在小溫度振幅范圍內(nèi)耦合粒子的質(zhì)心平均速度和Pe 數(shù)隨溫度頻率的變化都呈多峰結(jié)構(gòu).這一結(jié)果表明,合適的溫度變化頻率能夠使反饋棘輪的定向輸運(yùn)獲得多次的增強(qiáng).本文所得結(jié)論不僅能夠啟發(fā)實(shí)驗(yàn)上通過選取合適的溫度反饋信息來優(yōu)化布朗棘輪的定向輸運(yùn),還可為實(shí)驗(yàn)上的數(shù)據(jù)分析與處理特別是誤差分析提供理論參考.

1 引言

生物分子馬達(dá)是將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能的酶蛋白大分子.實(shí)驗(yàn)研究表明,生物分子馬達(dá)的定向運(yùn)動充分參與了細(xì)胞內(nèi)的物質(zhì)輸運(yùn)過程,如胞膜穿梭、信號傳導(dǎo)和病毒包裝等[1?3].最新的實(shí)驗(yàn)研究還發(fā)現(xiàn),肌球蛋白的突變與擴(kuò)張性或肥厚性的心肌病、視網(wǎng)膜色素變性和失聰?shù)劝Y狀有關(guān);動力蛋白的失活是導(dǎo)致男性不育的原發(fā)性纖毛運(yùn)動障礙的原因之一.隨著生物分子馬達(dá)的高持續(xù)免洗快速檢測技術(shù)的日漸成熟,實(shí)驗(yàn)者們可以把標(biāo)記物(如熒光探針)快速移動到探測窗口,這一操作省卻了傳統(tǒng)檢測方法中標(biāo)記物的清洗步驟,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了生物分子馬達(dá)的快速定量探測[4].由此可見,生物分子馬達(dá)定向輸運(yùn)的研究對生物學(xué)、醫(yī)學(xué)乃至未來分子機(jī)器的研發(fā)等都具有十分重要的意義[5?7].

理論上,生物分子馬達(dá)的定向運(yùn)動都可用棘輪模型進(jìn)行研究[8?12].然而,其中大多數(shù)的研究模型都是不依賴于系統(tǒng)狀態(tài)的開環(huán)棘輪.如Rosalie 和Fabrice[13]詳細(xì)討論了外勢變化時的開環(huán)棘輪,模型為.本模型描述了經(jīng)典過阻尼布朗粒子在外勢、外力和高斯白噪聲作用下的隨機(jī)運(yùn)動,發(fā)現(xiàn)粒子流隨外勢驅(qū)動速度v的增加能夠呈現(xiàn)最大值.Pawel 和Felix[14]還研究了振蕩周期勢中的開環(huán)布朗棘輪,發(fā)現(xiàn)粒子流會隨外力的增加而增大.通過對開環(huán)棘輪的不斷探索,理論上人們又提出了依賴于棘輪狀態(tài)的閉環(huán)棘輪[15?18].對于這種控制策略,Wang 和Bao[19]對反饋閃爍棘輪進(jìn)行了研究,耦合粒子的運(yùn)動方程為該模型主要研究受反饋控制z(t)、外勢、耦合力及噪聲作用下布朗馬達(dá)的定向運(yùn)動.這種閉環(huán)控制方式主要通過判斷耦合粒子受到外勢的平均作用而實(shí)現(xiàn)反饋控制.當(dāng)耦合粒子受到的平均作用力大于零時,外勢處于打開狀態(tài)(z(t)1 );反之,外勢處于關(guān)閉狀態(tài)(z(t)0).Wang 和Bao[19]發(fā)現(xiàn)閃爍周期是影響粒子流大小的關(guān)鍵因素.此外,Feito 等[20]還詳細(xì)研究了反饋搖擺棘輪,發(fā)現(xiàn)在外力振幅和頻率的共同作用下粒子的定向輸運(yùn)速度能夠呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).這種閉環(huán)棘輪的整流作用主要依賴于系統(tǒng)隨時間的演化,也就是說外勢的調(diào)制與系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān).如果知道任意時刻粒子的位置,根據(jù)上述開關(guān)的控制方式布朗粒子能夠產(chǎn)生定向運(yùn)動(幾率流).實(shí)驗(yàn)上為了實(shí)現(xiàn)上述控制方法,研究者們通過監(jiān)測溶液中膠體粒子的狀態(tài),進(jìn)而可以對外勢的打開或關(guān)閉實(shí)施反饋控制[21].然而,在大多數(shù)反饋棘輪的控制中,如文獻(xiàn)[15?18]的反饋控制,并沒有考慮外界因素對實(shí)驗(yàn)操控的影響,特別是實(shí)驗(yàn)上不可避免的隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和人為誤差等因素對實(shí)驗(yàn)操作的影響.由此,為了進(jìn)一步研究誤差因素對反饋棘輪的影響,Feito 和Cao[22]開創(chuàng)性地提出了誤差概率p這一思想,并討論了誤差概率存在下反饋棘輪的輸運(yùn)行為.研究結(jié)果表明,粒子流會隨誤差概率的增加而減小.誤差概率p的引入打破了人們對固有反饋棘輪的認(rèn)識,為反饋控制棘輪模型的研究提供了新方向.

