分枝馬氏過程與超過程的中心極限定理

任艷霞，宋仁明

(1.北京大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100871；2.伊利諾伊大學(xué) 數(shù)學(xué)系，厄巴納 G1801；3. 四川大學(xué) 數(shù)學(xué)系，四川 成都 610065)

1 預(yù)備知識

1.1 模型介紹

1.1.1 分枝過程

若系統(tǒng)中共有k類粒子，粒子類型記為{1,2,…,k}.系統(tǒng)中粒子死亡后可以產(chǎn)生不同種類的粒子，同類粒子產(chǎn)生的后代分布相同.令隨機變量Zn(j)為第n代存活的j類粒子的總數(shù)，定義Zn= (Zn(1),Zn(2),…，Zn(j),…，Zn(k)),稱{Zn,n≥1}為多物種分枝過程.令mij表示第i類粒子產(chǎn)生的后代中j類粒子的個數(shù)的期望，稱矩陣M= (mij)1≤i,j≤k為多物種分枝過程的期望矩陣.Kolmogorov等在1947年提出了連續(xù)時間參數(shù)的分枝過程.假設(shè)每個粒子的壽命服從指數(shù)分布.對于t≥0,定義隨機變量Zt：= (Zt⑴,Zt(2),…，Zt(j),…,Zt(k)),其中Zt(j)為t時刻存活的j類粒子的總數(shù)，稱{Zt,t≥0} 為連續(xù)時間參數(shù)的分枝過程.期望矩陣為Mt∶=(mt(ij))1≤i,j≤k,其中mt(ij)是i類粒子經(jīng)過時間t生成的j類粒子總數(shù)的期望.

1.1.2 分枝馬氏過程

Ⅰ)底過程：E上的Hunt過程ξ={ξt,∏x};

令{pn(x)∶n=0,1,2,…}的母函數(shù)為

由上述3個要素，可以構(gòu)造E上的分枝馬氏過程.考慮如下分枝系統(tǒng)：

Ⅰ)系統(tǒng)中每個粒子u在E上運動，且出生時間和死亡時間是隨機的，分別記為bu和du;

Ⅱ) 若粒子在位置x∈E出生，則它按照從x出發(fā)的ξ運動.令{zu(r)∶r∈[bu,du]}為u的運動軌道；

Ⅲ) 若粒子u在t時刻是活著的，則其在無窮小區(qū)間[t,t+dt]內(nèi)存活的概率為β(zu(t))dt+0(dt);

Ⅳ) 當粒子u在位置x∈E死亡，它在x處以概率pn(x)產(chǎn)成n個后代，且每個后代獨立的從x處開始按照上述規(guī)則運動、死亡、產(chǎn)生后代；

Ⅴ) 當粒子到達?,它將從系統(tǒng)中消失.

(1)

則ω(t,x)是方程

(2)

1.1.3 超過程

超過程是另一類測度值馬氏過程.超過程同樣由以下3要素構(gòu)成.

Ⅰ) 底過程：E上的Hunt過程ξ={ξt,∏x};

Ⅲ) 分枝機制

(3)

(4)

(5)

其中,uf(x,t)是下列方程的唯一的非負的局部有界解：

(6)

關(guān)于這類超過程的存在性及其他性質(zhì)，可參見李增滬[2]和Dynkin[3].

超過程可以作為分枝馬氏過程在恰當尺度變換下的極限過程，且這種構(gòu)造方法可以更清楚地看出超過程3個參數(shù)(ξ,β,ψ)的具體意義.對于k≥1,設(shè){Yk(t),t≥0}是一個參數(shù)為(ξ,γkβ,φk)的分枝馬氏過程，且參數(shù)滿足

1.2 分枝馬氏過程和超過程的極限定理發(fā)展

分枝馬氏過程和超過程也有相應(yīng)的整體意義上的上臨界、臨界和下臨界的定義.粗略說，上臨界過程的滅絕概率小于1,而臨界和下臨界的過程在某些條件下一定會滅絕.這就導(dǎo)致在考慮3類模型時關(guān)心的問題完全不同.

