基于參數(shù)周期李亞普諾夫方程的閉環(huán)系統(tǒng)設(shè)計(jì)

謝琪龍，陳揚(yáng)陽(yáng)，鄧小龍，劉敏綺，劉祎妮

（1.廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541006；2.廣西師范大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息工程學(xué)院/軟件學(xué)院，廣西 桂林 541006）

0 引言

由Clohessy以及Witshire給出的C-W方程是一個(gè)線性時(shí)不變方程，在以往研究圓軌上的航天器軌道交會(huì)優(yōu)化控制問(wèn)題上都取得了較理想的效果。但是以往的研究在基于C-W方程進(jìn)行航天器軌道交會(huì)優(yōu)化控制設(shè)計(jì)時(shí)，沒(méi)有考慮現(xiàn)實(shí)中進(jìn)行反饋控制器的參數(shù)浮動(dòng)以及攝動(dòng)力的存在而引起的參數(shù)變化或參數(shù)增益。然而在實(shí)際操作中，不能包容控制器微小的參數(shù)變化的閉環(huán)系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的，而且很有可能是致命的。故本文設(shè)計(jì)了有界線性時(shí)變連續(xù)周期閉環(huán)系統(tǒng)。使得系統(tǒng)兼?zhèn)漪敯粜约皟?yōu)良的性能，使得航天器更加核心競(jìng)爭(zhēng)力[1]。

1 線性有界時(shí)變連續(xù)周期閉環(huán)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

1.1 相關(guān)研究綜述

Wada, Asai和Ikeda建立了利用Riccati型微分方程的解設(shè)計(jì)LTV控制器和LTI系統(tǒng)的非指數(shù)鎮(zhèn)定，以此來(lái)提高控制性能。Cacace, Germani和 Manes 采用了時(shí)滯相關(guān)時(shí)變觀測(cè)器增益來(lái)實(shí)現(xiàn)期望的指數(shù)誤差衰減。指數(shù)時(shí)間增益用于Ahmed-Ali, Fridman, Giri, Burlion和Lamnabhi-Lagarrigue對(duì)樣本數(shù)據(jù)的穩(wěn)定和估計(jì)進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)與常數(shù)增益相比，最大采樣間隔可以相差很大，許多非線性或非完整的機(jī)械系統(tǒng)，如普通輪式移動(dòng)機(jī)器人不能通過(guò)使用光滑pure-state（純態(tài)）反饋控制來(lái)確定。但是其仍然可以通過(guò)使用光滑時(shí)變反饋來(lái)保持穩(wěn)定性。

周彬博士研究設(shè)計(jì)的線性時(shí)變閉環(huán)系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)在有限時(shí)間內(nèi)收斂的研究方法（BinZhou,Finite-time stabilization of linear systems by bounded linear time-varying feedback）對(duì)此我們?cè)诖嘶A(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的改進(jìn)，將周期這一個(gè)重要性質(zhì)考慮進(jìn)去，得到一個(gè)新的、基于周期李亞普諾夫穩(wěn)定性理論的線性時(shí)變周期閉環(huán)系統(tǒng)。

本文通過(guò)建立線性有界時(shí)變連續(xù)周期反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間內(nèi)的鎮(zhèn)定。在不考慮外部干擾情況下，允許設(shè)計(jì)一個(gè)時(shí)變參數(shù)存在于反饋增益中，求解參數(shù)李亞普諾夫方程來(lái)實(shí)現(xiàn)控制器的設(shè)計(jì)。所有設(shè)計(jì)均有賴于參數(shù)李亞普諾夫方程的主要特征，該解對(duì)應(yīng)參數(shù)李亞普諾夫方程的一個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)的上界和下界。

