思維可視化：厘清圓柱與圓錐體積關(guān)系的實踐策略

張雪平

在六年級數(shù)學圓柱與圓錐的計算教學中，學生常常公式會背，但計算不會。在已知的等底等高圓柱體積是圓錐體積的三倍，圓錐體積又是圓柱體積的三分之一，學生在學習兩者之間的關(guān)系，解決實際問題中會出現(xiàn)很多錯誤。如何厘清圓柱與圓錐的體積關(guān)系并提高學生解決問題的能力？

一、研究背景

（一）硬背公式，不會運用

學生只有死記硬背，完全不理解圓柱與圓錐的體積，有的只有機械的記憶。學生對于圓柱體積計算公式：V柱=sh，圓柱底面積（圓面積）計算不理解，不懂圓柱高與什么有關(guān)，對于圓錐的體積是圓柱體積的三分之一思維也是空白的，沒有邏輯思維能力。在“SOLO分類理論”中處于前結(jié)構(gòu)層次。

（二）概念模糊，不會轉(zhuǎn)換

在已知條件比較明顯的題型中，會運用計算公式進行簡單的圓柱體積與圓錐體積的計算。但由于各個點之間沒有聯(lián)系起來，或者某個知識點上出現(xiàn)了問題，無法將圓柱體積與圓錐體積兩者之間有機貫通，會公式、會簡單體積計算，但往往不會分析兩個圖形之間的關(guān)系，導(dǎo)致圓柱、圓錐之間底面積、高、體積三者轉(zhuǎn)換出現(xiàn)錯誤。在“SOLO分類理論”中處于單點結(jié)構(gòu)到多點結(jié)構(gòu)層次轉(zhuǎn)變不夠。

（三）思維單一，不會變通

學生不會利用圓柱與圓錐體積的相關(guān)知識進行概括，在多種題型中歸納總結(jié)能力不夠，找不到已知條件或已做題型之間的關(guān)聯(lián)性。導(dǎo)致學生做一題是一題，不會“一題多解”“多題通解”“一題多變”的學習方式。在“SOLO分類理論”中屬于關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次不夠。

二、實踐策略

本文中筆者嘗試以豐富的題型分析及經(jīng)驗反思，對“通過塑形、建模、繪圖來強化思維可視化”的教學策略進行實踐研究，致力于提升數(shù)學思維可視化，優(yōu)化圓柱與圓錐的體積計算。

本文中思維可視化主要利用圖示技術(shù)中思維導(dǎo)圖、模型圖、流程圖、概念圖等思維可視化方法對圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系及問題解決的方法進行闡述。本文以“思維可視化”為生長線，以“塑形”為基礎(chǔ)點，以“建?！睘橹吸c，以“繪圖”為拓展點，以此為主軸，以題型、計算為輔助，充分呈現(xiàn)學生的“思維可視化”過程，提升圓柱與圓錐體積計算的問題解決能力。

（一）“塑形”促思維可視化

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》指出：“教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上?！毖芯空哒J為，在圓柱與圓錐的體積教學前，先要讓學生從原有認知水平出發(fā)，通過“塑形”逐漸加深圓柱與圓錐體積相關(guān)的數(shù)學學習思維的可視化。一般包含用實物塑形，用學具塑形，用意想塑形三個層次。

1.用實物塑形

圓柱與圓錐是小學階段第一次接觸曲面的立體圖形，是建立在正方體和長方體體積認知的基礎(chǔ)上進一步深入學習體積。教學中可以通過學生日常生活中常見的圓柱與圓錐實物入手，讓學生經(jīng)歷“看一看、摸一摸、量一量”等基本數(shù)學活動，生動形象地塑造“原型”?！翱匆豢础弊寣W生尋找圓柱與圓錐的相同點與不同點；“摸一摸”感受三維立體空間及曲面的變化；“量一量”能夠通過測量得到兩個圖形中哪些有用的數(shù)學信息。教師在課堂中利用生活中的實物讓學生用“五官”感知圓柱與圓錐的“型”。

荷蘭著名的數(shù)學教育家弗賴登塔爾強調(diào)：“學習數(shù)學唯一的方法是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來?！崩眯〗M合作交流的形式找到實物圓柱與圓錐外形特征上的相同點與不同點，并測量相對應(yīng)的有效數(shù)據(jù)，讓學生感知曲面圖形的測量方法（如表1）。

2.用學具塑形

學生尋找的實物在測量對比過程中無法得出特定的數(shù)據(jù)，這時需要用到特定的學具進行研究，得出圓柱與圓錐之間存在的密切關(guān)系。在教材配套的學具中有對應(yīng)的圓柱與圓錐學具，學生用學具進行研究，發(fā)現(xiàn)兩者之間底面積相等，高相等，塑造“等底等高”的圓柱與圓錐模型。

3.用意想塑形

通過實物、學具塑形實現(xiàn)思維可視化，用意想強化思維可視化，塑造“空間模型”。學生空間觀念的發(fā)展是離不開對表象物體的進一步想象的。建立在想象塑形中，學生才能從形象思維過渡到抽象思維，從具體到抽象，從而更加深刻地感悟空間觀念。