分枝過程和超過程極限定理的研究，一直受到高度的關(guān)注.近十幾年來，有很多文章討論了上臨界分枝過程和超過程的大數(shù)定律，主要包括文獻[4-16].在最近的文獻中，還有一些其他形式的極限定理，例如文獻[17-21].

1966年，Kesten等[22-23]首次討論了上臨界多物種Galton-Watson分枝過程的中心極限定理，主要用到的工具是期望矩陣M的Jordan標準型.Athreya證明了上臨界多物種連續(xù)時間分枝過程的中心極限定理，Athreya用到的主要工具是期望矩陣Mt的Jordan標準型和其特征向量[24-26]. Asmussen和Keiding在文獻[27]中，用鞅的中心極限定理證明了上臨界多物種分枝過程的某類中心極限定理.

設(shè){Xt,t≥0}是一個分枝馬氏過程，則對于可測函數(shù)f,隨機變量〈f,Xt〉表示f關(guān)于測度Xt的積分.關(guān)于上臨界分枝馬氏過程,Asmussen等[28]給出了〈f,Xt〉的中心極限定理,但是，書中提出的條件不是很容易驗證，書中唯一給出的滿足這些條件的例子是在光滑區(qū)域上的分枝擴散過程，而且可以驗證分枝Ornstein-Uhlenbeck過程不滿足此條件.

本綜述文章在此基礎(chǔ)上，給出更一般的分枝馬氏過程和超過程的系列中心極限定理.首先提出了1個好的框架，它包含了很多常見的過程，同時文中提出的假設(shè)比較容易驗證，彌補了之前文章的一些不足.另一方面，相比之前文章的結(jié)果更優(yōu)，得到了一些全新的結(jié)論.最后，本文提出的假設(shè)適用于非對稱情形，在處理非對稱情形時給出了關(guān)于非對稱緊算子譜理論的一些結(jié)果，非對稱情形的結(jié)果較復(fù)雜[40].

2 關(guān)于底過程的假設(shè)和性質(zhì)

2.1 基本符號

?Lp(E,m;)(Lp(E,m)),p≥1:關(guān)于測度m的p-階矩有限的可測復(fù)(實)函數(shù)全體.當p<∞,‖f‖p:=當p=∞,‖f‖∞為f關(guān)于測度m的本質(zhì)上確界.

?〈·,·〉m:希爾伯特空間L2(E,m)和L2(E,m;)上的內(nèi)積.

2.2 基本假設(shè)和性質(zhì)

給出本文中所討論的分枝馬氏過程和超過程的底過程滿足的假設(shè)條件及一些常用的性質(zhì).

用{Pt:t≥0}表示底過程ξ的半群.全文中考慮底過程ξ={ξt,∏x}都滿足以下條件.存在一族定義在E×E上連續(xù)的嚴格正的函數(shù){p(t,x,y) :t>0}滿足：

定義

(7)

(8)

因此

(9)

設(shè)a∈?b(E),定義Feynman-Kac半群{Tt,t>0},

注意對于分枝馬氏過程和超過程，它們的期望公式跟Tt有相同的形式，都是底過程半群的Feynman-Kac變換，是對應(yīng)的α的表達式不同.下面介紹一個非常有用的引理, 其證明參見文獻[4].

引理2假設(shè)1a)、b)成立.則半群{Tt:t≥0}存在轉(zhuǎn)移密度q(t,x,y),使得

e-‖α‖∞tp(t,x,y) ≤q(t,x,y)≤e‖α‖∞tp(t,x,y),(t,x,y)∈(0,∞)×E×E.

(10)

并且對于任意t>0,q(t,x,y)關(guān)于(x,y)是連續(xù)的.特別地，當p(t,x,y)=p(t,y,x)時,q(t,x,y)=q(t,y,x).

(11)

定義

(12)

(13)

對任意的t>0及f∈L2(E,m;),Ttf是連續(xù)的.事實上，由于q(t,x,y)是連續(xù)的, 由式(13)和假設(shè)1中b),根據(jù)控制收斂定理可得Ttf是連續(xù)的.