據(jù)參數(shù)李亞普諾夫方程的特性，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)收斂速度快于指數(shù)，或者調(diào)節(jié)時(shí)間小于正無(wú)窮，此時(shí)的線性控制器是穩(wěn)定的（或漸進(jìn)穩(wěn)定的）。并有反饋增益k是時(shí)變的，控制u(t)在收斂期間保持有界?；诖嗽?，設(shè)計(jì)一個(gè)收斂速度快于指數(shù)且調(diào)節(jié)時(shí)間小于正無(wú)窮的有界線性時(shí)變連續(xù)周期反饋系統(tǒng)。

本文考慮航天器姿態(tài)定向保持并姿態(tài)鎮(zhèn)定，考慮目標(biāo)航天器在偏向率較小的低地球軌道運(yùn)動(dòng)，并且目標(biāo)航天器與追蹤航天器相距不遠(yuǎn)（≤50km）的交會(huì)情況。

我們考慮一個(gè)非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

其中，旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的軌道旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系統(tǒng)如圖一所示：

圖1 旋轉(zhuǎn)目標(biāo)航天器的軌道旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

其中，坐標(biāo)原點(diǎn)為目標(biāo)航天器的質(zhì)心，x-軸在從地心到目標(biāo)航天器的質(zhì)心的直線上，y-軸在沿著目標(biāo)航天器軌道的切線方向上，z-軸與x-軸、y-軸構(gòu)成右手系。 并且坐標(biāo)系以地球的質(zhì)心為圓心，R為軌道半徑，n為軌道角速度進(jìn)行周期旋轉(zhuǎn)。

本文考慮航天器姿態(tài)定向保持并姿態(tài)鎮(zhèn)定，考慮目標(biāo)航天器在偏向率較小的低地球軌道運(yùn)動(dòng)，并且目標(biāo)航天器與追蹤航天器相距不遠(yuǎn)（≤50km）的交會(huì)情況。

對(duì)于上面的航天器交會(huì)模型，我們可以得到以下的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

首先考慮預(yù)控制器u(t)，對(duì)其進(jìn)行參數(shù)化反饋，有

將閉環(huán)系統(tǒng)收斂參數(shù)λ設(shè)為隨著時(shí)間變化的，是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。即λ表示閉環(huán)系統(tǒng)的收斂速度，而且我們有P(λ)為參數(shù)李亞普諾夫方程的一個(gè)矩陣解。

若參數(shù)李亞普諾夫方程考慮應(yīng)用在周期控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上，由周彬博士研究論文[2](具有飽和非線性的控制系統(tǒng)研究的參數(shù)Lyapunov方法及其應(yīng)用)可得參數(shù)周期方程對(duì)于參數(shù)周期李亞普諾夫方程，存在一個(gè)P(λ)為其通解。假設(shè)P(λ)>0，則系統(tǒng)（1）以及預(yù)控制器（2）組成的閉環(huán)系統(tǒng)軌跡上的時(shí)間導(dǎo)數(shù)滿足以下方程

下面我們將需要證明我們的參數(shù)解P(λ)是滿足如下的一個(gè)形式的一個(gè)矩陣，從而知道該解是合適的。

1.2 狀態(tài)反饋

考慮設(shè)計(jì)時(shí)變反饋系統(tǒng)，以預(yù)控制器（2）的反向增益形式，實(shí)現(xiàn)收斂速度比指數(shù)快的收斂。首先選擇一個(gè)類參數(shù)李亞普諾夫方程的函數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)λ(t)，使得x(t)在在有限時(shí)間內(nèi)收斂于零；與此同時(shí)，保證預(yù)控制器u(t)在收斂過(guò)程中有界。

