古典風(fēng)險模型中的周期線性 barrier 分紅問題

管笑笑

(山東警察學(xué)院公共基礎(chǔ)教研部,250200,山東省濟(jì)南市)

0 引 言

古典風(fēng)險模型最早是由瑞典精算師 Lundberg 于 1903 年提出的.后來,以 Cramer 為首的瑞士學(xué)派將其嚴(yán)格化. Gerber 和 Shiu[1]在該模型下提出了Gerber-Shiu 函數(shù);Gerber 和 Shiu[2]研究了該模型的最優(yōu)分紅問題;Dufresne 和 Gerber[3]研究了帶擾動的古典風(fēng)險模型等.

風(fēng)險理論主要研究和處理保險公司中的破產(chǎn)問題、保費(fèi)收取原則、再保險策略、隨機(jī)投資和分紅等,并且從定量角度分析保險公司經(jīng)營的安全性,其中關(guān)于分紅策略的研究是當(dāng)前精算界和數(shù)學(xué)學(xué)科研究的熱門課題. 常見的分紅策略有兩種:barrier 策略和 threshold 策略,其中 barrier 策略就是給分紅定義一個分紅界限b,如果在某個時刻公司的余額大于b,則將超出b的部分立即用于分紅,并保持修正余額仍然在b之上,否則沒有分紅. Gerber 和 Shiu[4]研究了帶漂移布朗運(yùn)動風(fēng)險模型下的 barrier 分紅,為后來分紅問題的研究奠定了基礎(chǔ). 關(guān)于barrier分紅問題的研究可參見文獻(xiàn)[5]等. 而后出現(xiàn)了 threshold 策略,即同樣給分紅定義一個分紅界限b,當(dāng)盈余超過b時對于超出部分將會以一個常數(shù)的比例 (分紅比例系數(shù)大于0小于1) 進(jìn)行分紅,否則不分紅. 可參見文獻(xiàn)[6]等.

1974年 Gerber 提出了一種分紅界限依賴時間的 barrier 策略:線性 barrier 策略,分紅界限為b(t)=b+at,如果在某個時刻t公司的余額大于b(t),則將超出的部分立即用于分紅,并保持修正余額仍然在b(t)之上,否則沒有分紅. Gerber[7]討論了線性 barrier 分紅下的古典風(fēng)險模型及布朗運(yùn)動,分別推導(dǎo)出了生存概率及分紅函數(shù)所滿足的積分-微分方程,對于分紅函數(shù)考慮了破產(chǎn)后繼續(xù)分紅和破產(chǎn)后停止分紅兩種情況,并且得到了索賠服從指數(shù)分布時生存概率及分紅函數(shù)的具體表達(dá)式;Albrecher 等[8]在古典風(fēng)險模型下考慮線性 barrier 分紅,研究了分紅函數(shù)和 Gerber-Shiu 函數(shù);Liu和 Liu[9]在帶擾動的古典風(fēng)險模型下考慮線性 barrier 分紅,研究了分紅函數(shù)和 Gerber-Shiu 函數(shù),得到了索賠服從指數(shù)分布時分紅函數(shù)的具體表達(dá)式;劉東海和劉再明[10]討論了對偶風(fēng)險模型中的線性 barrier 分紅問題.

Albrecher等[11]提出了周期分紅策略,該策略與 barrier 策略不同的是只有達(dá)到分紅時刻并且保險公司的余額超過分紅界限時,才能進(jìn)行分紅,這篇文章考慮的是古典風(fēng)險模型,推導(dǎo)出了平均累積折現(xiàn)分紅滿足的積分-微分方程,并得到特殊情況下平均累積折現(xiàn)分紅的具體表達(dá)式;同樣 Albrecher 等[12]考慮了帶 Brown 運(yùn)動的模型;Albrecher 等[13]考慮了古典風(fēng)險模型下的周期分紅策略,得到了 Gerber-Shiu 函數(shù)的積分-微分方程,并且得到了相應(yīng)的解;Peng 等[14]研究了對偶風(fēng)險模型下的周期分紅.

在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,本文研究了古典風(fēng)險模型下的周期線性 barrier 分紅,推導(dǎo)出破產(chǎn)后繼續(xù)分紅W(u)、破產(chǎn)后停止分紅V(x,b)及破產(chǎn)概率ψ(x,b)滿足的積分-微分方程,并分別求出特殊情況下W(u)和V(x,b)的解.

1 模型介紹

在完備的概率空間(Ω,F,P)中,本節(jié)考慮古典風(fēng)險模型

其中,x∈是保險公司的初始余額,c>0是保險公司單位時間內(nèi)的平均保費(fèi)收入,{Yi,i≥1}為獨立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列,Yi表示第i次的索賠額,其分布函數(shù)表示為F(y),密度函數(shù)表示為fY(y).{N(t),t≥0}是服從參數(shù)為λ的 Poisson 過程,N(t)表示到t時刻發(fā)生的索賠次數(shù). 假定{N(t),t≥0}和{Yi,i≥1}相互獨立. 在此模型中引入線性分紅,首先給定一個線性分紅限b(t)=b+at,其中b≥0為初值,a為遞增速率(0

定義1.1 將保險公司的修正余額定義為R(t)=X(t)-D(t),其中D(t)表示到t時刻為止的累積分紅. 第k次觀測前的修正余額用R(Zk-)表示,第k次觀測后的修正余額用R(Zk)表示.

