將知識(shí)序、認(rèn)知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序*
——以“去括號(hào)法則”學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)為例

曹建軍 (浙江省杭州市上城區(qū)教育學(xué)院 310006)

學(xué)習(xí)路徑(簡(jiǎn)稱(chēng)學(xué)習(xí)序)是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)某一具體數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)思維與學(xué)習(xí)過(guò)程的描述，以及一個(gè)相關(guān)的、設(shè)想的路徑，這個(gè)路徑包含了一系列指向教學(xué)目標(biāo)的教學(xué)任務(wù)，以及基于學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)設(shè)計(jì).事實(shí)上，在學(xué)習(xí)的過(guò)程中還存在另外兩條不同的路徑：知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程(簡(jiǎn)稱(chēng)知識(shí)序)、理解知識(shí)的心理過(guò)程(簡(jiǎn)稱(chēng)認(rèn)知序).日常教學(xué)中可能會(huì)存在兩種問(wèn)題：一是教師較多地關(guān)心知識(shí)的邏輯而忽視學(xué)生認(rèn)知的心理過(guò)程，造成學(xué)生被動(dòng)地接受知識(shí)；二是教師可能重視了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)與疑點(diǎn)，但由于對(duì)知識(shí)的理解不到位，無(wú)法有效地改善學(xué)生的學(xué)習(xí).事實(shí)上，只有數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性與學(xué)生對(duì)知識(shí)邏輯性理解的心理適應(yīng)性這兩者同構(gòu)才是學(xué)習(xí)發(fā)生的基本條件[1].因此，教學(xué)設(shè)計(jì)顯然應(yīng)充分考慮這兩個(gè)路徑，使之能夠自然地融合為適合學(xué)生的學(xué)習(xí)路徑，即應(yīng)將知識(shí)序、認(rèn)知序自然融合為學(xué)生的學(xué)習(xí)序(雙徑融合)，努力實(shí)現(xiàn)“為學(xué)而教”.

在浙教版“去括號(hào)法則”的教學(xué)中，當(dāng)括號(hào)前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1時(shí)，學(xué)生存在兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)：當(dāng)括號(hào)前面是負(fù)號(hào)時(shí)忘記改變括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào)；漏乘數(shù)字因數(shù).學(xué)生在這一問(wèn)題上的錯(cuò)誤率一直都比較高，教師對(duì)于問(wèn)題產(chǎn)生的原因卻 “百思不得其解”.在近期舉行的浙江省初中數(shù)學(xué)新課程新教材“疑難問(wèn)題解決”專(zhuān)題研訓(xùn)活動(dòng)中，本人結(jié)合浙教版七年級(jí)上冊(cè)“4.6整式的加減(1)”(即“去括號(hào)法則”)一課向與會(huì)代表分享了自己對(duì)這一內(nèi)容學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的思考，現(xiàn)與大家交流.

1 知識(shí)的發(fā)展路徑分析

1.1 地位和作用

整式的加減是學(xué)習(xí)式的運(yùn)算的第一步，是式的運(yùn)算的基礎(chǔ)，其中蘊(yùn)含的內(nèi)容、思想方法和研究方法在后續(xù)學(xué)習(xí)中有示范作用.就整章而言，整式分為兩大部分——整式的有關(guān)概念和整式的加減運(yùn)算，整式的有關(guān)概念是整式運(yùn)算的基礎(chǔ).因此整式的加減是本章的重點(diǎn)，而整式的加減可以歸結(jié)為去括號(hào)和合并同類(lèi)項(xiàng).可以說(shuō)，去括號(hào)是整式加減的基礎(chǔ)，也是今后學(xué)習(xí)整式的乘法、分式運(yùn)算及解方程的基礎(chǔ).

1.2 內(nèi)容解析

去括號(hào)是通過(guò)分配律將含有括號(hào)的整式轉(zhuǎn)化為整式和的形式，從而可以運(yùn)用加法的運(yùn)算律，達(dá)到合并同類(lèi)項(xiàng)的目的.既然就是分配律，那為什么還要學(xué)習(xí)去括號(hào)法則呢？實(shí)際上，去括號(hào)法則的本質(zhì)是去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化的規(guī)律.而學(xué)習(xí)去括號(hào)法則的目的，就在于從易錯(cuò)的符號(hào)問(wèn)題中獲得規(guī)律，從而將符號(hào)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值運(yùn)算，最終促進(jìn)技能的自動(dòng)化(顯然也能對(duì)去括號(hào)的結(jié)果，尤其是符號(hào)的檢驗(yàn)具有更清晰的幫助).