然而,在早期關(guān)于誤差概率存在下反饋棘輪的研究中,Cao 的研究組僅討論了誤差概率p存在下棘輪的定向輸運(yùn)問題,有關(guān)誤差概率究竟是由什么因素引起的,特別是p在實(shí)驗(yàn)中會受哪些實(shí)際因素的影響并不是十分清楚.因此,深入探索p的產(chǎn)生條件以及由此帶來的影響是十分必要的.此外,實(shí)驗(yàn)研究還發(fā)現(xiàn),生物分子馬達(dá)在微管間的運(yùn)動要受介質(zhì)環(huán)境的作用,特別是溫度會對分子馬達(dá)的定向運(yùn)動有較大影響.例如,Jayannavar 研究組[23]討論了熱浴環(huán)境中的反饋布朗粒子,發(fā)現(xiàn)熱噪聲強(qiáng)度是影響粒子流大小的主要因素.我們研究小組也討論了雙阱棘輪勢中的反饋布朗粒子,發(fā)現(xiàn)在一定條件下粒子流呈周期性變化,且這種周期性會隨熱噪聲強(qiáng)度的增大而變得越來越不明顯[24].最近的實(shí)驗(yàn)研究表明,環(huán)境溫度越高,粒子的運(yùn)動越劇烈,實(shí)驗(yàn)上對粒子進(jìn)行的反饋控制就越不容易實(shí)現(xiàn),因此誤差p的產(chǎn)生概率也會隨之增大.由此可見,上述和溫度相關(guān)的反饋控制棘輪的研究實(shí)例為分析不同溫度下布朗馬達(dá)的反饋操控問題提供了理論啟發(fā).進(jìn)而深入討論由溫度變化帶來的實(shí)驗(yàn)誤差概率的影響更具實(shí)際意義.這一理論研究還可為反饋棘輪的實(shí)驗(yàn)操控、數(shù)據(jù)分析以及誤差分析等提供強(qiáng)有力的理論支撐.

本文主要研究了不同臨界溫度、溫度頻率和相位差等作用下反饋棘輪的定向輸運(yùn),討論了這些因素對耦合布朗馬達(dá)質(zhì)心平均速度、質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)Deff及Pe數(shù)的影響.研究發(fā)現(xiàn),合適的溫度相位差、頻率和臨界溫度都能促進(jìn)溫度反饋棘輪的定向輸運(yùn).此外還發(fā)現(xiàn),在溫度振幅及溫度頻率的共同作用下,耦合布朗粒子的定向運(yùn)動會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu).本文所得結(jié)論不僅能為實(shí)驗(yàn)上的反饋操控提供理論依據(jù),還可為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析與處理、誤差來源分析與計(jì)算提供理論啟發(fā).

2 溫度反饋棘輪模型

本文主要研究受周期外勢V(xi)、相互作用勢U0(x1,x2)、反饋控制βi(t) 及噪聲作用條件下的耦合布朗馬達(dá),其動力學(xué)行為可由過阻尼朗之萬方程描述:

其中,t時刻兩個耦合布朗粒子的位置分別為x1(t)和x2(t);γ是介質(zhì)的阻尼系數(shù);方程中(i1,2) 項(xiàng)表述的是耦合粒子受到的棘輪作用,V(xi) 是棘輪的周期外勢,其表達(dá)式為

式中L為棘輪勢的周期,V0是勢壘高度;U0(x1,x2)是兩個耦合布朗粒子的相互作用勢,表述如下:

其中k為耦合強(qiáng)度,a是彈簧的自由長度.

