一類具有對(duì)數(shù)非線性項(xiàng)的偽拋物方程的初邊值問(wèn)題*

陳 文, 李傅山

(曲阜師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,273165,山東省曲阜市)

0 引 言

近年來(lái),生物數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理等交叉應(yīng)用學(xué)科蓬勃發(fā)展,以及非線性偏微分方程在經(jīng)濟(jì)工程等領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用,使得非線性偏微分方程受到越來(lái)越多的國(guó)內(nèi)外學(xué)者的高度關(guān)注.非線性拋物問(wèn)題的解的整體存在性[1]和爆破現(xiàn)象[2-6]成為研究熱點(diǎn).

國(guó)內(nèi)外學(xué)者們對(duì)下述非線性偽拋物方程[7]進(jìn)行了大量研究

ut-div(|?u|p-2?u)-Δut=f(u), (x,t)∈Ω×(0,T).

(0.1)

受上述研究工作的啟發(fā),本文主要討論如下一類非線性偽拋物方程的初邊值問(wèn)題

(0.2)

1 預(yù)備知識(shí)

現(xiàn)在給出問(wèn)題 (0.2) 的弱解的基本定義如下.

(ut,v)+(?u,?v)+(?ut,?v)=(|u|p-1uln|u|,v)

(1.1)

(1.2)

其次,將方程(0.2)兩邊同時(shí)乘以u(píng)t,并在Ω上積分,利用分部積分得到

(1.3)

受(1.2)和(1.3)式啟發(fā),定義Nehari泛函I(u)和能量泛函J(u)如下

由上述泛函定義,可知

(1.4)

此外,定義與問(wèn)題(0.2)的穩(wěn)定狀態(tài)相關(guān)的Nehari流形為

并定義勢(shì)阱集和勢(shì)阱深度如下:

對(duì)于δ>0,引入

2 主要結(jié)果及其證明

現(xiàn)在,給出本文的主要結(jié)果.

(2.1)

接下來(lái),我們給出以下幾個(gè)重要引理及命題,它們?cè)谥饕Y(jié)果的證明中起重要作用.

引理2.3 (ⅰ)對(duì)任意的μ>0,y≥1,則不等式y(tǒng)-μlny≤(eμ)-1成立;

(ⅱ)對(duì)任意的ν>0,0

‖u‖p≤C(p,q,n,Ω)‖?u‖q

(ⅱ)存在λ*>0使得J(λu)在(0,λ*)上單調(diào)遞增,在(λ*,+∞)上單調(diào)遞減,在λ=λ*處取得最大值;

證明(ⅰ)對(duì)于λ>0,由J(u)的定義可知

由于‖u‖p+1≠0,則知結(jié)論(ⅰ)成立.

(ⅱ)經(jīng)計(jì)算,得到

(2.2)

(ⅰ)如果0<‖?u‖20；

(ⅱ)如果Iδ(u)<0,則‖?u‖2>r(δ);

證明利用引理2.3和引理2.4,可得

(ⅰ)若I(u0)>0,則有I(u(t))>0,對(duì)任意的t∈[0,T);

(ⅱ)若I(u0)<0,則有I(u(t))<0,對(duì)任意的t∈[0,T),T為u(x,t)的最大存在時(shí)間.

證明將等式(1.3)兩端同時(shí)在(0,t)上積分,由J(u)的定義,可得

(2.3)

用反證法.當(dāng)I(u0)>0時(shí),若存在t1∈(0,T)使得I(u(t1))<0,由I(u)的連續(xù)性及零點(diǎn)存在定理,可知存在t0∈(0,t1)使得I(u(t0))=0,I(u(t))>0,0

I(u(t))=-(ut,u)-(?ut,?u)>0, 0

(2.4)

另外,由I(u(t0))=0可知‖?u(t0)‖2≥r(1)≠0,由d(δ)的定義,可知J(u(t0))≥d,t>t0,這與(2.4)式矛盾.