1.3 對(duì)比分析現(xiàn)本質(zhì)

對(duì)括號(hào)前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1時(shí)這一易錯(cuò)點(diǎn)的教學(xué)處理，浙教版教科書(shū)與人教版教科書(shū)采用了不同的方法.浙教版直接用乘法分配律，如-3(2x2-3x)=(-3)×2x2+(-3)×(-3x)= -6x2+9x，即直接將-3作為整體乘以括號(hào)中的每一項(xiàng).而人教版先把正系數(shù)用分配律轉(zhuǎn)化為系數(shù)為1的情況，再根據(jù)法則去括號(hào)，如-3(2x2-3x)=-(3×2x2-3×3x)=-6x2+9x，即第一步先將-3的絕對(duì)值3乘以括號(hào)中的每一項(xiàng)(運(yùn)算不牽涉符號(hào))，從而轉(zhuǎn)化為與法則相符的括號(hào)前只含符號(hào)的形式，此時(shí)并沒(méi)有去掉括號(hào)；第二步再用去括號(hào)法則去掉括號(hào)，同時(shí)改變括號(hào)中每一項(xiàng)的符號(hào).相較于浙教版，人教版的處理有效降低了思維難度，一定程度上避免了錯(cuò)誤的發(fā)生，也更體現(xiàn)去括號(hào)法則的本質(zhì).根據(jù)以上分析，確定知識(shí)序(圖1)：

圖1 去括號(hào)法則的本質(zhì)及其知識(shí)路徑

2 學(xué)習(xí)的認(rèn)知路徑分析

2.1 學(xué)生已具備的認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)數(shù)的分配律，對(duì)于數(shù)的去括號(hào)已經(jīng)有了初步的認(rèn)識(shí).小學(xué)四年級(jí)就由特殊到一般歸納過(guò)分配律的文字語(yǔ)言，并以填空的形式寫(xiě)過(guò)符號(hào)語(yǔ)言：a×(b+c)=a×+a×.到了初中，在數(shù)的范圍分別擴(kuò)展到有理數(shù)和實(shí)數(shù)時(shí)，都研究過(guò)原有的運(yùn)算律與運(yùn)算法則在新的范圍內(nèi)同樣適用的問(wèn)題，并進(jìn)行了具體運(yùn)用的練習(xí).

2.2 與本課目標(biāo)的差距以及彌補(bǔ)的方法

(1)數(shù)的分配律仍適用于式的運(yùn)算的合理性

由于數(shù)的分配律不含字母，所以學(xué)生在理解分配律仍適用于式的運(yùn)算的合理性時(shí)可能會(huì)有一定的困難.為此，可以嘗試采用以下兩種方式，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)合理性的理解:

①幾何直觀(guān).由長(zhǎng)方形面積的不同表示，得到等式3(x+3)=3x+9，形成對(duì)合理性的直觀(guān)感受.

②字母表示數(shù).回顧代數(shù)式的概念，進(jìn)一步理解字母表示數(shù)的本質(zhì)，所以數(shù)的分配律顯然仍適用于式的運(yùn)算.

(2)數(shù)的運(yùn)算與式的運(yùn)算在處理括號(hào)時(shí)的差異性

在有理數(shù)運(yùn)算中，遇到括號(hào)時(shí)通常先做括號(hào)中的運(yùn)算，而在整式運(yùn)算中往往需要先去括號(hào)再合并同類(lèi)項(xiàng).這種差異進(jìn)一步增加了學(xué)生對(duì)去括號(hào)的理解的難度.因此，去括號(hào)也是本章學(xué)習(xí)的難點(diǎn).要讓學(xué)生根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則明確括號(hào)內(nèi)不能直接運(yùn)算的原因，進(jìn)一步明確算理，經(jīng)歷完整的整式運(yùn)算的建構(gòu)過(guò)程.如先呈現(xiàn)無(wú)括號(hào)的合并同類(lèi)項(xiàng)的問(wèn)題，再出現(xiàn)有括號(hào)的問(wèn)題，從能合并到不能合并，讓學(xué)生自然產(chǎn)生認(rèn)知沖突，體會(huì)差異并理解算理.