在生物分子馬達(dá)的實(shí)驗(yàn)中,發(fā)現(xiàn)驅(qū)動蛋白馬達(dá)的步進(jìn)具有持續(xù)性,并且馬達(dá)的兩個頭部是交替步進(jìn)的,進(jìn)而相應(yīng)的ATP 水解過程也會交替進(jìn)行.例如,馬達(dá)前導(dǎo)頭的ATP 水解放熱提高了其所在的環(huán)境溫度,然后溫度再傳到后隨頭上并且能夠繼續(xù)進(jìn)行ATP 水解.正是這種水解方式使結(jié)構(gòu)相同的馬達(dá)的兩個頭部間出現(xiàn)了溫度差和相位差.這一現(xiàn)象為研究處于不同細(xì)胞環(huán)境溫度下布朗馬達(dá)的輸運(yùn)特性提供了參考.由此,方程(1)中高斯白噪聲ξi(t) 滿足如下統(tǒng)計(jì)特性[25]:

其中kB是玻爾茲曼常數(shù),Ti為布朗馬達(dá)頭部所處的環(huán)境溫度,其變化形式可寫為

式中A和T0是溫度變化的振幅,ω是溫度變化的頻率,θ是兩個溫度間的相位差.

方程(1)的βi(t) 是控制棘輪勢打開或關(guān)閉的有效開關(guān).一般情況下,當(dāng)耦合布朗粒子受到棘輪的平均作用力大于零時,棘輪勢處于打開狀態(tài)(β(t)1);反之,當(dāng)布朗粒子受到的平均作用力小于等于零時,棘輪勢處于關(guān)閉狀態(tài)(β(t)0).因此,通常的反饋棘輪的控制開關(guān)可表示為[16]

其中β(t) 是反饋棘輪的開關(guān),F(t) 是耦合布朗粒子在棘輪勢V(x) 中受到的平均作用力,即

然而,Cao 的研究組[22,26]在上述反饋棘輪基礎(chǔ)上引入一個新的想法,即存在p的誤差概率影響外勢開關(guān)的判斷,誤差概率p的取值范圍如下:

相應(yīng)地,棘輪勢的控制開關(guān)也將受到影響,不再是(8)式的形式.也就是說,當(dāng)棘輪勢的平均作用力大于零時,棘輪的控制開關(guān)將并不完全處于打開狀態(tài),即存在p的誤差概率使棘輪處于關(guān)閉狀態(tài),則此時棘輪勢處于打開狀態(tài)的有效概率變?yōu)?(1?p) ;類似地,當(dāng)棘輪勢的平均作用力小于等于零時,棘輪也并不是完全處于關(guān)閉狀態(tài),即存在p的誤差概率將使棘輪處于打開狀態(tài),則此時棘輪勢處于打開狀態(tài)的概率為p.根據(jù)上述分析,反饋棘輪處于打開狀態(tài)的概率變?yōu)?

其中σ(t) 是粒子處于不同位置時棘輪打開的實(shí)際概率.

由于分子馬達(dá)在生物體內(nèi)水解 A TP 時會受環(huán)境溫度的影響,溫度越高,粒子運(yùn)動越劇烈,對粒子進(jìn)行的反饋控制便越不容易實(shí)現(xiàn),相應(yīng)地實(shí)驗(yàn)上也越容易產(chǎn)生隨機(jī)誤差.因此,本文提出利用溫度因子αi進(jìn)一步對反饋棘輪的開關(guān)實(shí)施控制,αi的表達(dá)式為

式中TC是臨界溫度.也就是說,當(dāng)?shù)趇個布朗粒子的環(huán)境溫度Ti小于等于臨界溫度TC時,棘輪的開關(guān)較易操作,且實(shí)驗(yàn)上不容易產(chǎn)生誤差,此時溫度因子幾乎為0.然而,當(dāng)環(huán)境溫度一旦大于臨界溫度TC時,布朗粒子的運(yùn)動較為劇烈,相對低溫情況而言實(shí)驗(yàn)上棘輪開關(guān)的操作容易產(chǎn)生誤差,且其溫度因子可表為Tmax為環(huán)境溫度Ti的最大值.

