淺基礎(chǔ)地基承載力若干計算問題探討

劉大海，程國勇

（1、深圳市地質(zhì)局 深圳 518023；2、深圳地質(zhì)建設(shè)工程公司 深圳 518023；3、中國民航大學機場學院 天津 300300）

0 前言

地基承載力是土力學的基礎(chǔ)課題，理論復雜、公式繁多。根據(jù)地基中塑性區(qū)發(fā)展程度的不同，淺基礎(chǔ)地基承載力可分為臨塑荷載、臨界荷載以及極限荷載等不同等級的承載力。

《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范：GBJ 7—89》［1］、《建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范：GB 50007—2011》［2］基于Mohr-Cou?lomb 強度理論（1776，1910），采用了臨界荷載P1/4作為地基承載力（承載力容許值、承載力特征值）。根據(jù)載荷試驗結(jié)果，《工業(yè)與民用建筑地基基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范：TJ 7—74》［3］認為，當內(nèi)摩擦角φ＞20°時，臨界荷載P1/4的體重力承載系數(shù)理論值Nγ偏小，為此在φ＞20°的范圍內(nèi)對其進行了增調(diào)［3-4］；后文獻［1］在文獻［3］的基礎(chǔ)上又對Nγ進行了微調(diào)。

TERZAGHI（1943，1948）在 地 基 極 限 承 載 力PRANDTL模型基礎(chǔ)上，建立了全面考慮基礎(chǔ)埋深（D≠0）、基底粗糙（f≠0）、地基土有體重力（γ≠0）的TERZA?GHI 模型［5-8］，考慮了q、c、γ單獨作用下對承載力的貢獻，并對地基承載力進行簡約化的線性迭加處理。

TERZAGHI 模型極限承載力公式的主要問題是：未給出體重力承載力系數(shù)Nγ的解析解，僅給出了Nγ曲線圖［9］，其數(shù)值解需試算確定。后繼學者給出了Nγ的經(jīng)驗式，有些文獻給出了Nγ數(shù)值表（各異），未注明出處。實際應用時需查圖、查表取值，精度較低。

程國勇等人［10］根據(jù)極限平衡原理，導出了TERZA?GHI模型基底完全粗糙的地基承載力系數(shù)解析解；邱睿等人［11］進一步導出了基底完全粗糙及完全光滑的地基承載力系數(shù)的完整解析解（CQ解析解）。筆者發(fā)現(xiàn)，CQ解析解的Nc、Nγ解析式，計算數(shù)值異常，CQ解析解有錯漏。由此，基于TERZAGHI最初的計算模型重新進行了推演，得到了通用解析解的確切表達式（CL解析解）［12］。

為簡化計算，本文對文獻［1］調(diào)整后的臨界荷載p1/4、承載力系數(shù)Nγ及TERZAGHI 模型極限承載力系數(shù)Nγ進行了高精度的非線性擬合，擬合精度足以滿足工程計算需要。

1 塑性荷載承載力

經(jīng)典的塑性荷載承載力由式⑴～式⑻確定，基底面以上土體旁側(cè)壓力按超載壓力處理。

超載力承載系數(shù)

粘聚力承載系數(shù)

式中：B為條形基礎(chǔ)寬度（m）；D為基礎(chǔ)埋深（m）；γ0為超載土體重度（kN/m3）；γ為土體重度（kN/m3）；c為土體粘聚力（kPa）；φ為土體摩擦角（°）。

p1/4承載力公式［1-8］寫為：

比較式⑸與式⑼，本文Nγ值為p1/4荷載公式Nγ規(guī)范表值的4倍（見表1）。

文獻［3］對體重力承載系數(shù)Nγ在φ＞20°范圍內(nèi)進行了增調(diào)，到φ=40°時，Nγ調(diào)整值為理論公式計算值的近3 倍；后文獻［1］又在文獻［3］的基礎(chǔ)上對Nγ進行了微調(diào)，到φ=40°時，Nγ調(diào)整值為理論公式計算值的近2.5倍。理論值及規(guī)范調(diào)整值如表1、圖1所示。

圖1 Nγ理論值與規(guī)范調(diào)整值比較Fig.1 Nγ Comparison Chart between Theoretical Value and Code Adjustment Value

