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    隨機(jī)SEIR模型在吉林省2019-nCoV肺炎疫情中的應(yīng)用

    2021-10-30 08:51:00鄭元琳林玉國宋仁全
    關(guān)鍵詞:感者感染者吉林省

    柴 林,鄭元琳,林玉國,宋仁全

    (1.北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 吉林 132013;2.吉林省白山市第二中學(xué),吉林 白山 134300)

    眾所周知,人類的歷史就是和各種傳染病抗?fàn)幍臍v史.21世紀(jì)以來,就已經(jīng)出現(xiàn)SARS-CoV、MERS-CoV、2019-nCoV三種高致病性冠狀病毒,對(duì)人類的生命健康構(gòu)成極大威脅.目前,前兩者已經(jīng)得到有效控制,而2019-nCoV肺炎疫情還在進(jìn)行常態(tài)化防控當(dāng)中.由此,對(duì)新冠肺炎疫情的分析與預(yù)測就顯得至關(guān)重要.隨機(jī)SEIR模型是在眾多傳染病模型中最為經(jīng)典的傳染病動(dòng)力學(xué)模型[1-2].因此,應(yīng)用隨機(jī)SEIR模型分析2019-nCoV肺炎疫情,找出影響疾病預(yù)防控制的關(guān)鍵因素并預(yù)測疫情發(fā)展態(tài)勢,具有重要現(xiàn)實(shí)意義.

    1 隨機(jī)模型

    考慮傳統(tǒng)的SEIR隨機(jī)模型和2019-nCoV肺炎疫情的流性特征,我們將所有人群分為易感者(S)、隔離者(Q)、接觸者(E)、無癥狀感染者(A)、有癥狀感染者(I)、確診者(D)以及治愈人群(R).假設(shè)模型中各參數(shù)均為正常數(shù).β為易感者轉(zhuǎn)化為接觸者的接觸率;無癥狀和有癥狀感染者傳染率占比為c;隔離的易感者釋放率為λ;隔離率為τ;接觸者到感染者的轉(zhuǎn)移率為α,其中轉(zhuǎn)移到有癥狀感染者占比為p,無癥狀占比為1-p;有癥狀和無癥狀感染者的診斷率分別為μ1,μ2;有癥狀感染者、無癥狀感染者和確診者的恢復(fù)率分別為γ1,γ2,γ3;有癥狀感染者和確診者因新冠肺炎導(dǎo)致的死亡率分別為d1、d2;易感者疫苗接種率為ν.對(duì)于2019-nCoV肺炎疫情傳播過程中各類人群發(fā)生的數(shù)量變化,忽略吉林省自然出生和死亡人口的影響,傳播流程如圖1所示.

    圖1 基于SEIR模型的COVID-19傳播流程圖

    根據(jù)上述傳播方案,可建立如下形式的常微分動(dòng)力學(xué)模型:

    (1)

    本文主要依據(jù)SEIR模型估計(jì)并預(yù)測2019-nCoV肺炎疫情流行趨勢的現(xiàn)狀,考慮到自然界中的種種不確定性,我們假設(shè)模型(1)中的β和α受到干擾,用B1(t),B2(t)表示標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng),正常數(shù)σ1,σ2是其對(duì)應(yīng)的布朗運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度,這種擾動(dòng)形式的具體解釋可參見文獻(xiàn)[3].于是模型(1)變成如下形式:

    (2)

    2 數(shù)值模擬

    我們運(yùn)用Matlab軟件對(duì)隨機(jī)系統(tǒng)(2)進(jìn)行數(shù)值模擬.這里我們將采用歐拉法研究[4],即將隨機(jī)方程(2)離散化為

    根據(jù)吉林省衛(wèi)生健康委員會(huì)官網(wǎng)公布的數(shù)據(jù),選取2020年1月23日—2020年3 月23日共60天的疫情動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析.在考慮將人群進(jìn)行隔離,沒有疫苗免疫的情況下,與文[5]研究結(jié)果比較.取β=4.783 8×10-8,c=0.005 0,τ=1/4,λ=1/60,α=1/7,p=0.960 0,ν=0,μ1=1/5,μ2=1/6,γ1=0.068 6,γ2=0.102 9,γ3=0.096 0,d1=0.002 9,d2=0.002 0,Δt=0.01.取初始值S0=24 877 352,Q0=2 163 248,E0=87,A0=6,I0=5,D0=3,R0=0.對(duì)確定性方程用Matlab軟件模擬如圖2所示.