綜合(11)式與(12)式的分析,朗之萬方程(1)中總的有效控制開的概率可寫成如下形式:

式中fi(t)?V ′(xi)(i1,2),αip表示的 是誤差概率,即如果第i個布朗粒子受到外勢的作用力大于零,第i個粒子棘輪勢的狀態(tài)有 (1?αip) 的概率是打開的,同時還伴隨αip的概率是關(guān)閉的;類似地,如果第i個布朗粒子受到外勢的作用小于等于零,那么棘輪勢的狀態(tài)有αip的概率是打開的,同時還有 (1?αip) 的概率棘輪處于關(guān)閉狀態(tài).因此無論粒子處于空間中的什么位置,即粒子受到棘輪的作用無論是大于零還是小于等于零,實(shí)際上每個粒子所處的棘輪勢都有打開的概率.對于同一時刻、同一位置來說,每個粒子的反饋開關(guān)同時存在兩種狀態(tài),即:正確的開、錯誤的關(guān)或者正確的關(guān)、錯誤的開.因此,方程(1)描述的是誤差概率存在下受溫度信息控制的反饋布朗棘輪模型.

為了研究耦合粒子的定向輸運(yùn),本文采用耦合布朗粒子的質(zhì)心平均速度來描述反饋棘輪的輸運(yùn)行為,即[27]:

其中,〈·〉表示系綜平均,S為耦合布朗粒子的演化時間.由于布朗粒子在一段時間內(nèi)會產(chǎn)生擴(kuò)散現(xiàn)象,因此本文進(jìn)一步引入質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)Deff來描述耦合粒子位移的漲落,表述如下[28]:

對于溫度反饋棘輪來說,僅知道質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)還不能對反饋棘輪的定向輸運(yùn)進(jìn)行全面了解,為此進(jìn)一步引入Pe數(shù),如下式[11,29,30]:

Pe數(shù)描述的是棘輪的平均速度與質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)的比,表示粒子的定向運(yùn)動 〈Vcm〉 與隨機(jī)擴(kuò)散Deff之間的競爭關(guān)系.當(dāng)Pe<1,定向輸運(yùn)只起很小的作用;當(dāng)Pe>1 時,輸運(yùn)以漂移為主.因此反饋棘輪的Pe數(shù)越大,表明耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)越強(qiáng)[13].

本文采用龍格-庫塔算法對方程(1)進(jìn)行數(shù)值模擬,研究布朗粒子的定向輸運(yùn)行為.文中模擬了8×103條軌道,每個軌道演化 1 04步,時間步長取10?3.無特別說明時,模型參數(shù)取γ1.0,V01.0,kB1.0,k300,L1.0,a0.3.為方便計(jì)算,所有物理量已經(jīng)過無量綱化處理.

3 結(jié)果與討論

3.1 溫度相位差 θ 的影響

為了研究反饋棘輪在不同溫度環(huán)境下的定向輸運(yùn),本文詳細(xì)討論了溫度棘輪的質(zhì)心平均速度〈Vcm〉、質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)Deff及Pe數(shù)隨棘輪不同參量的變化行為.

如圖1(a)所示,本文詳細(xì)討論了不同溫度因子αi(i1,2) 下質(zhì)心平均速度 〈Vcm〉 隨溫度相位差θ的變化關(guān)系.由(6)式、(7)式和(12)式可知,對于固定的A,ω,T0和θ值,耦合粒子所處的環(huán)境溫度Ti有相同的最大溫度Tmax,進(jìn)而有αi ∝TC.因此,對αi的研究相當(dāng)于對臨界溫度Tc的研究.由(7)式可知,粒子的定向輸運(yùn)隨相位差θ的增加呈周期性變化.為了便于分析,本文僅畫出質(zhì)心平均速度變化的一個周期圖像,如圖1(a)所示.有趣的是,當(dāng)溫度因子較小時,如αi0.2,平均速度隨溫度相位差θ的變化曲線會產(chǎn)生一個波谷;隨著αi的增加,如αi0.3 時,〈Vcm〉 隨θ的變化會變?yōu)橐粋€波峰曲線;隨著αi的繼續(xù)增加,〈Vcm〉 的變化曲線出現(xiàn)了兩個完整的波峰,且隨αi的增加雙峰結(jié)構(gòu)越來越顯著,曲線峰值對應(yīng)θ的最優(yōu)值也向兩側(cè)移動.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因主要是在溫度相位差θ和溫度因子αi這兩個和溫度有關(guān)的因子相互協(xié)作和競爭作用下,耦合粒子的定向運(yùn)動將被促進(jìn)或抑制,因而溫度反饋棘輪能夠存在一個或兩個極值.更為有趣的是,通過圖1(a)可看出,質(zhì)心平均速度〈Vcm〉關(guān)于θπ 對稱.由此可見,在溫度相位差θ和溫度因子αi的共同作用下,可通過選擇一個或多個合適的溫度相位差增強(qiáng)反饋棘輪的定向輸運(yùn).