2.3 滿足假設(shè)1的對稱馬氏過程的例子

本小節(jié)將給出一些滿足假設(shè)1的對稱馬氏過程的例子.這些例子說明有很多馬氏過程是滿足這些條件的.下面的第1個例子包含了 Ornstein-Uhlenbeck過程(簡稱OU過程).

例1 (隸屬 Ornstein-Uhlenbeck過程).令σ、b>0 是2個常數(shù).η={ηt:t≥0}是一 個d上的OU過程，它是一個擴散過程，無窮小生成元為

對任意x∈d,用∏x表示初始值為x的過程ξ的分布.已知在概率∏x下,ηt～其中并且η有一個不變密度為

令

則

(14)

令E=d,m(dx) =μ(x)dx,則ηt關(guān)于測度m的密度函數(shù)為

特別地，

取t0>0使得4/(e2abt0+1) <1.根據(jù)H?lder不等式，有

當t≥2at0,有

從而

因此,過程ξ滿足上一小節(jié)中提出的所有假設(shè)條件.

例2 設(shè)V是d上的非負的局部有界的函數(shù)，滿足：存在R>0,M≥1使得，對所有的|x| >R,

M-1(1+V(x))≤V(y)≤M(1+V(x)),y∈B(x,1),

取E=d,m是d上的勒貝格測度，由上面的不等式，容易驗證ξ滿足上一小節(jié)中提出的所有假設(shè)條件.

例3L:[0,∞)→[0,∞)是單調(diào)不減的函數(shù)，如果limt→∞L(t) =∞且存在c>1使得

L(t+ 1) ≤c(1 +L(t)),t≥0,

則稱L∈L.設(shè)V是d上的非負函數(shù)，滿足且存在L∈L,C>0使得對所有x∈d,L(|x|) ≤V(x)≤C(1+L(|x|).設(shè)m0>0,α∈(0,2)是常數(shù),令ξ是d上的馬氏過程，無窮小生成元為用p(t,x,y)表示ξ關(guān)于勒貝格測度的密度函數(shù).根據(jù)文獻[43],對于t>0,存在ct>0使得

取E=d,m是d上的勒貝格測度，容易驗證ξ滿足上一小節(jié)中提出的所有假設(shè)條件.

例4 設(shè)E是局部緊的可分距離空間，m是E上的有限Borel測度且支撐為E.ξ= {ξ,∏x}是一個m-對稱的Hunt過程.設(shè)對于t>0,ξt存在連續(xù)的，對稱的，嚴格正的密度函數(shù)p(t,x,y).如果ξ的半群是超壓縮的，即，對t>0,存在ct>0使得

p(t,x,y)≤ct, (x,y)∈E×E,

則容易得到ξ滿足上一小節(jié)中提出的所有假設(shè)條件.

下面是一些滿足超壓縮條件的例子：

1) 設(shè)D是d上的連通開集，具有有限測度，m是D上勒貝格測度.對d上的擴散過程，若其無窮小生成元為一致橢圓擴散型二階微分算子，則它在區(qū)域D中帶斬殺 邊界的子過程滿足本例中的所有條件.

2) 設(shè)D是d上有界連通的C2開集，m是D上勒貝格測度.則中的反射布朗運動滿足本例第1段中的條件.

3) 設(shè)D是d上的開集，具有有限測度，m是D上勒貝格測度.則對于任意隸屬布朗運動在D中帶斬殺邊界的子過程滿足本例第1段中的條件，詳細可參見文獻[44-45].