定義1.2 將保險公司的破產(chǎn)時定義為Tb(t)=Zkb(t),其中kb(t)=inf{k≥1,R(Zk)<0}.

定義1.3 到破產(chǎn)時為止的累積折現(xiàn)分紅定義為

其中δ>0為折現(xiàn)因子,(R(Zk-)-b(Zk))+=max{R(Zk-)-b(Zk),0}表示Zk時刻的分紅.

定義1.4 到破產(chǎn)時為止的平均累積折現(xiàn)分紅即破產(chǎn)后停止分紅定義為

V(x,b)=E[D(x,b)|R(0)=x,b(0)=b].

在風(fēng)險模型中考慮線性 barrier 策略求解分紅函數(shù)時,傳統(tǒng)的做法是再引入一個破產(chǎn)后仍繼續(xù)分紅的函數(shù)W(u),W(u)=Eu[D(x,b)]是單變量u的函數(shù),其中u=b-x,u∈,且有可參見文獻(xiàn)[7].

定義1.5 破產(chǎn)概率定義為ψ(x,b),即ψ(x,b)=P[Tb(t)<∞|X(0)=0,b(0)=b].

2 破產(chǎn)后繼續(xù)分紅

本節(jié)討論W(u)所滿足的積分-微分方程及相應(yīng)的邊界條件.

定理2.1W1(u)、W2(u)滿足下列積分-微分方程

(2.1)

(2.2)

邊界條件

(2.3)

證明由于觀察過程和索賠來到過程的時間間隔均服從指數(shù)分布,且相互獨立,所以在充分小的時間段內(nèi)二者至多只能發(fā)生一個.S1表示第一次索賠來到的時刻,Z1表示第一次觀測來到的時刻. 考慮在一個充分小的時間段(0,h)內(nèi),有下列幾種情況發(fā)生:

(1)在(0,h)內(nèi)既無索賠也無觀測發(fā)生;

(2)在(0,h)內(nèi)發(fā)生一次索賠,不發(fā)生觀測;

(3)在(0,h)內(nèi)發(fā)生一次觀測,不發(fā)生索賠.

當(dāng)u>0時,考慮在一個充分小的時間段(0,h)內(nèi),使得u+(a-c)h>0.

W1(u)=Eu[D(x,b)]=Eu[D(x,b),S1>h,Z1>h]+Eu[D(x,b),S1h]+

Eu[D(x,b),S1>h,Z1

上式可化為

(2.4)

(2.4)式兩端同時除以h,再令h→0,即得 (2.1) 式.

當(dāng)u≤0時,考慮一個充分小的時間段(0,h)內(nèi),必然有u+(a-c)h<0,可得

對上式采用類似u>0時的推導(dǎo),有 (2.2) 式成立.

下面證邊界條件. 當(dāng)u→∞,即b-x→∞,此時公司的余額沒有達(dá)到分紅限,故不會產(chǎn)生分紅,即得(2.3)式.

3 索賠服從指數(shù)分布時W(u)的求解

因為一般情況下分紅函數(shù)在(-∞,+∞)上是連續(xù)的,所以我們假設(shè)W(u)在0點連續(xù),即

W1(0+)=W2(0-).

(3.1)

將u=0+,u=0分別代入 (2.1)、(2.2) 式,又W(u)在0點連續(xù),可得

W′1(0+)=W′2(0-).

(3.2)

假設(shè)索賠服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,即fY(y)=βe-βy,β>0,y≥0.

對(2.1)式的積分部分做變量替換,令t=u+y,則(2.1)式變?yōu)?/p>

(3.3)

(a-c)W1″(u)-[(a-c)β+(λ+δ)]W1′(u)+δβW1(u)=0.

(3.4)

(3.4)式解的一般形式為

W1(u)=H1eR10u+H2eR20u,

其中H1和H2為常數(shù),R10和R20為一元二次方程(a-c)R2-[(a-c)β+(λ+δ)]R+δβ=0的根. 兩根R10和R20一正一負(fù),不妨設(shè)R10>0,R20<0.

由(2.3)式可得H1=0,則

W1(u)=H2eR20u.

(3.5)

同理,對(2.2)式的積分部分作變量替換,令t=u+y,得到

(3.6)

(a-c)W2″(u)-[(a-c)β+(λ+γ+δ)]W2′(u)+

(γ+δ)βW2(u)+γβu-γβW2(0)-γ=0.