圖1 (a) 質(zhì) 心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨溫度相位差 θ 的變化曲線,其中 ω =0.1π,A=1.0 ,T0=0.7Fig.1.Curves of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the phase different of temperature θ,where ω =0.1π,A=1.0 ,T0=0.7.

圖1(b)給出溫度因子αi不同時溫度反饋棘輪的質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)Deff與溫度相位差θ的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),Deff隨θ的增加先減小后增大,而且在這個變化過程中Deff的最小值幾乎都出現(xiàn)在θπ附近.產(chǎn)生這一結(jié)果的原因可由(7)式即T2T0[1+Asin(ωt+θ)]2進(jìn)行分析.當(dāng)θπ 時,溫度T2隨時間的變化能夠取到最小值,這意味著此時耦合棘輪的溫度最低,粒子越不容易發(fā)生擴(kuò)散.因此,在相位差變化的一個周期內(nèi),溫度棘輪的擴(kuò)散會在θπ 處出現(xiàn)最小值.此外,與圖1(a)類似,Deff曲線也是關(guān)于θπ 對稱.同時,研究還發(fā)現(xiàn),當(dāng)θ固定時Deff并不隨αi單調(diào)變化,說明溫度因子αi對粒子的質(zhì)心擴(kuò)散也具有顯著的影響.

圖1(c)表示不同溫度因子αi下耦合布朗粒子的Pe數(shù)和溫度相位差θ的函數(shù)關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)Pe數(shù)同樣不隨θ單調(diào)變化,與圖1(b)的變化趨勢剛好相反,當(dāng)θ≤π時,Pe數(shù)隨著θ的增加而增大;當(dāng)θ >π 時,Pe數(shù)隨著θ的增加而減小.因此溫度棘輪存在一個最優(yōu)θ值能使耦合粒子的Pe數(shù)達(dá)到最大.根據(jù)(16)式,Pe數(shù)表示平均速度與擴(kuò)散系數(shù)Deff的比.如圖1(a)所示,在速度變化范圍不太大的情況下,近似有,因此Pe數(shù)圖像與Deff圖像的變化行為正好相反.這意味著可通過改變溫度相位差θ的方法來增強(qiáng)溫度棘輪的定向輸運(yùn)特性.

3.2 臨界溫度 Tc 的影響

圖1 的研究結(jié)果已表明,溫度因子αi會對溫度棘輪的定向輸運(yùn)產(chǎn)生影響.此外,根據(jù)(12)式可知,當(dāng)環(huán)境溫度的最大值Tmax一定時,αi與臨界溫度TC成正比.因此,通過研究不同臨界溫度TC時的輸運(yùn)情況可間接地討論αi對溫度反饋棘輪定向輸運(yùn)的影響.此外,由(6)式、(7)式和(12)式可知,對于固定的A,ω和θ值,不同的溫度振幅T0將使耦合粒子所處的環(huán)境溫度Ti有不同的最大值Tmax,因此圖2 中每條曲線最右端TC變化范圍的最大值(臨界值)也是不同的.

圖2 (a) 質(zhì)心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨臨界溫度 TC 的變化曲線,其中 ω =0.1π,A=1.0,θ=0.2πFig.2.Curves of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the critical temperature TC,where ω=0.1π,A=1.0,θ =0.2π.

