修正的變分迭代法在四階Cahn-Hilliard 方程和BBM-Burgers 方程中的應(yīng)用*

鐘鳴 田守富 時怡清

(中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,徐州 221100)

變分迭代法是一種基于變分原理,具有高數(shù)值精度的數(shù)值格式,目前已廣泛應(yīng)用于各類強非線性孤立波方程的數(shù)值求解中.本文利用修正的變分迭代法對兩類非線性方程進行研究.該格式是對原數(shù)值方法的一種改進,即在變分項前引入了參數(shù)h.通過定義誤差函數(shù)的離散二范數(shù)并在定義域內(nèi)繪出h-曲線,從而確定出使誤差達到最小的h,再返回原迭代過程進行求解.同時,參數(shù)的引入也擴大了原數(shù)值解的收斂域,在迭代次數(shù)一定的情況下達到了數(shù)值最優(yōu).在數(shù)值實驗中,將上述結(jié)果應(yīng)用于四階的Cahn-Hilliard 方程和Benjamin-Bona-Mahoney-Burgers 方程.對于四階的Cahn-Hilliard 方程,普通的變分迭代法絕對誤差在 1 0?1 左右,經(jīng)過修正后,絕對誤差降為 1 0?4,而且修正后的方法擴大了原數(shù)值解的收斂域.對于Benjamin-Bona-Mahony-Burgers 方程,利用帶有輔助參數(shù)的變分迭代法將數(shù)值解的精度提高到 1 0?3,對真解的逼近效果優(yōu)于原始的變分迭代法.此數(shù)值方法也為其他強非線性孤立波微分方程的數(shù)值求解提供了方法和參考.

1 引言

非線性科學(xué)作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理的一個重要組成,具有廣泛的分支.如非線性場論[1]、玻色-愛因斯坦凝聚物[2]、孤立波理論[3,4]、非線性光學(xué)[5,6]等.而非線性發(fā)展方程本身的物理背景和孤立波解的特殊性質(zhì)使得孤子理論成為當(dāng)前科學(xué)發(fā)展的前沿和熱點問題.目前,已經(jīng)發(fā)展出了多種多樣的用來處理各種可積方程的解析方法,如Fokas 方法[7,8]、反散射變換[9?11]、達布變換[12,13]等.最近,光孤子的出現(xiàn)也引起了一大批學(xué)者的關(guān)注[14?17].但是由于發(fā)展型方程的強非線性,解析方法不總是適用的.因此數(shù)值方法的出現(xiàn)大大促進了孤立子理論和非線性物理的發(fā)展.如楊建科[18]提出的平方迭代算法來進行孤立波的穩(wěn)定性分析得到了廣泛的應(yīng)用;Bao 和Yin[19]利用四階時間分裂傅里葉譜方法研究了Diarc 方程,也被推廣到其他非線性方程中;Antoine 等[20]使用數(shù)值方法研究了非線性薛定諤方程的動力學(xué)性質(zhì);Cockburn 和Shu[21]以及Jiang 和Shu[22]率先提出了間斷有限元和加權(quán)無本質(zhì)振蕩(WENO)等方法,極大豐富了數(shù)值求解偏微分方程的格式.

本文要介紹的變分迭代法與上述幾種傳統(tǒng)的數(shù)值求解方法相比,有著求解過程靈活、收斂速度快、數(shù)值精度高等優(yōu)勢.He[23]首次提出了變分迭代法,并對變分迭代方法進行了非常清晰的討論.同時該方法也被推廣到各類積分-微分方程[24,25]的數(shù)值求解中.Hesameddini 和Latifizadeh[26]使用Laplace 變換重構(gòu)了變分迭代算法;Salkuyeh[27]證明了變分迭代算法的收斂性.至此,變分迭代法的基本理論已經(jīng)成形.Noor 和Mohyud-Din[28]利用He’s 多項式對變分迭代法進一步改進,該方法將變分迭代法與同倫攝動法[29]進行結(jié)合,大大提高了數(shù)值精度;Zayed 和Rahman[30]利用改進后的變分迭代法研究了KdV 方程和Wu-Zhang 方程的數(shù)值解,說明了變分迭代法在處理高維問題上的優(yōu)勢.

