一類e-HR神經(jīng)元模型的網(wǎng)絡(luò)同步控制

劉 暢， 許云召

(信陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院， 河南 信陽 464000)

神經(jīng)元是構(gòu)成神經(jīng)系統(tǒng)的基本非線性單元，神經(jīng)系統(tǒng)是由無數(shù)個神經(jīng)元構(gòu)成，每個神經(jīng)元之間都是相互獨(dú)立的，具有豐富的放電行為，神經(jīng)系統(tǒng)接受、編輯和轉(zhuǎn)遞生理信息的功能主要通過神經(jīng)元的放電活動完成。建立神經(jīng)元模型是為了運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言來模擬神經(jīng)元復(fù)雜的放電過程與放電活動，這極大地促進(jìn)了神經(jīng)工程、信息科學(xué)和非線性動力學(xué)行為的發(fā)展。神經(jīng)模型由于受到某些因素的影響，可能會表現(xiàn)出某些復(fù)雜的動態(tài)行為，例如振蕩、發(fā)散、混沌、不穩(wěn)定或其他較差的性能。

神經(jīng)元信號的傳遞是由于軸突傳導(dǎo)和化學(xué)突觸過程所致，它們被發(fā)現(xiàn)在大腦的神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)中。文獻(xiàn)[1]探究了具有時變時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步，通過李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)出了自適應(yīng)同步控制準(zhǔn)則，得出了自適應(yīng)同步條件。GUO Sheng-li等[2]通過考慮星形膠質(zhì)細(xì)胞耦聯(lián)的生物神經(jīng)元的自身連接，研究了自身驅(qū)動誘導(dǎo)反應(yīng)在電活動中的作用，以Hodgkin-Huxley在神經(jīng)元上建立了一個簡單的網(wǎng)絡(luò)，并考慮了Autapse效應(yīng)，結(jié)果表明自適應(yīng)驅(qū)動可以使神經(jīng)元-星形膠質(zhì)細(xì)胞網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生不同的電活動模式。Handa等[3]首先將多個神經(jīng)元模型進(jìn)行電突觸耦合，然后探究這些神經(jīng)元之間的同步問題。除了研究神經(jīng)元模型的同步之外，研究神經(jīng)元模型的分岔行為也是極其重要的，分岔包括Hopf分岔、單參數(shù)分岔以及雙參數(shù)分岔等等。文獻(xiàn)[4-5]探究了Hindmarsh-Rose神經(jīng)元模型的動力學(xué)行為。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)出了Hopf分岔方向的顯示公式以及通過Hopf分岔發(fā)生的分岔周期解的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[5]為了討論平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性，推導(dǎo)出了計(jì)算Hopf分岔穩(wěn)定性定理的公式。與神經(jīng)元相關(guān)的好多疾病都是由神經(jīng)元的混沌放電以及神經(jīng)元的同步問題所引起的，所以研究神經(jīng)元模型的同步就有極其重要的意義[6-9]。文獻(xiàn)[10]基于FHN模型，對FHN神經(jīng)元模型進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)該模型在外界刺激的作用下能夠?qū)崿F(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步。文獻(xiàn)[11]利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)了自適應(yīng)反饋同步控制器，研究了新的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的完全同步問題。

本文基于磁通神經(jīng)元模型，研究磁通神經(jīng)元模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步，通過構(gòu)造合適的李雅普諾夫指數(shù)，推導(dǎo)出新的自適應(yīng)反饋同步準(zhǔn)則，以此驗(yàn)證所提出的同步準(zhǔn)則的有效性。

1 模型描述

磁通e-HR神經(jīng)元的集體行為能夠連接成網(wǎng)絡(luò)形式，其神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的微分方程為

(1)

2 網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)反饋同步控制

2.1 同步分析

通常情況一個網(wǎng)絡(luò)是由N個動力學(xué)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的，網(wǎng)絡(luò)的每個節(jié)點(diǎn)是n維非自治動力系統(tǒng)，其網(wǎng)絡(luò)模型為

(2)

施加控制之后的網(wǎng)絡(luò)模型為

(3)

式中Ui是使網(wǎng)絡(luò)達(dá)到同步時的控制器。

假設(shè)1 對于網(wǎng)絡(luò)中的微分方程

(4)