3 上臨界分枝對稱馬氏過程的中心極限定理

討論上臨界分枝對稱馬氏過程的中心極限定理.本節(jié)考慮的分枝過程的底過程ξ={ξ,∏x}滿足上一節(jié)中的假設(shè)1,并且要求p(t,x,y)=p(t,y,x) (即ξ={ξ,∏x}是m-對稱的)，分枝律滿足二階矩條件

(15)

定義

(16)

和

(17)

由式(15)知，存在K>0,使得

(18)

過程X的一階矩公式：對于f∈?b(E)及(t,x)∈(0,∞)×E,

(19)

(20)

(21)

式(21)中的級數(shù)是在E×E上局部一致收斂的.上述結(jié)論的證明，參見文獻[46].主要討論上臨界分枝馬氏過程，即假設(shè)2.

假設(shè)2λ1<0.

對于任意的f∈L2(E,m),有下面的展開：

(22)

這里使用慣例infφ=∞.定義

若f∈L2(E,m)是非負的且m(x∶f(x) >0)>0,則〈f,φ1〉m>0,即γ(f) =1,且易得f*(x)=a1φ1(x)=〈f,φ1〉mφ1(x).在本節(jié)的主要結(jié)論中將用到下面3個L2(E,m)中的子函數(shù)類：

(23)

(24)

(25)

3.1 大數(shù)定律

在考慮中心極限定理之前，先來敘述大數(shù)定律.定義

(26)

首先給出一個重要的引理.

(27)

存在.

注意在定理1中，要求f∈L2(E,m)∩L4(E,m).但是接下來的結(jié)果表明，對于非負的f,是可以去掉f∈L4(E,m)這一條件的.

(28)

3.2 中心極限定理

(29)

和

(30)

(31)

和

(32)

(33)

定義

及

f(l)(x)∶=f(x)-f(s)(x)-f(c)(x).

4 上臨界分枝非對稱馬氏過程的中心極限定理

5 上臨界超過程的中心極限定理和泛函中心極限定理

5.1 假設(shè)條件

這一節(jié)將開始討論上臨界超過程的中心極限定理.這里只討論底過程是對稱的情形.事實上，可以得到底過程非對稱情形的結(jié)果.本節(jié)討論的超過程的3要素(ξ,β,ψ)滿足的條件如下.

3)分枝機制ψ的形式如式(3),且滿足

(34)

第2.3節(jié)中已經(jīng)給出了很多滿足上述假設(shè)的底過程的例子，這里不再重復(fù).定義

(35)

注意，此處α、A與分枝馬氏過程的α和A(見定義(16), (17))不同，但由于它們的作用是相似的，由于不會產(chǎn)生混淆，使用了相同的記號.根據(jù)假設(shè)α(x)∈?b(E),A(x)∈?b(E)知存在常數(shù)K>0使得

(36)

超過程X的一階矩公式為：對于任意的f∈?b(E),

(37)

只討論上臨界超過程，即假設(shè)3.

假設(shè)3

λ1<0.

本節(jié)中，主要工具是超過程的游弋測度，因此進一步需要下面的假設(shè)條件來保證游弋測度的存在性并使其滿足一些好的性質(zhì).

假設(shè)4對任意的t>0,x∈E,

(38)

首先將給出一個滿足假設(shè)4的充分條件.這個充分條件只針對分枝機制ψ，因此與假設(shè)1不沖突.

(39)

在假設(shè)4下，將給出超過程X的中心極限定理.對任意的f∈L2(E,m),以下展開式成立：

(40)

這里令infφ=∞當且僅當f=0,m-a.e.令

5.2 大數(shù)定律

先給出大數(shù)定律，這些結(jié)論與第3節(jié)的大數(shù)定律相似，證明方法也相似.定義

下面將給出另一個弱大數(shù)律，在本推論中，將去掉f∈L4(E,m)這個假設(shè).

(41)

5.3 中心極限定理

(42)

(43)

(44)

同時定義隨機變量

(45)

5.4 泛函中心極限定理

5.3節(jié)給出了上臨界超過程的中心極限定理，本節(jié)將進一步給出更強的結(jié)果——泛函中心極限定理.5.4節(jié)是5.3節(jié)結(jié)果的繼續(xù)，假設(shè)條件完全相同，這里不再重復(fù).

