基于Galerkin 法研究應(yīng)力波作用下復(fù)合材料板的動力學(xué)失穩(wěn)

王志鵬，韓志軍，王龍飛

（1. 太原理工大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，山西 太原 030024；2. 太原理工大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院，山西 太原 030024）

復(fù)合材料板具有較高的強度質(zhì)量比、良好的耐腐蝕性和優(yōu)異的可設(shè)計性，被廣泛應(yīng)用于航空航天和工業(yè)制造等領(lǐng)域[1]。在實際使用中復(fù)合材料板經(jīng)常受到不同形式的沖擊荷載，從而產(chǎn)生振動和屈曲問題，因此沖擊載荷作用下復(fù)合材料板的動力穩(wěn)定性問題備受關(guān)注。

近年來關(guān)于復(fù)合材料板的研究越來越多，尤其是沖擊荷載作用下復(fù)合材料板的動力穩(wěn)定性問題研究[2]，對工程部件結(jié)構(gòu)設(shè)計和使用具有重要的意義。Sun 等[3]研究了在加熱環(huán)境中應(yīng)力波對功能梯度圓柱殼軸向沖擊屈曲的影響；毛柳偉等[4]對彈性直桿在應(yīng)力波作用下的動力分叉屈曲進行了分析與探討，提出了求解應(yīng)力波作用下直桿動力屈曲的數(shù)值方法；Lepik[5]討論了在應(yīng)力波影響下軸向壓縮的彈塑性梁的屈曲；Zhang 等[6]分析了不確定初始幾何缺陷對薄板屈曲的影響；Abdelaziz 等[7]利用雙曲線剪切變形理論，分析了在各種邊界條件下復(fù)合材料板的彎曲變形和屈曲；Kouchakzadeh 等[8]采用線性和旋轉(zhuǎn)彈簧的均勻分布來模擬邊界條件，對矩形層壓復(fù)合板的屈曲進行了分析；Czapski 等[9]通過數(shù)值和實驗方法，研究了殘余應(yīng)力對壓縮至破壞期間薄壁層壓板屈曲性能的影響。

在實際工程中，復(fù)合材料板多應(yīng)用于振動環(huán)境，其在動力響應(yīng)下的動態(tài)特性和振動分析是必不可少的，因而對該類材料的振動屈曲研究至關(guān)重要。Kuo[10]研究了兩種非均勻分布纖維復(fù)合材料板的振動屈曲問題，Villarreal 等[11]對典型正交異性板的本征頻率和振動屈曲進行了理論分析，Eftekhari 等[12]提出了通過組合應(yīng)用有限元方法和微分正交方法求解矩形板的振動屈曲問題，Rehman 等[13]探討了殼體結(jié)構(gòu)的缺陷和損壞對結(jié)構(gòu)振動屈曲的影響，Sayyad 等[14]將三角剪切變形理論應(yīng)用于復(fù)合板的變形和振動屈曲研究。

關(guān)于復(fù)合材料板的振動屈曲問題已開展了較多的研究，但大多未考慮應(yīng)力波效應(yīng)對振動屈曲的影響，而動力屈曲一般與應(yīng)力波相聯(lián)系且具有局部發(fā)生的特點，研究含初始缺陷的復(fù)合材料板能更好地揭示實際工程中復(fù)合材料板在不同工況下發(fā)生動力屈曲的機理?；诖?，本研究利用Kirchhoff 薄板理論和Hamilton 原理，考慮應(yīng)力波效應(yīng)，建立含初始幾何缺陷的四邊簡支復(fù)合材料板的振動控制方程，得到板的屈曲臨界荷載表達式，在此基礎(chǔ)上通過數(shù)值計算討論初始幾何缺陷、振型函數(shù)初相位、鋪層角度、屈曲模態(tài)階數(shù)和鋪層層數(shù)對復(fù)合材料板振動屈曲臨界荷載的影響，為工程實際提供理論依據(jù)。

1 復(fù)合材料板的控制方程

復(fù)合材料板在x=La處為固定邊界條件，其余3 邊為簡支邊界條件，在z= 0 的中性面上受x方向的面內(nèi)階躍荷載N作用，如圖1 所示。板在z方向上含初始幾何缺陷w1，且x、y、z方向的位移分別為u、v、w。復(fù)合材料板的長度、寬度和厚度分別為La、Lb、h，由n層單層板組成， θ為單層板的鋪層角度，即纖維材料鋪設(shè)方向與x方向的夾角（見圖1）。