其中X∈Rn，f：Rn×Rn→Rn為連續(xù)函數(shù)，對于任意的初值(t0，X0)都存在唯一解，X0為n維向量。

假設(shè)2 對于向量函數(shù)f(X(t))，假定Lipschitz條件成立，即對任意的Xi(t)=(xi1(t)，xi2(t)，…，xin(t))T和S(t)=(s1(t)，s2(t)，…，sn(t))T，存在一個正常數(shù)L>0，就會有下式成立：

‖f(Xi(t))-f(S(t))‖≤L(‖Xi(t)‖-‖S(t)‖)，

(5)

(6)

其中S(t)有可能是相空間的一個平衡點(diǎn)、一個周期軌道或者一個混沌軌道。

注意：對于受控網(wǎng)絡(luò)模型(3)，外部耦合矩陣H沒有必要是對稱的，并且hij也沒必要必須僅僅是0或1。選取hij=0.1(i≠j)，對于內(nèi)耦合矩陣A沒有什么特別的約束，假設(shè)內(nèi)耦合矩陣A=I5和L=46，則假設(shè)1和假設(shè)2成立。

(7)

其中X0∈Ω，1≤i≤N，則稱控制網(wǎng)絡(luò)(3)為漸進(jìn)網(wǎng)絡(luò)同步，并且稱?！力！痢力閯恿W(xué)網(wǎng)絡(luò)(4)的同步區(qū)域。

定義誤差向量為

Ei(t)=Xi(t)-S(t)=(e1,e2,…,eN)T， 1≤i≤N，

(8)

則誤差系統(tǒng)為

(9)

定義2 若存在M>0，σ>0，使得

‖Ei(t)‖≤Me-σt，

(10)

其中i=1，2，…，N，則稱誤差系統(tǒng)(8)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，即受控網(wǎng)絡(luò)模型(3)是同步的。

下一步需要做的就是要選擇一個合適的控制器Ui和一個相應(yīng)的自適應(yīng)控制率，使其網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)達(dá)到指數(shù)漸進(jìn)同步。

定理1 假定假設(shè)1、假設(shè)2成立，設(shè)控制系統(tǒng)Ui=-diEi(i=1，2，…，N)，并且

(11)

其中μ、δi為正常數(shù)(本文取μ=0.2)，那么控制網(wǎng)絡(luò)(3)達(dá)到全局指數(shù)漸進(jìn)同步，且有

(12)

證明首先構(gòu)造一個Lyapunov函數(shù)為

(13)

通過使用不等式XTY≤|XTY|≤‖X‖‖Y‖，并且根據(jù)(8)和(10)式，對式(13)進(jìn)行求導(dǎo)可得：

(14)

(15)

(16)

(17)

2.2 數(shù)值模擬

在數(shù)值仿真過程中，取網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點(diǎn)數(shù)N=50，則可以任意選取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型(1)中的50個節(jié)點(diǎn)的連接方式，其耦合矩陣為

在控制律(12)下相對應(yīng)的時間響應(yīng)與同步誤差如圖1、圖2所示。

圖1 時間響應(yīng)圖

圖2 隨時間變化的網(wǎng)絡(luò)同步誤差圖

從圖1中可以很清楚地看出系統(tǒng)在初始狀態(tài)時保持各自的動力學(xué)行為，但在加入控制器之后最終達(dá)到了同步；從圖2中可以看出在沒有加入控制器之前系統(tǒng)的動力學(xué)行為是相互的，在加入控制器之后達(dá)到了同步。從而說明該控制器的選取是可行性的。另外將文獻(xiàn)[13-14]的研究結(jié)果與本文的研究結(jié)果進(jìn)行對比，可以發(fā)現(xiàn)通過數(shù)值模擬能夠證明本文所提出的同步是有效的。

3 小結(jié)

本文研究的是磁通e-HR神經(jīng)元模型的網(wǎng)絡(luò)同步控制，這種網(wǎng)絡(luò)是一種現(xiàn)實(shí)的網(wǎng)絡(luò)形式，具體來說，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)睦钛牌罩Z夫函數(shù)，推導(dǎo)出了一種新的自適應(yīng)反饋同步準(zhǔn)則。這個準(zhǔn)則對于理解復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步機(jī)制很有用。此外，用于實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)同步的假設(shè)和由此產(chǎn)生的自適應(yīng)控制器以簡單形式表示，可以很容易地應(yīng)用于實(shí)際情況。最后，通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了所提出的同步準(zhǔn)則的有效性。