圖2(a)是不同溫度振幅T0作用下臨界溫度TC對棘輪平均速度 〈Vcm〉 的影響.可以看出,隨著TC的增加,溫度棘輪的平均速度先減小后增加且在某一合適的TC處 〈Vcm〉 產(chǎn)生一個波谷.同時,對于同一T0來說,當(dāng)TC取最小值0 和相應(yīng)的最大值時,平均速度都能獲得最大值.產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因可由(12)式和(13)式分析得到.當(dāng)TC0 時,αi0,此時反饋棘輪不存在誤差概率,即βi(t)1,進(jìn)而反饋棘輪處于打開狀態(tài)的概率最大.因此,反饋信息棘輪的平均速度能夠產(chǎn)生最大值.同理,當(dāng)TC取環(huán)境溫度的最大值Tmax時,即αi1,這種條件下反饋棘輪處于錯誤打開的概率也是最大的,進(jìn)而粒子的質(zhì)心平均速度也能獲得最大值.然而,當(dāng)臨界溫度在兩個極值區(qū)間變化時,粒子的平均速度必然會產(chǎn)生最小值,因此溫度棘輪的輸運(yùn)會有波谷的產(chǎn)生.同時,研究還發(fā)現(xiàn),隨著T0的增加,溫度反饋棘輪的整體輸運(yùn)也隨之增大,且粒子達(dá)到波谷時所需的TC也隨之增大.這是因?yàn)殡S著T0的增大,粒子所處溶液環(huán)境的整體溫度升高,粒子運(yùn)動更劇烈,進(jìn)而粒子越過棘輪勢形成定向運(yùn)動的概率增加,促進(jìn)了棘輪中粒子質(zhì)心平均速度的增大.上述結(jié)果進(jìn)一步表明,在一定條件下通過選取合適的臨界溫度TC(即實(shí)驗(yàn)上合適的誤差概率的產(chǎn)生)還能夠使溫度反饋棘輪的質(zhì)心平均速度達(dá)到極值.這一結(jié)論可為實(shí)驗(yàn)上反饋棘輪的數(shù)據(jù)分析特別是誤差分析提供一定的理論啟發(fā).

圖2(b)給出溫度振幅T0不同時耦合布朗粒子的質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)Deff與臨界溫度TC的變化關(guān)系.研究發(fā)現(xiàn),Deff隨TC的變化先增加后減小,由此在Deff的變化過程中能夠產(chǎn)生擴(kuò)散的最大值.同時,與圖2(a)比較可以發(fā)現(xiàn),Deff峰值對應(yīng)的TC值和〈Vcm〉 波谷對應(yīng)的TC值大致相同.上述現(xiàn)象可由擴(kuò)散公式(15)式進(jìn)行解釋.由于質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)反映的是質(zhì)心漲落速度變化的物理量,從圖2(a)已知質(zhì)心平均速度的變化過程中將有極小值的產(chǎn)生,也就是說在整個 〈Vcm〉 從極大值到極小值或從極小值到極大值的變化過程中,質(zhì)心速度的變化存在最大值,相應(yīng)地,質(zhì)心漲落的速度即Deff也必然存在最大值,且Deff產(chǎn)生極值處的TC與相應(yīng) 〈Vcm〉 波谷處的TC大致相等.研究還發(fā)現(xiàn),隨著T0的升高耦合粒子的Deff也隨之增大,且達(dá)到最大Deff值所對應(yīng)的優(yōu)化臨界溫度TC值右移(變大).產(chǎn)生這一現(xiàn)象的原因是環(huán)境溫度越高,耦合粒子運(yùn)動越劇烈,因此溫度棘輪的擴(kuò)散現(xiàn)象也越顯著.

圖2(c)給出不同溫度振幅T0下耦合布朗粒子的Pe數(shù)隨臨界溫度TC變化的函數(shù)關(guān)系.顯而易見,圖2(c)與圖2(b)的曲線變化趨勢正好相反.結(jié)果表明,溫度棘輪的Pe數(shù)不隨TC單調(diào)變化,而會出現(xiàn)最小值.產(chǎn)生這一結(jié)果主要是因?yàn)镻e數(shù)的變化將依賴于平均速度與擴(kuò)散系數(shù)的變化情況.根據(jù)圖2(a)與圖2(b)的分析,當(dāng) 〈Vcm〉 達(dá)到最小值時Deff近似達(dá)到最大值,因此這兩個量的比值會有最小值的產(chǎn)生.特別地,隨著T0的增加,發(fā)現(xiàn)溫度反饋棘輪中粒子的Pe數(shù)也隨之降低,這一現(xiàn)象說明實(shí)驗(yàn)上由于不可避免的誤差概率的存在,利用較小的溫度振幅T0便能有效促進(jìn)耦合粒子的定向運(yùn)動,從而達(dá)到增強(qiáng)溫度棘輪定向輸運(yùn)的效果.