當(dāng)I(u0)<0時(shí),若存在t2∈(0,T)使得I(u(t2))=0,I(u(t))<0,0

另外,由引理2.6及I(u(t))<0,0≤t

現(xiàn)在,證明本文的主要結(jié)果.

定理2.1的證明

第1步:當(dāng) 0

(2.5)

使得

(2.6)

且當(dāng)m→∞時(shí),

(2.7)

(2.8)

(2.9)

且

(2.10)

由等式(2.8)可推知,

(2.11)

(2.12)

由引理2.3和引理2.4,可得

(2.13)

聯(lián)合 (2.12),(2.13)式,可以推導(dǎo)出

從而可得

(2.14)

|u(m)|p-1u(m)ln |u(m)|→|u|p-1uln |u|,幾乎處處收斂于Ω×[0,T).

當(dāng)m→+∞,固定j,對(duì) (2.6)式求極限,可得

(ut,wj)+(?u,?wj)+(?ut,?wj)=(|u|p-1uln |u|,wj),

(ut,v)+(?u,?v)+(?ut,?v)=(|u|p-1uln |u|,v),t>0.

此外,當(dāng)m→+∞,對(duì) (2.7)式求極限,可得u(x,0)=u0(x).

綜上可知u是問(wèn)題 (0.2) 的一個(gè)整體弱解.

(2.15)

且

綜上,類似于第1步中的證明可知，當(dāng)J(u0)=d時(shí)問(wèn)題 (0.2) 有整體弱解.

第3步:問(wèn)題 (0.2) 弱解的唯一性.假設(shè)問(wèn)題(0.2)有兩個(gè)弱解u1和u2,令z=u1-u2,則z滿足問(wèn)題

(2.16)

其中f(u)=|u|p-1uln |u|.

將(2.16)式的方程兩端同時(shí)乘以z,并在Ω上積分,利用中值定理得到

其中0<θ<1.對(duì)上述等式兩端同時(shí)在(0,t)上積分,注意到z(x,0)=0,可得

(2.17)

由引理2.3,引理2.4和(2.9)式,得到

由上述不等式,利用H?older不等式和Young不等式,可得

(2.18)

(2.19)

將不等式 (2.18) 和 (2.19) 代入到 (2.17)式中,易得

(2.20)

利用Gronwall不等式,可知‖z‖2=0.因此,z=0幾乎處處收斂于Ω×[0,∞).

第4步:能量不等式. 令η(t)∈C[0,T]為關(guān)于t的非負(fù)函數(shù),由(2.6)式可推出

定理2.2的證明用反證法.假設(shè)在定理 2.2 的條件下,問(wèn)題 (0.2) 的弱解u(x,t)是整體解.

構(gòu)造輔助泛函

(2.21)

直接計(jì)算得到

(2.22)

另外,由 (1.2)、(1.4)式、I(u)的定義和能量不等式 (2.1),得到

G″(t)=2(uτ,u)+(?uτ,u)=-2I(u(t))=

(2.23)

由I(u0)<0及命題2.7可知I(u(t))<0,t>0.根據(jù)引理2.5 (ⅲ)知存在λ*∈(0,1)使得I(λ*u)=0,即知λ*u∈⊥N. 故由d的定義可知

(2.24)

結(jié)合 (2.23) 和 (2.24) 式,則有

(2.25)

由G″(t)=-2I(u(t))及I(u(t))<0,t>0,可知G″(t)>0,t>0,從而可得

(2.26)

由 (2.22)式,利用H?lder不等式和Young不等式,可得

(2.27)

聯(lián)立(2.21)、(2.25)和(2.27)式,得到

(2.28)

由 (2.26)式可知G(t)是關(guān)于t的單調(diào)遞增函數(shù),固定某一時(shí)刻0

(2.29)

由(2.28)與(2.29)式,可知

(2.30)

M(t)≥G(t)>0,M′(t)=G′(t)-G′(0)>0,M″(t)=G″(t)>0.

由(2.30)式可推出

(2.31)

故知Y在區(qū)間[t0,T]上為凹函數(shù). 由于

3 總 結(jié)