本文第2 節(jié)簡要介紹原始變分迭代法的原理以及求解過程;第3 節(jié)重點介紹帶有參數(shù)攝動的修正變分迭代法[31],該方法通過在變分項前引入?yún)?shù)h,從而對原始數(shù)值算法進行改進,提高了格式的收斂性;第4 節(jié)和第5 節(jié)將上述方法應(yīng)用到兩類強非線性孤立波微分方程中,其逼近效果理想,且與問題的物理性質(zhì)兼容.

2 變分迭代法

考慮一般的微分方程

其中L[u(x)]和N[u(x)] 分別代表線性項和非線性項,f(x) 為已知函數(shù).變分迭代法的主要思想是為(1)式構(gòu)造一個校正泛函如下.

其中λ(η) 稱為廣義的拉氏乘子,可以用變分理論最佳識別.對(2)式兩邊同時對uk(x) 取變分δ,即

簡而言之,方程(1)的求解過程如下,給定初值u0(x),

其中k0,1,···,進行迭代計算.

上述通過迭代算法得到解的方法便稱為變分迭代法.

3 修正的變分迭代法

可以將未知的輔助參數(shù)插入到變分迭代算法(4)式中,則算法修正如下:

給定初值u0(x),通過以下迭代式進行計算

其中k0,1,···.通常會采取截斷解uk(x,t,h),其中含有輔助參數(shù)h,它保證了數(shù)值精度、收斂速度以及收斂域,這種方法被稱為帶有輔助參數(shù)的變分迭代算法.該格式的最大優(yōu)點是簡便,并且能在較大的收斂域中對原方程進行近似.通常,可通過誤差函數(shù)在給定的區(qū)域內(nèi)根據(jù)二范數(shù)畫出h曲線,從而確定出h的最佳取值,再將h代入到迭代算法(5)式中進行求解.

4 四階Cahn-Hilliard 方程

考慮如下的四階Cahn-Hilliard 方程:

同時給定初值u(x,0)u0(x).其中ψ(u) 是關(guān)于u的光滑函數(shù),一般為非線性.四階Cahn-Hilliard方程是Cahn 和Hilliard[32]在1958 年研究二元合金的分離現(xiàn)象時首次提出的.隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,該方程的應(yīng)用越來越廣泛,例如多相流中的界面動力學(xué).一些學(xué)者利用經(jīng)典的數(shù)值方法對四階Cahn-Hilliard 方程進行求解,例如有限元方法[33]、間斷有限元法[34]、多重網(wǎng)格法[35].本文的主要工作是通過修正的變分迭代法對四階Cahn-Hilliard 方程進行數(shù)值求解,并且與原始的格式進行了對比.

取上述初值后便可以進行計算求解.通過迭代求解,圖1 給出了u10(x,t) 的絕對誤差圖像.

由圖1 可以看出,在x和t較大時,誤差會偏大.如果繼續(xù)執(zhí)行迭代過程,則可以提高精度;當(dāng)n趨向無窮大時,可以獲得精確解.

圖1 原始算法的誤差Fig.1.Error of the original algorithm.

利用帶有輔助參數(shù)的變分迭代法,得出以下迭代公式

下面通過方程定義誤差函數(shù)如下:

為了找到一個合適的參數(shù)h,圖2 給出了誤差函數(shù)在離散網(wǎng)格上的二范數(shù).其中,離散后的誤差函數(shù)的二范數(shù)定義為

圖2 h-曲線Fig.2.h-curve.

根據(jù)圖2,選取h0.963575 作為輔助參數(shù),將其代回到(8)式進行迭代求解.結(jié)果與真解之間的絕對誤差如圖3 所示.可以看出,帶有輔助參數(shù)的變分迭代法不僅擴大了收斂域,同時提高了數(shù)值精度.

