方格網(wǎng)法在山地選址問(wèn)題中的應(yīng)用

陳雨杉

摘要：隨著科技的進(jìn)步與社會(huì)的發(fā)展，城市建設(shè)對(duì)土地的需求越來(lái)越大，對(duì)于山地城市而言，向山要地更是發(fā)展的一個(gè)必然選擇。其中，工廠的選址更是成為山地城市中的一個(gè)焦點(diǎn)問(wèn)題。本文基于以上背景對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行分析，結(jié)合方格網(wǎng)法建立了離散優(yōu)化模型并進(jìn)行求解，從而得到不同條件下的滿意選址結(jié)果。

關(guān)鍵詞：方格網(wǎng)法;區(qū)域土方平衡;最優(yōu)分層模型

一、背景介紹

近年來(lái)，隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展以及人口的迅速劇增，城市建設(shè)對(duì)土地的需求越來(lái)越大。因此，為了滿足社會(huì)發(fā)展的用地需求，人們迫切需要對(duì)山地進(jìn)行開(kāi)發(fā)，尤其是位于城市周邊的山區(qū)地帶則成了人們的首要選擇。所以說(shuō)"開(kāi)發(fā)山地，利用山地"是我們所面對(duì)的必然選擇。[1]在建設(shè)過(guò)程中，對(duì)于山區(qū)城市而言，向山要地更是成為發(fā)展的一個(gè)必然的選擇。

但是如何在一片山地之中選擇合適的地域，不僅涉及合適的方位與開(kāi)挖深度，還需要在挖、填方盡可能平衡的前提下，使工程費(fèi)用最小。因此，對(duì)山區(qū)城市的工廠進(jìn)行合理選址對(duì)城市的合理規(guī)劃與企業(yè)的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。

二、問(wèn)題的提出及分析

某山區(qū)城市的某工廠需在一片長(zhǎng)度為1500米，寬度為1000米的山地之中開(kāi)挖出一個(gè)800米×600米平坦連續(xù)的長(zhǎng)方形地塊作為工廠的廠房地基選址，在挖、填方土方量盡可能平衡的前提下，考慮在什么地方，什么海拔高度可以平整一塊800米×600米的水平面連片土地，使選址的工程費(fèi)用最小。

考慮底面區(qū)域?qū)?yīng)的山體是一個(gè)曲頂柱體，根據(jù)微積分的知識(shí)，可將山地分成n個(gè)區(qū)域。在底面區(qū)域內(nèi)取一個(gè)800米×600米的矩形，建立以矩形左下標(biāo)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角度為變量的離散連續(xù)方程模型，且在挖、填的土石方量盡可能平衡的情況下，確定合適的高度使選址的工程費(fèi)用最小。基于方格網(wǎng)法，讓底面區(qū)域在地面區(qū)域范圍內(nèi)枚舉，即可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的土石方量最小的值。

三、模型的假設(shè)

①假設(shè)除了挖土和填土以外，在平整土地的過(guò)程中其他作業(yè)產(chǎn)生的費(fèi)用都與800米×600米的連片土地所處的位置方向和海拔高度均無(wú)關(guān)。

②不考慮計(jì)算體積的過(guò)程中，分割的小曲頂柱體不能達(dá)到無(wú)窮小，取一個(gè)很小的步長(zhǎng)去劃分，使其劃分盡可能的小，而產(chǎn)生的誤差忽略不計(jì)。

③不考慮平整土地后表面的凹凸石塊，忽略該局部高度差產(chǎn)生的影響。

四、模型的建立與求解

確定開(kāi)挖方向，即要確定平整塊的底面位置。首先，將平整區(qū)域投影到底面（XOY平面），顯然底面是800米×600米的矩形，假設(shè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B、C、D。已知山地是長(zhǎng)度為1500米，寬度為900米的矩形區(qū)域，因此平整塊底面投影矩形ABCD可以在1500×900的區(qū)域范圍內(nèi)任意移動(dòng)，但四個(gè)頂點(diǎn)不能超出這個(gè)范圍。

設(shè)矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=W=600，AC=L=800，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（xa，ya），B（xb，yb），C（xc，yc），D（xd，yd），沿A點(diǎn)將矩形ABCD進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為θ。已知A點(diǎn)坐標(biāo)和旋轉(zhuǎn)角度θ，即可確定B、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)。