(3)去括號(hào)法則本質(zhì)的明確

浙教版去括號(hào)法則教學(xué)中易錯(cuò)點(diǎn)的產(chǎn)生，實(shí)質(zhì)上與教材的編寫(xiě)有一定的關(guān)系.人教版在學(xué)生學(xué)習(xí)法則的過(guò)程中明確歸納的是去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化的規(guī)律，是直接指向去括號(hào)法則的本質(zhì)的.浙教版雖然同樣得出了法則，但沒(méi)有明確這一點(diǎn)，學(xué)生對(duì)本質(zhì)的理解是不明確的；在括號(hào)前的數(shù)字因數(shù)不為1或-1的例題教學(xué)時(shí)又采用了分配律直接運(yùn)算的方式，再次失去強(qiáng)化本質(zhì)的機(jī)會(huì).這造成學(xué)生在去括號(hào)時(shí)，基本上都直接用分配律.此時(shí)，對(duì)每一項(xiàng)需要同時(shí)進(jìn)行符號(hào)與數(shù)值兩方面的運(yùn)算，顯然更容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.

根據(jù)以上分析，教學(xué)中要加強(qiáng)對(duì)式的運(yùn)算的合理性的認(rèn)識(shí)，充分理解數(shù)式運(yùn)算的差異性.在法則獲得過(guò)程中，應(yīng)讓學(xué)生充分明確法則的本質(zhì)——去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化的規(guī)律；在法則運(yùn)用過(guò)程中，要讓學(xué)生直接使用法則進(jìn)行操作，鞏固法則本身，而不是分配律.

3 學(xué)習(xí)路徑的基本流程設(shè)計(jì)

由以上兩方面的分析，我們確定了本課學(xué)習(xí)路徑的基本流程(圖2)：

圖2 “去括號(hào)法則”學(xué)習(xí)路徑的基本流程設(shè)計(jì)

4 “學(xué)為中心”的問(wèn)題導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)(部分)

4.1 法則獲得

問(wèn)題1你能把下列整式化簡(jiǎn)嗎？(1) 2ab+2-3ab-1；(2) 2(ab+1)+(-3ab-1)； (3) 2(ab+1)-(3ab+1).

師生活動(dòng)：因?yàn)橐褜W(xué)過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，所以學(xué)生能夠?qū)?1)合并得到結(jié)果，但解決(2)時(shí)遇到問(wèn)題，括號(hào)中的多項(xiàng)式不能像有理數(shù)運(yùn)算一樣先計(jì)算了(合并)，怎么辦？所以需要先去括號(hào)，怎么去？

問(wèn)題2分配律在數(shù)的運(yùn)算中是適用的，現(xiàn)在是數(shù)乘以式，那么分配律在式的運(yùn)算中是否還成立呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生用兩種方法來(lái)表示矩形的面積，得到等式3(x+3)=3x+9，驗(yàn)證分配律同樣適用于代數(shù)式的運(yùn)算.

問(wèn)題3你還能從其他角度解釋這個(gè)結(jié)論嗎？

師生活動(dòng)：引導(dǎo)學(xué)生回顧代數(shù)式概念，即由數(shù)、表示數(shù)的字母和運(yùn)算符號(hào)組成的數(shù)學(xué)表達(dá)式，充分了解字母表示數(shù)，所以數(shù)的分配律仍然適用于式的運(yùn)算.

評(píng)析引導(dǎo)學(xué)生深入數(shù)學(xué)思考：“引進(jìn)一種新的數(shù)，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究相應(yīng)的運(yùn)算律”，這是代數(shù)的核心思想.在數(shù)系、運(yùn)算法則和運(yùn)算律(即對(duì)任何數(shù)都成立的通性)中獲得的知識(shí)，可以方便地遷移到“以字母表示數(shù)”后的學(xué)習(xí)中去.

問(wèn)題4請(qǐng)運(yùn)用分配律將下列各式去括號(hào)：(1) 3(x+5)=;(2) +(x+y+z)=;(3) +(x-y+z)=;(4) -2(-x+6)=;(5) -(x+y+z)=;(6) -(x-y+z)=.