給定q>max{K, -2λ1}.對任意的p≥1和f∈Lp(E,m),定義

(46)

即Uq|f|∈Lp(E,m).令f+和f-分別表示f的正部和負部.對于x∈E,若Uq|f|(x)<∞,定義

否則定義Uqf(x)為任意一實數(shù).根據(jù)式(46),Uq是Lp(E,m)上的有限線性算子.注意

容易驗證對于f∈L2(E,m),γ(Uqf) =γ(f).事實上由Fubini定理，有

(47)

在這個意義下，可以考慮〈Uqf,X.〉作為軌道值隨機變量的極限.

(48)

(49)

(50)

(51)

E(G1,Uqf(τ1)G1,Uqf(τ2))=σUqf,τ2-τ1,0≤τ1≤τ2,

(52)

E(G3,g(τ1)G3,g(τ2))=βg,τ2-τ1,若0≤τ1≤τ2,

(53)

且

(54)

并且W∞，G2，h和(G1,Uqf,G3,g)相互獨立.

對于f∈L2(E,m),參見推論1前的定義.

注6 設(shè)f∈L2(E,m)∩L4(E,m)滿足λ1≥2λγ(f).令g=Uqf，則g(l)=Uqf(l),g(c)=Uqf(c)且g(s)=Uqf(s).特別地，若λ1=2λγ(f)則g(s)=0.

若f(c)=0,則g=g(l)+g(s),因此

(55)

其中G1,g(l)+G3,g(s)是一個連續(xù)的高斯過程，期望為0,協(xié)方差函數(shù)為

E[(G1，g(I)(τ1)+G3，g(s)(τ1))(G1，g(l)(τ2)+G3，g(s)(τ2))]=
σg(l),τ2-τ1+ητ1,τ2(g(l),g(s))+βg(s),τ2-τ1,0≤τ1≤τ2.

若f(c)≠0,則

根據(jù)式(55)，有

因此根據(jù)定理7中極限的第1個和第3個分量的結(jié)果，有

6 穩(wěn)定分枝機制上臨界超Ornatein-Uhlenbeck的中心極限定理

本節(jié)考慮二階矩不存在情形的超Ornstein-Uhlenbeck過程(超OU過程)X的中心極限定理.底過程為ξ={(ξt)t≥0;(∏x)x∈d}為d中取值的Ornstein-Uhlenbeck過程(OU過程)的情形，ξ的生成元為

(56)

其中σ>0與b>0是常數(shù).考慮分枝機制ψ是空間齊次的情形，即

(57)

近期Marks等[48]建立了具有特殊穩(wěn)定分枝機制(二階矩不存在)的上臨界分枝OU過程的空間中心極限定理，在文獻[49-50]中，建立了二階矩不存在情形的超OU 過程X的中心極限定理，其中分枝機制ψ滿足下面2個條件：

假設(shè)6假設(shè)存在η>0及β∈(0,1)使得

(58)

對δ>0成立.

與前面相同，用(Pt)t≥0表示ξ的轉(zhuǎn)移半群.對x∈d,t≥0及f∈?+(d), 定義∏x[eαtf(ξt)].對任意μ∈(d),t≥0及過程ξ在d上具有不變概率：

(59)

令L2(φ)表示內(nèi)積為

(60)

(61)

及

(62)

文獻[49]證明了如下結(jié)果：

對任意f∈,存在特征函數(shù)為θem[θf],θ∈的(1+β)-穩(wěn)定隨機變量ζf,這里

(63)

定義

(64)

(65)

作為上面定理的推論，對任意f∈,有下面關(guān)于Xt(f)的中心極限定理.

1)如果fc≡0,則

這里ζfs與ζ-fl是由式(63)刻畫的(1+β)-穩(wěn)定隨機變量，ζfs與ζ-fl相互獨立；

2)如果fc?0,則

這里ζfc是由式(63)刻畫的(1+β)-穩(wěn)定隨機變量.

注7 本節(jié)中考慮的分枝機制是空間齊次的，很自然進一步地研究應(yīng)該考慮更一般的空間非齊次且二階矩不存在情形的中心極限定理.