    在圖2中,(S)~(R)分別表示易感者、隔離者、接觸者、無癥狀感染者、有癥狀感染者、確診者和治愈人群的在不加入隨機(jī)因素時(shí)的人口數(shù)量,圖2(D)中綠色線表示吉林省在院隔離治療確診病例的實(shí)際數(shù)據(jù).我們發(fā)現(xiàn),在疫情初期全民對(duì)COVID-19易感的情況下,我省采用的“超長居家隔離”措施使易感者數(shù)量在某一值后逐漸保持在較低水平,此時(shí)疫情得到有效控制.加入環(huán)境中隨機(jī)因素的影響后,如圖3所示.

    圖2 確定系統(tǒng)的軌道圖

    圖3 σ1=β·0.3,σ2=α·0.3時(shí)的隨機(jī)系統(tǒng)的軌道圖

    通過圖3可知,我們發(fā)現(xiàn)在此情形下,易感者數(shù)量將逐漸保持在較低水平,治愈人群數(shù)量在不斷上升.此時(shí),傳染病滅絕,疫情可控.而確診者數(shù)量在25天左右達(dá)到峰值,這與我省確診病例真實(shí)數(shù)據(jù)大致相同,故該模型真實(shí)有效.

    從圖3可以看出,S(t),Q(t),I(t),A(t),E(t),D(t),R(t)都在x軸上方,故函數(shù)具有非負(fù)性,所以模型(2)的非負(fù)解是存在且唯一的.現(xiàn)在減少隔離天數(shù),令λ=1/25,當(dāng)σ1的取值大一點(diǎn),即σ1=β·0.5時(shí),其他數(shù)值不變,作確診病例消失天數(shù)的密度如圖4所示.

    從圖4中,可以看出疾病滅絕的天數(shù)在140天~150天范圍內(nèi)出現(xiàn)峰值.綜合圖2、圖3和圖4,我們發(fā)現(xiàn)隔離期越長,確診病例越容易較早時(shí)刻達(dá)到較低峰值,這一結(jié)論與文獻(xiàn)[5]研究結(jié)果類似.同時(shí),為了探求政府居家隔離措施的有效性,我們在保證其余參數(shù)不變的情況下,改變?chǔ)说闹颠M(jìn)行數(shù)次循環(huán)模擬,如圖5所示.

    通過圖5可知,我們發(fā)現(xiàn)在有隔離措施的條件下,確診者數(shù)量在14天后逐漸趨于0,也就是說,此時(shí)傳染病滅絕.故政府制定的“14天隔離觀察期”政策是真實(shí)可靠的.

    綜上所述我們模擬了新冠疫情初始階段的發(fā)展趨勢,可以看出我省采取的隔離政策對(duì)遏制疫情發(fā)展起到重要作用.隨著疫情的常態(tài)化防控發(fā)展,我國多地開放新冠疫苗接種.現(xiàn)在我們用疫苗接種代替隔離措施,需要說明的是,模型(1)和模型(2)中采用的免疫形式來自于文獻(xiàn)[6].在保持其他數(shù)值不變的情況下,我們分別模擬了ν從0.01到0.09的疫情發(fā)展趨勢,結(jié)果如圖6所示.

    從圖6中,可以看出,ν的值越大,確診者數(shù)量將越早時(shí)間達(dá)到較低峰值.當(dāng)ν=0.02時(shí),確診者數(shù)量峰值在2.5萬人次左右,這會(huì)造成醫(yī)療負(fù)荷飽和,使疫情進(jìn)一步惡化;增加疫苗接種率,令ν=0.03,確診病例則減少到0.25萬人次;繼續(xù)增加ν值,ν取0.07,0.08,0.09時(shí)的確診病例峰值以及峰值到達(dá)時(shí)間相差不多,確診者數(shù)量減少幅度不明顯.所以,疫苗接種閾值在0.03到0.04之間.按照ν=0.03來算,初期每天需要接種74萬人次,吉林省現(xiàn)有608個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),平均每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)每天需要接種1 200人次,這對(duì)基層工作是一個(gè)極大考驗(yàn).所以我們僅僅靠接種疫苗還不能夠有效阻斷疾病流行,應(yīng)該適當(dāng)增加隔離措施,輔助進(jìn)行疫情防控.這樣既可以使疫情得到有效控制,又可以讓地方政府合理布局醫(yī)療資源,減輕用藥負(fù)擔(dān).

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