請(qǐng)觀(guān)察每個(gè)等式去括號(hào)前后各式符號(hào)的變化，你能歸納你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？

設(shè)計(jì)意圖浙教版教科書(shū)中并沒(méi)有明確指明去括號(hào)法則是去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化的規(guī)律，通過(guò)前面的分析可知，這是學(xué)習(xí)路徑中極重要的一環(huán)，所以設(shè)置這6個(gè)小題引導(dǎo)學(xué)生歸納，從而獲得去括號(hào)法則.

4.2 法則運(yùn)用

題組1 去括號(hào):(1) +(x-y)=;(2) -(-x-y)=;(3)x-(y+z)=;(4)x+(-y+z)=.

師生活動(dòng)：完成之后請(qǐng)學(xué)生對(duì)照書(shū)本，閱讀課本對(duì)-3(2x2-3x)是怎么書(shū)寫(xiě)解題步驟的.

問(wèn)題5對(duì)于課本的解題步驟-3(2x2-3x)=-3×2x2+(-3)×(-3x)=-6x2+9x，你能說(shuō)出每一步的依據(jù)嗎？你還有其他做法嗎？你的依據(jù)是什么？

評(píng)析對(duì)于括號(hào)前數(shù)字因數(shù)的絕對(duì)值不是1的情況的解決，課本例題采用的方法實(shí)際上并非去括號(hào)法則的直接運(yùn)用，而是利用分配律去括號(hào).這樣的安排忽視了去括號(hào)法則的本質(zhì)，不利于學(xué)生對(duì)去括號(hào)法則意義的理解，顯然也不利于技能自動(dòng)化的達(dá)成，與程序性知識(shí)學(xué)習(xí)的階段要求是相悖的.因此，在其他做法的介紹中，為了避免部分學(xué)生符號(hào)出錯(cuò)，可以分兩步:先將絕對(duì)值通過(guò)乘法運(yùn)算放進(jìn)括號(hào)，依據(jù)是分配律；再利用法則去括號(hào).從而讓學(xué)生經(jīng)歷法則的運(yùn)用過(guò)程，而不只是分配律的運(yùn)用.

問(wèn)題6去括號(hào)時(shí)哪些地方容易出錯(cuò)？你有哪些避免出錯(cuò)的措施？

師生活動(dòng)：大家討論得到以下幾點(diǎn)：①去括號(hào)，看符號(hào)；是“+”號(hào)，不變號(hào)；是“-”號(hào)，全變號(hào)；②去掉的是括號(hào)和括號(hào)前的符號(hào)；③運(yùn)用分配律的時(shí)候不要漏乘.

5 “學(xué)為中心”的學(xué)習(xí)路徑設(shè)計(jì)的思考

5.1 “雙徑融合，問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)流程

“學(xué)為中心”的課堂教學(xué)要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)組織時(shí)必須站在學(xué)生立場(chǎng)上，創(chuàng)設(shè)一條最適合學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑.具體來(lái)說(shuō)，我們可以按“雙徑融合，問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”的流程做好這一工作(圖3)：

圖3 “學(xué)為中心”的學(xué)生學(xué)習(xí)路徑的設(shè)計(jì)流程

一是充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)及其發(fā)生發(fā)展過(guò)程.教師要“重在分析知識(shí)結(jié)構(gòu)，分析知識(shí)因果關(guān)系，獲得知識(shí)環(huán)環(huán)相扣、嚴(yán)絲合縫的邏輯路徑，以此為基礎(chǔ)，選擇知識(shí)發(fā)生的捷徑進(jìn)行教學(xué).”[1]教師只有充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯路徑才能找到關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，真正實(shí)現(xiàn)“再創(chuàng)造”過(guò)程的教育價(jià)值.如本課中，只有分析清楚去括號(hào)法則的本質(zhì)是從易錯(cuò)的符號(hào)問(wèn)題中獲得規(guī)律，從而將符號(hào)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)值運(yùn)算，才能正確處理其與分配律的關(guān)系，并設(shè)計(jì)“問(wèn)題5”引導(dǎo)學(xué)生探尋不同解法.只有分析清楚知識(shí)的類(lèi)型及其學(xué)法，才會(huì)懂得如何強(qiáng)化法則的概括過(guò)程，并合理設(shè)計(jì)“問(wèn)題4”以明確指向去括號(hào)時(shí)符號(hào)變化的規(guī)律這一法則的本質(zhì).