圖1 復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1 Schematic diagram of composite plate structure

根據(jù)Kirchhoff 薄板理論及經(jīng)典彈性理論，復(fù)合材料板的位移與應(yīng)變、彈性曲面的曲率和扭率的表達式為

復(fù)合材料板在左端受面內(nèi)沖擊荷載N作用（見圖1）時，應(yīng)力波沿x方向在板內(nèi)傳播，其應(yīng)力變化如圖2 所示。

圖2 應(yīng)力波傳播示意圖Fig. 2 Schematic diagram of stress wave propagation

當應(yīng)力波傳播至波陣面位置Lcr（臨界長度）時，板發(fā)生振動屈曲，板的內(nèi)力Nt和應(yīng)力波波速c分別表示為

板發(fā)生振動屈曲時的變形能可以表示為

根據(jù) Kirchhoff 薄板理論及經(jīng)典彈性理論，薄板中面在變形過程中沒有伸長變形，將板的本構(gòu)關(guān)系代入式(16)～式(18)中，略去含u0和v0的項，得到復(fù)合材料板在面向階躍荷載激勵下的控制方程

給予對照組的120例孕婦常規(guī)孕期護理,其主要護理內(nèi)容為飲食、行為、常規(guī)檢查、一般治療等。而對照組的120例孕婦,則是以常規(guī)孕期護理為基礎(chǔ),增添孕期健康教育,其主要內(nèi)容如下。

由屈曲模態(tài)確定的缺陷分布形式是板結(jié)構(gòu)最有可能發(fā)生的屈曲形式，能夠很好地確定結(jié)構(gòu)的缺陷敏感性[18]。對于復(fù)合材料板在制造過程中出現(xiàn)的初始幾何缺陷，引入屈曲模態(tài)的 ε倍變形作為初始幾何缺陷[19]，可以表示為

式中：i、j為屈曲模態(tài)階數(shù)，i,j=1,2,3,···；Rij為板的第(i,j)階模態(tài)幅值； ε表示初始幾何缺陷系數(shù)。

根據(jù)式(21)和式(22)，利用棣莫弗公式對控制方程式(20)中的各項進行求導(dǎo)并化簡，得到

2 算例分析

利用MATLAB 數(shù)值分析應(yīng)力波未反射時初始幾何缺陷、初相位、鋪層角度、屈曲模態(tài)階數(shù)、鋪設(shè)厚度以及鋪層層數(shù)對復(fù)合材料板振動屈曲臨界荷載的影響，使用的材料參數(shù)見表1[21]。

表1 復(fù)合材料板參數(shù)[21]Table 1 Material parameters of composite plate[21]

圖3 顯示了復(fù)合材料板的模態(tài)階數(shù)i為1、2、3，j為1 時的屈曲模態(tài)。當板的x方向模態(tài)增大時，x方向的屈曲模態(tài)第一峰值增大且波數(shù)增加，而y方向的屈曲模態(tài)呈正對稱分布。模態(tài)階數(shù)的增加使板振動的屈曲模態(tài)變得更復(fù)雜。

圖3 x 方向模態(tài)取值增大時板的屈曲模態(tài)Fig. 3 Buckling mode of composite plate with increasing mode value in x direction

設(shè)置7 組算例，分別以初始幾何缺陷、初相位、鋪層角度、x和y兩個方向屈曲模態(tài)階數(shù)、鋪層層數(shù)及鋪設(shè)厚度為變量進行算例分析，研究以上因素對板振動屈曲臨界荷載的影響，算例參數(shù)見表2。

表2 算例分析參數(shù)表Table 2 Example analysis parameter table

將A 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，可以得到不同初始缺陷系數(shù)對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖4所示。由Lcr-Ncr曲線可知：在應(yīng)力波傳播過程中，Ncr呈指數(shù)下降，分為敏感區(qū)和非敏感區(qū)。應(yīng)力波在Lcr＜ 0.4 m 區(qū)域傳播時，Ncr的變化較陡峭，該區(qū)域為敏感區(qū)；應(yīng)力波在Lcr＞ 0.4 m 區(qū)域傳播時，Ncr的變化趨于平緩，該區(qū)域為非敏感區(qū)，因此敏感分界點為0.4 m。當選取的初始缺陷系數(shù)增大時，臨界荷載Ncr也隨之增大。在敏感區(qū)，初始缺陷系數(shù)對臨界荷載Ncr的影響較大，且隨應(yīng)力波傳播呈減小趨勢。此外，初始缺陷系數(shù)對非敏感區(qū)的影響較小。圖4 表明，初始幾何缺陷系數(shù)越大，板越容易發(fā)生屈曲。