圖3 帶有參數(shù)的算法的誤差Fig.3.Error of algorithm with parameter.

圖4 和圖5 分別給出了區(qū)域內(nèi)的真解與數(shù)值解圖像.

圖4 精確解Fig.4.Exact solution.

圖5 數(shù)值解Fig.5.Numerical solution.

圖6 中,固定x4,給出了數(shù)值解與真解的剖面圖對比.

圖6 x=4 時原方法和修正后方法的數(shù)值解以及真解的圖像Fig.6.The numerical solution of the original method and the corrected method,as well as the image of the exact solution when x=4.

5 Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBM-B)方程

Benjamin-Bona-Mahony-Burgers (BBM-B)方程表示為

給定初值為u0(x).其中α,β,γ為已知常數(shù).上述方程由 Benjamin 等[36]提出并研究,用于研究均勻水槽中小振幅水波的行為.其中,u(x,t) 代表水平x方向上的流體速度.作為特殊情況,這些方程包括非線性擴散模型的Burgers 方程和非線性分散介質(zhì)中的長波模型的BBM 方程.Karakoc 和Bhowmik[37]利用B 樣條的伽遼金有限元方法進行了數(shù)值模擬.

在本文的數(shù)值實驗中,取α1,β12,γ1,,該問題有以下精確解:

原始的變分格式可以利用以下迭代公式進行求解:

圖7 給出了給定區(qū)域內(nèi)u4(x,t) 的誤差圖像.在x和t偏小的情況下,誤差不會增加很快;但是當(dāng)x和t增大時,誤差會迅速增長到 10 左右.從圖7不難得出以下結(jié)論:原始的變分迭代法對于真實解的逼近效果較差,而且在增加迭代次數(shù)的情況下,會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定的情況.

圖7 原始算法的誤差Fig.7.Error of the original algorithm.

故下面采用參數(shù)攝動的變分迭代法進行數(shù)值求解.迭代公式為

通過參數(shù)的引入,本文通過誤差函數(shù)定出h的最佳取值.誤差函數(shù)定義如下:

引入節(jié)點后,h曲線給出了h的局部最佳取值.定義誤差函數(shù)的二范數(shù)如下:

從圖8 可以看出,當(dāng)h0.1037 時,整體誤差達到極小值.故在(14)式中取h0.1037,進行迭代求解.圖9 給出了改進得到的數(shù)值解與真解之間的誤差,不難看出帶有參數(shù)攝動的數(shù)值格式大大降低了數(shù)值解的誤差,絕對誤差降低到 1 0?3,對真解的逼近達到了理想效果.區(qū)域內(nèi)不同點的真解和數(shù)值解值如表1 所列.圖10 和圖11 給出了數(shù)值解和真解的圖像對比.

表1 不同點處真解與數(shù)值解對比Table 1.Comparison of true and numerical solutions at different points.

圖8 h-曲線Fig.8.h-curve.

圖9 帶有參數(shù)的算法的誤差Fig.9.Error of algorithm with parameters.

圖10 精確解Fig.10.Exact solution.

圖11 數(shù)值解Fig.11.Numerical solution.

6 結(jié)論

本文使用具有輔助參數(shù)的變分迭代算法可以解決四階的Cahn-Hilliard 方程和BBM-B 方程的數(shù)值解問題.具有輔助參數(shù)的變分迭代算法在應(yīng)用,計算精度與效率等方面具有明顯的優(yōu)勢.其中輔助參數(shù)可以通過h曲線和殘差函數(shù)的2 范數(shù)的誤差來確定.圖形和數(shù)值結(jié)果表明,帶有參數(shù)攝動的變分迭代算法適用于物理科學(xué)和工程學(xué)中出現(xiàn)的大部分線性和非線性問題,優(yōu)于原始的變分迭代算法.

感謝中國礦業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院楊金杰博士的討論.