3.3 溫度頻率 ω 的影響

由于耦合布朗粒子的定向運(yùn)動受溫度的影響較大,因此本文進(jìn)一步討論了(6)式中不同溫度振幅A下反饋棘輪的定向輸運(yùn)隨溫度頻率ω的變化情況,如圖3(a)所示.插圖給出A1.0 時反饋棘輪的整體變化行為.結(jié)果表明,整體上溫度棘輪的平均速度隨溫度變化頻率ω的增加先減小后增加最后趨于穩(wěn)定.這是因?yàn)楫?dāng)ω趨于0 時,在溫度Ti變化的每個周期內(nèi)耦合粒子接觸環(huán)境溫度的時間非常長,這樣會導(dǎo)致耦合粒子越過勢壘形成定向運(yùn)動的概率增加,因此當(dāng)ω→0 時平均速度較大;同理可分析,當(dāng)ω在較小的范圍內(nèi)增加時,耦合粒子越過勢壘形成定向運(yùn)動的概率減小,相應(yīng)地平均速度會變小.然而,當(dāng)ω非常大時,粒子接觸環(huán)境溫度Ti的時間非常短暫且非常頻繁,近似地可看成耦合粒子處于恒溫環(huán)境中,這樣會使耦合粒子越過勢壘形成定向運(yùn)動的概率達(dá)到最大,因此反饋棘輪的定向輸運(yùn)能夠達(dá)到最大并趨于穩(wěn)定.由上述討論,可進(jìn)一步分析當(dāng)平均速度從最小值到最大值的變化過程中 〈Vcm〉 一定是增加的.因此,平均速度總體的變化趨勢是先減小后增加最終趨于穩(wěn)定.此外,更為有趣的是在小頻率變化范圍內(nèi),如圖3(a)所示,溫度棘輪的平均速度呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),且隨溫度頻率的增加 〈Vcm〉 峰值變化的幅度逐漸減小.這種多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生主要是溫度振幅A和溫度頻率ω這兩個溫度因子之間相互協(xié)作和競爭的結(jié)果,使耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)將被促進(jìn)或抑制,因而溫度反饋棘輪能夠產(chǎn)生多個極值.

本文進(jìn)一步研究了不同溫度振幅A條件下溫度反饋棘輪的擴(kuò)散Deff隨溫度頻率ω的變化關(guān)系,如圖3(b)所示.研究結(jié)果表明,在圖3(a)所示的小頻率變化范圍,隨著溫度變化頻率ω的增加溫度反饋棘輪的Deff仍呈多峰結(jié)構(gòu).這一現(xiàn)象的產(chǎn)生同樣是由A和ω這兩個溫度因子之間的相互協(xié)作和競爭所導(dǎo)致.理論上同樣可從擴(kuò)散公式(15)式進(jìn)行分析,質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)只和質(zhì)心漲落的速度有關(guān),因此一定條件下當(dāng)平均速度呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)時,擴(kuò)散系數(shù)Deff也相應(yīng)地隨之產(chǎn)生多峰結(jié)構(gòu).也就是說,合適的溫度變化頻率ω也能使溫度反饋棘輪的擴(kuò)散達(dá)到最強(qiáng).此外,研究還發(fā)現(xiàn),對于同一ω值,Deff隨溫度振幅A的增加而增大,這是因?yàn)闇囟仍礁叻答伡喌臄U(kuò)散越明顯.

圖3 (a) 質(zhì)心平均速度 〈 Vcm〉,(b) 質(zhì)心擴(kuò)散系 數(shù) Deff 和(c) P e 數(shù)隨溫 度頻率 ω 的變化曲線,其 中 T0=0.7,θ=0.2π,αi=0.8Fig.3.Curve of (a) the center-of-mass mean velocity 〈 Vcm〉,(b) the center-of-mass diffusion coefficient Deff and (c) Pe number varying with the temperature frequency ω,where T0=0.7,θ =0.2π ,α i=0.8.