表1 塑性荷載Nγ系數(shù)理論值與規(guī)范調(diào)整值Tab.1 Theoretical Value and Code Adjustment Value of Nγ Coefficient of Plastic Load

2 TERZAGHI極限承載力（γ≠0，D≠0）

TERZAGHI 模型考慮q、c、γ單獨作用時對承載力的貢獻，其承載力進行簡單線性迭加處理［7-8］：

其中，基底完全光滑時取：ψ=π/4+φ/2；基底完全粗糙時取：ψ=φ。

對于Nγ，TERZAGHI 未給出解析式及數(shù)表，僅給出了曲線圖，數(shù)值解需進行試算求取。

2.1 基底完全光滑解（f=0）

基底完全光滑，Nq、Nc解借用了地基土無體重力的Reissner解（1924）：

2.2 基底完全粗糙解（f≠0）

對Nγ，TERZAGHI 及PECK 建議采用式（18-1）。本文題例計算采用了式（18-1）。

2.3 TERZAGHI模型極限承載力系數(shù)CQ解析解（γ ≠0，D≠0）

TERZAGHI 未 給 出Nγ的 解 析 式。程 國 勇 等人［10-11］研究了TERZAGHI 模型，根據(jù)極限平衡原理，導出了TERZAGHI 模型基底完全光滑及完全粗糙時承載力系數(shù)的完整解析解（CQ解析解）：

2.4 TERZAGHI模型極限承載力系數(shù)對照探析

承載力系數(shù)Nq，解析解式(21)、式(21)a 與T 氏解析解式⒁在數(shù)學上是等價的。

Nc系數(shù)，解析解式(22)a與T氏解析解式⒂一致。

Nγ系數(shù)，《土力學與地基》［14］給出過基底完全粗糙時的數(shù)值表，但引用來源及數(shù)表值正確性不明，其數(shù)值與CL解析解值相差較大，如表2、圖2所示。

表2 TERZAGHI模型完全粗糙基底承載力系數(shù)比較Tab.2 Comparison of Bearing Capacity Coefficient of Complete Rough Foundation of TERZAGHI Model

圖2 TERZAGHI模型完全粗糙基底承載力系數(shù)數(shù)表值與CL解析解對比曲線Fig.2 Comparison Curve of Bearing Capacity Coefficient of TERZAGHI Model with CL Analytical Solution

3 載力系數(shù)的非線性擬合

3.1 塑性荷載地基承載力系數(shù)Nγ 89f（文獻［1］值）的非線性擬合

根據(jù)文獻［1］給出的塑性荷載地基承載力系數(shù)Nγ，采用國產(chǎn)最優(yōu)化軟件1stOpt 對其進行了全局最優(yōu)化非線性擬合，得到擬合式：

其中：a1=0.887 547 191，a2=34.824 336 276，a3=0.834 218 548，a4=-33.516 493 720，a5=1.300 995 565E+25，a6=-1.085 930 108，相關(guān)系數(shù)R=0.999 945 300。

Nγ89與Nγ89f的擬合誤差及曲線分別如表3、圖3所示。

圖3 Nγ89f規(guī)范值擬合曲線Fig.3 Fitting Curve of Code Value Nγ89f

由表3 可知，擬合誤差φ≤6°時，絕對誤差<0.04；φ＞6°時，相對誤差<5%。誤差精度足以滿足工程的計算需求。

表3 塑性荷載地基規(guī)范值Nγ及其擬合誤差Tab.3 Foundation Standard Value Nγ of Plastic Load and Its Fitting Error

為確保計算精度，在φ≤20°時，可采用理論公式⑶計算；在φ＞20°時，可采用擬合公式(24)計算。

3.2 TERZAGHI模型承載力系數(shù)Nr的非線性擬合

3.2.1 雙參量擬合

前人以雙參量（Nq，φ）提出了一些Nγ的經(jīng)驗公式，其主要形式為：

現(xiàn)用雙參量（Nq，φ）對Nγ進行全局最優(yōu)化非線性擬合，得到高精度擬合式：

其擬合參數(shù)及擬合誤差分別如表4、表5所示。

由表5 可知，當φ≤8°，光滑基底：絕對誤差△Nγ<0.04，粗糙基底：△Nγ<0.06；當φ＞8°，光滑基底：△Nγ<2%，粗糙基底：△Nγ<5%。Nγ的擬合誤差ε Nγ足以滿足工程計算需要。