(3.7)

(3.7)式解的一般形式為

W2(u)=H3eR1γu+H4eR2γu+H5u+H6,

其中H3、H4、H5及H6為常數(shù),R1γ、R2γ為一元二次方程(a-c)R2-[(a-c)β+(λ+γ+δ)]R+(γ+δ)β=0的根. 兩根R1γ、R2γ一正一負(fù),不妨設(shè)R1γ>0,R2γ<0. 又W(u)線性有界,知H4=0,則

W2(u)=H3eR1γu+H5u+H6.

(3.8)

-[(a-c)β+(λ+δ+γ)]H5+(γ+δ)β(H5u+H6)=-γβu+γβW2(0)+γ.

比較u的系數(shù)得

(3.9)

比較常數(shù)項得

(3.10)

由(3.1)、(3.2)式可得

H2=H3+H6,

(3.11)

R20H2=R1γH3+H5.

(3.12)

聯(lián)立(3.11)、(3.12)式,解得

又

4 破產(chǎn)后停止分紅

本節(jié)討論V(x,b)所滿足的積分-微分方程及相應(yīng)的邊界條件.

定理4.1V1(x,b)、V2(x,b)和V3(x,b)滿足下列積分-微分方程

(4.1)

(4.2)

(4.3)

邊界條件

(4.4)

(4.5)

(4.6)

V1(0-,b)=V2(0+,b),

(4.7)

V2(b-,b)=V3(b+,b).

(4.8)

證明證明過程與定理 2.1 類似.

5 索賠服從指數(shù)分布時V(x,b)的求解

假設(shè)索賠額服從參數(shù)為β的指數(shù)分布,即fY(y)=βe-βy,β>0,y≥0.

對(4.1)式的積分部分做變量替換,令t=x-y,則(4.1)式變?yōu)?/p>

(5.1)

(5.2)

(5.2)式解的一般形式為

V1(x,b)=esb(A1eR1γx+A2eR2γx),

其中A1、A2為常數(shù),R1γ、R2γ為一元二次方程cR2+[cβ-(λ+γ+δ)+as]R+[as-(γ+δ)]β=0的根. 當(dāng)s<0時,兩根R1γ、R2γ一正一負(fù),不妨設(shè)R1γ>0,R2γ<0.

由(4.6)式可得A2=0,則

V1(x,b)=A1esbeR1γx.

(5.3)

同理,分別對(4.2)、(4.3)式的積分部分作變量替換,令t=x-y,得到

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(γ+δ)βV3(x,b)+γβ[x-b+V(b,b)]+γ=0.

(5.7)

(5.6)、(5.7)式解的一般形式分別為

V2(x,b)=esb(B1eR10x+B2eR20x),

(5.8)

其中B1、B2為常數(shù),R10、R20為一元二次方程cR2+[cβ-(λ+δ)+as]R+(as-δ)β=0的根.

V3(x,b)=esb(C1eR1γx+C2eR2γx)+C3x+C4b+C5,

其中C1、C2、C3、C4及C5為常數(shù),R1γ、R2γ為一元二次方程cR2+[cβ-(λ+γ+δ)+as]R+[as-(γ+δ)]β=0的根.

根據(jù)V(x,b)的線性有界性,知C1=0,故

V3(x,b)=C2esbeR2γx+C3x+C4b+C5.

(5.9)

[cβ-(λ+γ+δ)]C3+aβC4-(γ+δ)β(C3x+C4b+C5)=-γβx+γβb-γβ(C3b+C4b+C5)-γ.

(5.10)

(5.11)

比較常數(shù)項,有 [cβ-(λ+γ+δ)]C3+aβC4-(γ+δ)βC5=-γβC5-γ,則

(5.12)

根據(jù) (4.7)、(4.8)式有

A1=B1+B2,

(5.13)

B1e(R10+s)b+B2e(R20+s)b=C2e(R2γ+s)b+C5.

(5.14)

將(5.3)、(5.8)及(5.9)式代入(4.4)、(4.5)式,得

(cR1γ+as-γ)A1-(cR10+as)B1-(cR20+as)B2=0,

(5.15)

(5.16)

根據(jù)A1、B1、B2及C2的4個方程 (5.13)～(5.16)式可解得A1、B1、B2和C2的值,

6 破產(chǎn)概率ψ(x,b)

在本節(jié)中,討論破產(chǎn)概率ψ(x,b)所滿足的積分-微分方程及相應(yīng)的邊界條件.

定理6.1ψ1(x,b)、ψ2(x,b)和ψ3(x,b)滿足下列積分-微分方程

滿足邊界條件

證明證明過程與定理 2.1 類似.

7 總 結(jié)

本文在古典風(fēng)險模型下討論周期線性 barrier 分紅,分別得到破產(chǎn)后繼續(xù)分紅,破產(chǎn)后停止分紅以及破產(chǎn)概率所滿足的積分-微分方程,并分別推導(dǎo)出特殊情況下破產(chǎn)后繼續(xù)分紅和破產(chǎn)后停止分紅的具體表達(dá)式.