類似地,由上述分析同理可得,溫度反饋棘輪的平均速度和Deff的多峰結(jié)構(gòu)同樣還會導(dǎo)致Pe數(shù)多峰結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生,如圖3(c)所示.此外,研究還發(fā)現(xiàn),對于同一ω值,Pe數(shù)隨溫度振幅A的增大而減小,這是因?yàn)樵谒俣茸兓秶惶蟮臈l件下,近似地 有Pe與Deff成 反比.由于Deff隨A的增加 而增大,進(jìn)而會導(dǎo)致Pe隨A的增加而減小.如圖1(b)與圖1(c),圖2(b)與圖2(c)所示,類似地也存在同樣的結(jié)論.此外,在小溫度頻率變化范圍內(nèi)反饋棘輪存在多個最優(yōu)溫度頻率值ωopt能夠使耦合粒子的Pe數(shù)達(dá)到極大值,這也意味著一定條件下溫度信息棘輪的定向輸運(yùn)能夠獲得多次的增強(qiáng).

4 總結(jié)

本文研究了處于不同溫度下反饋棘輪中耦合布朗粒子的定向輸運(yùn)問題,詳細(xì)討論了溫度相位差、臨界溫度及溫度變化頻率對耦合粒子的質(zhì)心平均速度、擴(kuò)散系數(shù)及Pe數(shù)的影響.研究發(fā)現(xiàn),溫度因子并不總是減小布朗粒子的定向輸運(yùn),這也意味著在某一變化區(qū)間內(nèi)溫度因子(即臨界溫度TC)的存在還能增強(qiáng)反饋棘輪的定向輸運(yùn).研究還發(fā)現(xiàn),在小溫度振幅范圍內(nèi),粒子的輸運(yùn)隨溫度頻率的變化呈現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu),即存在多個溫度變化頻率能使耦合粒子的質(zhì)心平均速度、質(zhì)心擴(kuò)散系數(shù)及Pe數(shù)都能達(dá)到極值,這也意味著合適的溫度變化頻率可以使反饋棘輪的定向輸運(yùn)獲得多次增強(qiáng).此外,本文研究還發(fā)現(xiàn),溫度反饋棘輪的質(zhì)心平均速度隨耦合強(qiáng)度k的增加能夠出現(xiàn)極值,這也說明合適的耦合強(qiáng)度能夠促進(jìn)溫度反饋棘輪的定向輸運(yùn).由于篇幅所限,本文討論的僅是兩個耦合粒子的情形,且每個粒子的控制開關(guān)βi(t) 都不同.若系統(tǒng)的粒子數(shù)增加,實(shí)驗(yàn)操作上每個粒子的誤差產(chǎn)生率會隨之變大,因此溫度誤差棘輪的粒子流也會相應(yīng)地減小.

此外,本文主要基于Cao 的開創(chuàng)性模型,即在誤差棘輪的基礎(chǔ)上通過提出溫度因子αi進(jìn)而對反饋棘輪實(shí)施控制的.實(shí)驗(yàn)上,在棘輪的具體操作過程中研究者可以通過監(jiān)控布朗粒子的實(shí)時溫度,并與環(huán)境的最大溫度進(jìn)行比較,進(jìn)而可以在原有反饋棘輪的控制方式中加入對溫度的判斷過程.通過這種實(shí)驗(yàn)操控能夠深入了解溫度對誤差棘輪輸運(yùn)的影響.然而,本文討論的內(nèi)容僅關(guān)注于分子馬達(dá)所處的溶液環(huán)境即溫度信息對誤差概率p造成的影響.當(dāng)然,在具體實(shí)驗(yàn)操作中還有其他因素,如外勢結(jié)構(gòu),時間延遲等因素仍會對誤差概率p(隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差等因素)造成一定影響,這也是今后誤差棘輪研究的方向.本文所得結(jié)論不僅可以通過調(diào)節(jié)溫度信息(如臨界溫度、溫度振幅、頻率等參量)來優(yōu)化反饋棘輪的輸運(yùn)特性,更可為實(shí)驗(yàn)上的數(shù)據(jù)的分析與處理特別是誤差來源的分析與計(jì)算提供理論啟發(fā).