（1）閉環(huán)收斂速度參數(shù)λ(t)的尋找。對(duì)于上文中所要求設(shè)計(jì)的時(shí)間T，我們可以將其表示為如下形式

其中我們對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行定義

通過(guò)以上的定義，可以知道時(shí)間T是小于一個(gè)周期w的，即

給定關(guān)于λ的一個(gè)合理解集，通過(guò)給出該解集，我們對(duì)λ的取值進(jìn)行限定

考慮下面的有界線性時(shí)變狀態(tài)反饋

利用該狀態(tài)反饋，我們可以得到一個(gè)形如方程（5）的一個(gè)證明，其中σ是一個(gè)常數(shù)。

對(duì)于參數(shù)周期李雅普諾夫方程（3）的一個(gè)參數(shù)解λ，給出如下的形式：

通過(guò)驗(yàn)證可以知道它是滿足一個(gè)微分方程的解的形式

系統(tǒng)參數(shù)滿足以下不等式關(guān)系：

即ε(λ)包含在閉環(huán)系統(tǒng)里，其中是一個(gè)關(guān)于的一個(gè)函數(shù)表達(dá)式。由預(yù)控制器（2）和系統(tǒng)（1）組成的閉環(huán)系統(tǒng)使得包含在閉環(huán)系統(tǒng)的引力域內(nèi)。

（2）預(yù)控制器u(t)在收斂過(guò)程中有界。在實(shí)際進(jìn)行航天器控制中，u(t)應(yīng)存在一個(gè)控制上界?？紤]在設(shè)計(jì)軌道控制器的時(shí)候，設(shè)計(jì)控制器使之可容許控制輸入盡可能的小。使得系統(tǒng)（1）在較小的控制輸入下，其狀態(tài)可逼近原點(diǎn)。

考慮基于觀測(cè)輸出反饋情況，設(shè)計(jì)一個(gè)可觀測(cè)的控制器，其形式如下

其中，T為給定的有限常數(shù)，并且我們通過(guò)重新設(shè)計(jì)T，可以得到T的一個(gè)如下表達(dá)形式：

T的取值此時(shí)應(yīng)該與系統(tǒng)的一些初始參數(shù)相關(guān)，它與參數(shù)λ0、α1不再滿足一定的指數(shù)關(guān)系，而是滿足一個(gè)對(duì)數(shù)關(guān)系表達(dá)式[4]。此時(shí)，相應(yīng)地可以得到閉環(huán)系統(tǒng)的收斂參數(shù)λ滿足如下形式

從而可以得到收斂參數(shù)λ是滿足等式

并且可以知道它是快于指數(shù)收斂的。通過(guò)相應(yīng)的驗(yàn)算可以由李亞普諾夫方程的穩(wěn)定性理論得到，由系統(tǒng)（1）和基于觀測(cè)的反饋控制器（2）組成的閉環(huán)系統(tǒng)（14）是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

2 結(jié)語(yǔ)

本文基于C-W方程的航天器交會(huì)的非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，依據(jù)參數(shù)李亞普諾夫方程及其穩(wěn)定性理論，通過(guò)對(duì)其解及其性質(zhì)進(jìn)行研究，得到了由航天器系統(tǒng)和預(yù)控制器組成的閉環(huán)系統(tǒng)。并根據(jù)參數(shù)李雅普諾夫方程的穩(wěn)定性理論結(jié)合周期理論建立相關(guān)的類參數(shù)里亞普諾夫方程，并以此作為核心依據(jù)，進(jìn)行航天器閉環(huán)系統(tǒng)預(yù)控制器的設(shè)計(jì)。通過(guò)一些向量標(biāo)量的手段，能夠很好的證明所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的而且是合理的，能夠滿足所有的穩(wěn)定性要求。通過(guò)對(duì)參數(shù)周期李亞普諾夫方程性質(zhì)的研究，能夠證明閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)，即其參數(shù)可以在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)漸進(jìn)收斂，并且設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是由系統(tǒng)參數(shù)和初始條件所決定的。

自此我們得到了所求的控制系統(tǒng)，并證明所給系統(tǒng)的穩(wěn)健性。本文所提出的閉環(huán)設(shè)計(jì)方法可以應(yīng)用在航天器軌道交會(huì)控制系統(tǒng)中。應(yīng)用此方法進(jìn)行航天器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可以使得該航天器的閉環(huán)系統(tǒng)具有魯棒性。