基于全搜索法的模型求解：在對(duì)1500米×900米的區(qū)域進(jìn)行劃分時(shí)，當(dāng)步長(zhǎng)τ越小時(shí)，每一個(gè)網(wǎng)格的邊長(zhǎng)越小，每個(gè)小網(wǎng)格對(duì)應(yīng)的海拔高度就越可以用一個(gè)值來(lái)代替。當(dāng)τ無(wú)限小的時(shí)候，每個(gè)小網(wǎng)格即可以看作區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。所以，在該模型中，τ越小，模型的精度越高。同理，對(duì)于旋轉(zhuǎn)角度θ，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度的遞增步長(zhǎng)越小，矩形ABCD可供選擇的方案就越多，模型的覆蓋范圍越廣，但這將增加算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度，因此在求解時(shí)，我們選取τ=30，ε取0.1%，旋轉(zhuǎn)角度θ依次遞增5°進(jìn)行計(jì)算。

Step1：令步長(zhǎng)τ為30，對(duì)1500×900的區(qū)域范圍進(jìn)行劃分;

Step2：選取一點(diǎn)A，給定旋轉(zhuǎn)角度θ，計(jì)算其余三點(diǎn)坐標(biāo)，并檢查該平整區(qū)域D是否符合約束條件;

Step3：遍歷所有網(wǎng)格，得到在該區(qū)域D中的最低高程h1和最高高程h2，從h1開(kāi)始，以步長(zhǎng)為0.2逐步增加得到H，計(jì)算H對(duì)應(yīng)的填挖平衡度，此處取ε=0.1%。若填挖平衡9度小于給定的ε值，則進(jìn)入下一步;否則，舍棄該H。

Step4：計(jì)算符合填挖平衡的H所對(duì)應(yīng)的土方石頭量費(fèi)用，經(jīng)過(guò)比較得到在該區(qū)域內(nèi)的最小費(fèi)用值和H。

Step5：以步長(zhǎng)為10°增加θ，依次計(jì)算在該A點(diǎn)符合條件的矩形ABCD的最小費(fèi)用值和H。

Step6：在約束條件下遍歷所有A點(diǎn)，經(jīng)過(guò)比較得到最小費(fèi)用和對(duì)應(yīng)的H。

其中各點(diǎn)坐標(biāo)分別為，A（481，150），B（127.96，219.72），C（1225.66，817.44），D（428.71，747.72），即在以這樣的ABCD構(gòu)成的矩形區(qū)域?yàn)榈酌?，在海拔h=15.63751米處平整一塊800米×600米的連片土地，所需要的土石方量費(fèi)用最低。

五.靈敏度分析

根據(jù)對(duì)模型相關(guān)參數(shù)的分析，我們可以發(fā)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)τ無(wú)限小的時(shí)候，每個(gè)小網(wǎng)格即可以看作區(qū)域上的一個(gè)點(diǎn)。所以，在該模型中，τ越小，模型的精度越高。因此我們選取τ為30m、15m、10m、5m依次進(jìn)行求解，得到的最終挖填差：

由圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著步長(zhǎng)τ的減小，挖填差的數(shù)量也逐漸減少，但填挖和總量增大。步長(zhǎng)為5m的搜索結(jié)果填挖幾乎相同，但總填挖量比其他三個(gè)步長(zhǎng)的大，填挖差的減小帶來(lái)了較大的工程量波動(dòng)，權(quán)衡考慮我們選擇步長(zhǎng)為10m或15m時(shí)的結(jié)果作為方案。再對(duì)角度的搜索步長(zhǎng)與挖填差做靈敏度分析，當(dāng)搜索角度步長(zhǎng)從3°減小到1°時(shí)，搜索出的填挖差顯著下降，從10.84降低至0.24，但同樣出現(xiàn)了填挖工程量增大的情況。

六、模型的總結(jié)與推廣

該模型具有合理性，使用MATLAB軟件描述山地的三維圖形和等高線圖形，在此基礎(chǔ)上可以得到具有很高的擬合度和適度性。對(duì)模型的進(jìn)一步討論便可以得到一系列可靠而實(shí)用的信息，所得結(jié)論與客觀事實(shí)很好地吻合，從而進(jìn)一步說(shuō)明模型是合理的。

本模型雖然討論的是以通過(guò)土石方量費(fèi)用最小的原則來(lái)確定平整土地海拔的開(kāi)挖高度，但是可以推廣到各種合理開(kāi)挖土地的問(wèn)題中，用類似的方法進(jìn)行建模求解。

解決該問(wèn)題時(shí)，我們首先利用MATLAB軟件的三維繪圖功能，畫(huà)出工廠這片土地的三維圖形，再確定平整塊開(kāi)挖的方向。本文所建立的模型可以推廣到其他各種模型。

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