二是深入了解學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過(guò)程.教師要依據(jù)認(rèn)知規(guī)律，充分利用數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐性知識(shí)，與學(xué)生進(jìn)行“心理?yè)Q位”，揣摩學(xué)生的認(rèn)知特征，“深切地體會(huì)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，心理上的那種深陷重圍的痛楚、舉步維艱的困惑、欲言又止的難局，依據(jù)學(xué)生的心理生成，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)出利于學(xué)生學(xué)習(xí)的教學(xué).”[1]本課中，只有分析清楚學(xué)生在理解分配律仍適用于式的運(yùn)算的合理性時(shí)可能會(huì)有困難，才會(huì)引導(dǎo)學(xué)生回顧代數(shù)式概念，充分了解字母表示數(shù)，從而意識(shí)到數(shù)的分配律仍然適用于式的運(yùn)算.也只有分析清楚學(xué)生的常見(jiàn)錯(cuò)誤：當(dāng)括號(hào)前面是負(fù)數(shù)時(shí)，容易忘記改變括號(hào)內(nèi)每一項(xiàng)的符號(hào)，才會(huì)有針對(duì)性地提出分步實(shí)施的建議.

三是善于以問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是學(xué)生思維活動(dòng)的過(guò)程，因此，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心是問(wèn)題的設(shè)計(jì)，它要求教師在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)善于選擇一個(gè)好的問(wèn)題情境，善于設(shè)置一個(gè)好的起始問(wèn)題，設(shè)計(jì)一串能夠引導(dǎo)學(xué)生不斷深入思考的問(wèn)題鏈，通過(guò)先“設(shè)疑”后“解惑”，組織起學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，搭建起整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程.如在本課中，理解了知識(shí)路徑與認(rèn)知路徑并非就一定能很好地設(shè)計(jì)出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的路徑，還需要進(jìn)行“學(xué)為中心”的問(wèn)題導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)，如問(wèn)題2、4、5的思考性問(wèn)題，問(wèn)題3的拓展性問(wèn)題，問(wèn)題6的歸納性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)問(wèn)題鏈真正經(jīng)歷這一“理想的”學(xué)習(xí)路徑.

以上三項(xiàng)工作中，教師充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)及發(fā)生發(fā)展過(guò)程是學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)的前提與基礎(chǔ)，深入了解學(xué)生理解知識(shí)的心理過(guò)程是學(xué)習(xí)過(guò)程設(shè)計(jì)的必要條件，以問(wèn)題引領(lǐng)教學(xué)是教學(xué)設(shè)計(jì)的一個(gè)基本策略.

5.2 “雙徑融合，問(wèn)題導(dǎo)學(xué)”促使學(xué)生“有目的地思考”

“重結(jié)果輕過(guò)程”是法則教學(xué)中普遍存在的現(xiàn)象，許多教師會(huì)直接給出法則，然后讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)的訓(xùn)練來(lái)強(qiáng)化記憶法則.通過(guò)“雙徑融合”的方法進(jìn)行設(shè)計(jì)顯然使得教師對(duì)代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)上升了一個(gè)高度——注重知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程以幫助理解算理、感受重要數(shù)學(xué)思想方法、發(fā)展基本數(shù)學(xué)能力.更為重要的是可以更好地促使學(xué)生“有目的地思考”，這顯然是數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)最重要的目標(biāo)之一.如此，法則教學(xué)就不會(huì)被簡(jiǎn)單定位成技能教學(xué)，顯然還可以包括更多、更為高級(jí)的思維層面的目標(biāo).

在本課中，如果沒(méi)有充分理解字母表示數(shù)，學(xué)生就不會(huì)認(rèn)為代數(shù)式的本質(zhì)仍是數(shù)，也就不可能充分體會(huì)“數(shù)式通性”，對(duì)分配律仍適用于式的認(rèn)識(shí)也就可能只停留在直觀(guān)的水平，而不能達(dá)到代數(shù)的本質(zhì).如果沒(méi)有深入分析去括號(hào)法則的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有目的的歸納活動(dòng)，學(xué)生甚至部分教師都會(huì)將其僅僅視為分配律的運(yùn)用，法則就成了“空中樓閣”.