圖4 不同初始缺陷系數(shù)條件下Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 4 Relationship between Ncr and Lcr under different initial defect coefficients

圖5 x 方向模態(tài)階數(shù)不同時Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 5 Relationship between Ncr and Lcr with different order of modes in x direction

將C 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，可以得到不同的y方向模態(tài)階數(shù)對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖6 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：當選取的y方向模態(tài)階數(shù)增大時，臨界荷載Ncr也隨之變大。在應(yīng)力波傳播過程中，在敏感區(qū)y方向模態(tài)階數(shù)對臨界載荷基本沒有影響，而在非敏感區(qū)有極小的影響。圖6 表明，y方向模態(tài)階數(shù)的變化對板屈曲臨界荷載基本沒有影響。

圖6 y 方向模態(tài)階數(shù)不同時Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 6 Relationship between Ncr and Lcr with different order of modes in y direction

將D 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，得到不同鋪層角度對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖7 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：在敏感區(qū)，不同的鋪設(shè)角度對臨界荷載Ncr的影響較大，且隨應(yīng)力波的傳播不斷減小，到達非敏感區(qū)后趨于穩(wěn)定。圖7 表明，鋪層角度小的單層板的層數(shù)越多，板的臨界屈曲荷載越大，說明復(fù)合材料板的鋪設(shè)角度直接影響板的屈曲臨界荷載。

圖7 不同鋪層角度條件下Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 7 Relationship between Ncr and Lcr under different laying angles

將E 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，得到不同初相位對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖8 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：振型函數(shù)的初相位越大，對應(yīng)的臨界荷載越大。在敏感區(qū)，振型函數(shù)的初相位對臨界荷載Ncr的影響較小，且隨應(yīng)力波的傳播不斷減??；到達非敏感區(qū)之后，影響趨于平緩。圖8 表明，振型函數(shù)的初相位越大，板的屈曲臨界荷載越大。

圖8 不同初相位條件下Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 8 Relationship between Ncr and Lcr under the condition of initial phase of different mode functions

將F 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，得到不同鋪層層數(shù)對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖9 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：當按照不同層數(shù)鋪設(shè)時，敏感區(qū)的臨界荷載Ncr的變化較大，且隨應(yīng)力波的傳播不斷減?。坏竭_非敏感區(qū)之后變化較小并趨于平緩。圖9 表明，對于厚度固定且對稱鋪設(shè)的板，當鋪設(shè)層數(shù)達到7 時，其屈曲荷載隨層數(shù)增加趨于穩(wěn)定。

圖9 不同鋪層層數(shù)下Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 9 Relationship between Ncr and Lcr under different laying modes

將G 組數(shù)據(jù)代入式(25)中，得到不同鋪設(shè)厚度對復(fù)合材料板振動屈曲的影響，如圖10 所示。由Lcr-Ncr曲線可知：板的鋪設(shè)厚度越大，對應(yīng)的臨界荷載越大。在敏感區(qū)，不同的板厚對臨界荷載Ncr的影響很大，且隨應(yīng)力波的傳播不斷減小，到達非敏感區(qū)后趨于穩(wěn)定。圖10 表明，復(fù)合材料板的鋪設(shè)厚度將直接決定板的屈曲臨界荷載。

圖10 不同鋪設(shè)厚度下Ncr 與Lcr 的關(guān)系曲線Fig. 10 Relationship between Ncr and Lcr under different thicknesses

3 結(jié) 論

基于Kirchhoff 薄板理論和Hamilton 變分原理，建立了具有初始幾何缺陷的四邊簡支復(fù)合材料板的振動控制方程。采用伽遼金法，選取符合邊界條件的振型函數(shù)求解控制方程，得到屈曲臨界載荷表達式。數(shù)值計算結(jié)果表明：應(yīng)力波在未發(fā)生反射前的傳播過程中，復(fù)合材料板的振動屈曲臨界載荷隨著臨界長度的增大、鋪設(shè)厚度的減小、初始幾何缺陷系數(shù)的增大、振型函數(shù)初相位的減小而減??；復(fù)合材料板的各層鋪層角度與荷載作用方向的夾角越小，屈曲臨界載荷越大，當對稱鋪設(shè)層數(shù)達7 層時，臨界荷載趨于穩(wěn)定。研究結(jié)果可為工程中復(fù)合材料板的結(jié)構(gòu)設(shè)計與應(yīng)用提供一定的參考。