表5 TERZAGHI模型Nγ雙參量擬合結(jié)果匯總Tab.5 Nγ Summary of Fitting Results of Two Parameters of TERZAGHI Model

3.2.2 單參量擬合

由于Nq是φ的函數(shù)，本次也用單參量φ對Nγ進行了高精度的非線性擬合式：

其擬合誤差及參數(shù)分別如表6、表7所示。

表6 TERZAGHI模型Nγ單參量擬合結(jié)果匯總Tab.6 Nγ Summary of Fitting Results of Single Parameter of TERZAGHI Model

表7 TERZAGHI模型Nγ單參量擬合系數(shù)Tab.7 Nγ Fitting Coefficient of Single Parameter of TERZAGHI Model

由表6 可見，當φ≤5°，光滑基底△Nγ<0.05，粗糙基底△Nγ<0.01；當φ＞5°，光滑基底△Nγ<3%，粗糙基底△Nγ<2%。ε Nγ同樣足以滿足工程計算需要。

為保證Nγ的計算精度，本文題例采用CL解析解計算。

4 計算題例

4.1 例1（選自文獻［5］，P357例題8-1）

地基土的粘聚力c=20 kPa，內(nèi)摩擦角φ=22°，重度γ=19.5 kN/m3，條形基礎(chǔ)寬B=4.0 m，埋置深度D=3.0 m。計算基礎(chǔ)底面光滑及粗糙的TERZAGHI地基極限承載力。

4.2 例2（選自文獻［15］，P81題4）

地基土的粘聚力c=15.0 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，重度γ=19.5 kN/m3，條形基礎(chǔ)寬B=2.4 m，埋置深度D=1.6 m。計算該地基的臨塑荷載pcr及臨界荷載p1/4。

4.3 例3（選自文獻［15］，P81題5）

地基土的粘聚力c=15.0 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，重度γ=19.5 kN/m3，條形基礎(chǔ)寬B=4.0 m，埋置深度D=2.0 m。計算該地基的Terzaghi地基極限承載力。

4.4 例4（選自文獻［16］，P296例題8-1）

地基土的粘聚力c=10.0 kPa，內(nèi)摩擦角φ=20°，重度γ=17.6 kN/m3，條形基礎(chǔ)寬B=2.0 m，埋置深度D=1.5 m。計算該地基的Prandtl—Reissner的地基極限承載力。

題例及計算結(jié)果如表8所示。

表8 淺基礎(chǔ)地基承載力計算Tab.8 Calculation of Bearing Capacity of Shallow Foundation

5 結(jié)語

地基承載力是土力學的基礎(chǔ)課題。淺基礎(chǔ)塑性荷載地基承載力及極限荷載地基承載力的計算也是巖土工程師首先要面對的課題。本文對文獻［1］臨界荷載承載力p1/4及TERZAGHI 模型極限承載力pu的計算問題進行了研究探討。

⑴基于TERZAGHI 最初的計算模型及假定，重新推演得到了TERZAGHI 模型極限承載力系數(shù)的確切解析解（CL 解析解），修正了文獻［11］給出的承載力系數(shù)CQ解析解中Nc、Nγ系數(shù)的解析式的錯誤。

⑵為簡化計算，對文獻［1］調(diào)整后的承載力系數(shù)Nγ以及TERZAGHI 模型CL 解析解的極限承載力系數(shù)Nγ，進行了高精度的單參量及雙參量非線性擬合，其擬合精度均滿足工程計算要求。

⑶對臨界荷載承載力p1/4及TERZAGHI 模型極限承載力pu，用題例方式進行了計算及對比驗證。

在TERZAGHI 模型承載力系數(shù)數(shù)值驗證過程中，得到了中國建筑科學院邱明兵高級工程師的熱情指導與幫助；在承載力系數(shù)的非線性擬合中，得到了1stOpt開發(fā)者7D高科有限公司張偉先生的大力幫助；在創(chuàng)建淺基礎(chǔ)地基承載力安卓系統(tǒng)APP 應用中，得到了MFP 語言開發(fā)者崔友昕先生的幫助與指導。對各位學者的支持與幫助，在此一并致謝！