（二）建模促思維可視化

數(shù)學空間觀念的形成是學生通過舊知轉(zhuǎn)化新知，完善數(shù)學模型的過程，需要學習者將所學知識納入到其內(nèi)在邏輯形式及知識網(wǎng)絡(luò)中，實現(xiàn)新概念與舊經(jīng)驗的融合，構(gòu)建起合理的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)，形成建模思想。一般包含動態(tài)演示建模、公式推導(dǎo)建模、條件逆推建模三種形式。

1.動態(tài)演示建模

在現(xiàn)代信息技術(shù)發(fā)展下，教學中可以通過動態(tài)的演示形成更直觀的空間感知。在教學中用動態(tài)演示呈現(xiàn)圓柱與圓錐從具體到抽象的過程，從“體動成面、面動成線”的動感生成過程，實現(xiàn)了“體—面—線”的思維可視化。同時，完善意想塑形，加深學生對于圓柱與圓錐體積的建模（如圖1、2）。

2.公式推導(dǎo)建模

在《九章算術(shù)·商功》中記載了關(guān)于圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系，圓柱體積：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺。問：積幾何？答曰：二千一百一十二尺。術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一?！眻A錐體積：“今有圓錐，下周三丈五尺，高五丈一尺。問：積幾何？答曰：一千七百三十五尺一十二分尺之五。術(shù)曰：下周自乘，以高乘之，三十六而一。”從而驗證了圓錐體積是圓柱體積的三分之一。圓錐體積需建立在圓柱體積基礎(chǔ)上推導(dǎo)公式，圓柱體積需建立在長方體體積基礎(chǔ)上推導(dǎo)公式，環(huán)環(huán)轉(zhuǎn)化建立公式推導(dǎo)可視化模型。在公式推導(dǎo)過程中借助動手操作、動態(tài)演示、圖形繪制等方法把圓柱的體積轉(zhuǎn)化成其他物體的體積，滲透“轉(zhuǎn)化”和“等積變形”的數(shù)學思想，發(fā)展學生的空間觀念。嘗試把圓柱切、拼成近似的長方體，并思考長方體的長、寬、高分別對應(yīng)的是圓柱的底面圓的周長和高。同理，借助學具推導(dǎo)圓錐的體積公式。

3.條件逆推建模

（三）繪圖促思維可視化

圓柱與圓錐的思維可視化過程是從“體—面—線”的學習過程，在厘清圓柱與圓錐的體積關(guān)系后，遇到解決實際問題時，還需繼續(xù)借助幾何直觀的圖形來闡明圓柱與圓錐之間的某種關(guān)系。研究者認為，通過繪圖“以形解數(shù)”方式可以更好地形成思維可視化的效果，一般包含變識圖為繪圖、變轉(zhuǎn)化為繪圖、變答疑為繪圖三個方向。

1.變識圖為繪圖

在解決實際問題時，一般都會用“數(shù)形結(jié)合”的方式進行解題，研究者認為在圓柱與圓錐的體積計算時，有時也可以“以形繪形”，把具體物體抽象化，提煉出幾何直觀圖形，以面轉(zhuǎn)線，更直觀、簡便地展現(xiàn)思維可視化。

2.變轉(zhuǎn)化為繪圖

在已有的思維導(dǎo)圖公式中，把難懂的數(shù)學體積公式用繪圖來代替，讓學生能更看得清，弄得明。如：將圓柱與圓錐體積相等的兩個圖形畫出來，當?shù)酌娣e相等，那么圓錐的高是圓柱的3倍；當高相等，那么圓錐的底面積是圓柱的3倍。在實際解決問題中，可以讓學生在逆推公式時用繪圖的方式，將兩者解決問題的過程進行對比，也能有效地對結(jié)果是否正確進行檢驗。

3.變答疑為繪圖

有時學生遇到問題時，往往直接用正確的公式去計算，但有的學生卻無從下手。其實真正會解題的同學并不是公式會背，而是在他們看到題型時，已經(jīng)在大腦中繪制成了一個圖形。有的同學能正確繪圖也就能理解題意，在學生掌握“畫圖策略”的數(shù)學技能時，數(shù)學學習也就變得更輕松了。如：（1）一根3米的圓柱形木料，沿著橫截面把它截成3個小圓柱，表面積增加了4.8平方米，原來這根圓柱形木料的體積是多少？學生在解決問題時首先借助圖形：理解題意中增加的面有幾個，增加的是哪幾個面，增加的面面積相等嗎？學生在直觀可視化的圖形中更能厘清解決問題的思路。

新課標中強調(diào)數(shù)學教學要以學生的發(fā)展為本。建構(gòu)主義理論認為：“知識不是被動接受的，而是由認知主體構(gòu)建的?！笨傊?，只有學生自己習得的知識才能將其學懂、弄透。在圖形計算的過程中，學生不斷地通過塑形、建模、繪圖的思維可視化過程對圖形知識進行探索，揭露圖形的本質(zhì)，最終實現(xiàn)思維的靈活變通，達到最佳的學習效果。