問題與征解

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問題8(供題者： 浙江大學王夢) 對于x=(x1,x2,…,xn)∈n，定義以及現(xiàn)設A∈n×n以及M>0滿足：?x∈n成立‖Ax‖∞≤‖x‖∞以及‖Ax‖1≤M‖x‖1.證明：對于任何1≤p<+∞，存在僅與M,p有關(與n無關的)常數(shù)Mp使得?x∈n，成立‖Ax‖p≤M‖x‖p.

問題1解答

以下解答由崔世勛(復旦大學數(shù)學科學學院2018級本科生)提供. 給出本題正確解答的還有國防科技大學陳摯.

1 回 顧

盡管最后結果是正確的，當時Euler給出的過程是不嚴謹?shù)?現(xiàn)在我們借由復變函數(shù)的知識，參考Euler的這一想法解決此問題.

2 解 答

記g(z)=2020sinz-2021zcosz，這是一個整函數(shù)，并且是奇函數(shù).證明將分為三步進行.

2.1 g(z)只有實零點

設z=x+iy是g的零點，其中x,y∈.則計算可得g(z)=0等價于：因此實部與虛部成比例.如果x,y均不為0，則有嚴格小于嚴格大于2，因此等號不可能成立.而若y=0，這就表明z是實數(shù)；而若x=0，g(z)=0就變?yōu)榇朔匠讨挥辛憬?因此斷言2.1成立.

2.2 應用Hadamard分解定理

這一核心步驟運用了復變函數(shù)的相關知識，見文獻 [1] 的第五章.相關定義摘錄如下：

增長階設f(z)是整函數(shù)，若存在正數(shù)ρ與常數(shù)A,B>0使得|f(z)|≤AeB|z|ρ,?z∈，則稱f(z)有≤ρ的增長階.而f(z)的增長階定義為滿足上式的所有ρ的下確界.

典范因子對非負整數(shù)k，定義典范因子為E0(z)=1-z,Ek(z)=(1-z)ez+z2/2+…+zk/k,?k≥1.

2.3 結果