利用換元法解決高中數(shù)學問題的形式探究

胡志軍

(江蘇省南通市如皋中學 226500)

應(yīng)用換元法解決問題是在高中數(shù)學解題過程中非常常見的一種方法，對同學們個人能力的發(fā)展有非常重要的幫助.換元法又可以稱之為是輔助元素法、變量代換法.同學們從高一開始就會使用到這種方法，能夠貫穿到整個學習過程中.教師在日常的教學中更是應(yīng)該有針對性地幫助同學們了解這些方法的具體使用，也要明確有哪些題目能夠運用換元法解決.具體解決一定要以有利于計算、有利于標準化為基本的原則，也要對變量的范圍進行重新的選取，盡可能的避免因為馬虎而導致的不必要的失誤.本文以三角函數(shù)問題運用不同的換元法等基本方法進行了探究，包括局部換元法、三角換元法、均值換元法.

一、應(yīng)用局部換元法解決三角函數(shù)問題

應(yīng)用局部換元法解決三角函數(shù)問題需要同學們結(jié)合自己學過的相關(guān)內(nèi)容對題目中已知條件進行換元處理.

例1設(shè)存在a>0，求解f(x)=2a(sinx+cosx)-sinx·cosx-2a2的最大值和最小值.

分情況討論：

通過這種換元的方法對原來的題目進行處理，問題得到了有效的簡化，但是在解決問題時對應(yīng)到新的未知數(shù)存在區(qū)間的問題，需要同學們加以注意，并保證原有未知量和新的未知量的定義域是一一對應(yīng)的，并且要對定義域內(nèi)的不同情況進行分類討論.

二、應(yīng)用三角換元解決三角函數(shù)問題

一般遇到圓、橢圓、雙曲線等問題時，需要應(yīng)用三角換元法解決三角函數(shù)問題，同學們先將代數(shù)問題或是解析幾何問題轉(zhuǎn)化為含參三角不等式的恒成立問題，然后結(jié)合“參數(shù)分離法”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問題，從而求出參數(shù)范圍.

三、應(yīng)用均值換元法解決三角函數(shù)問題

應(yīng)用均值換元法解決三角函數(shù)問題需要同學們結(jié)合自己學過的相關(guān)內(nèi)容對題目中已知條件進行換元處理.

高中數(shù)學的教學主要是為了讓同學們的思想能夠有所發(fā)展，讓同學們可以更加靈活的使用抽象思維的能力去探索數(shù)學問題的奧秘.三角函數(shù)是高中數(shù)學教學中非常重要的一部分內(nèi)容，幾乎會和所有重要的模塊建立起密切的聯(lián)系，所以需要教師和同學們在日常的學習和練習當中加以注意.而以上的介紹提到的只是在解決三角函數(shù)的相關(guān)問題時常見的一些換元的方法，具體的解題方法還需要結(jié)合不同的問題進行更加多樣化的探索和總結(jié)，數(shù)學的學習是永無止境的，同學們需要在學習中保持一種探索和創(chuàng)新的意識.換元不僅僅是一種方法，更是同學們在日常數(shù)學學習當中日積月累所得到的一種思想，能夠幫助同學們在日常應(yīng)對數(shù)學問題時更加得心應(yīng)手，同學們也可以通過學習更多的知識進行方法的轉(zhuǎn)變，從而實現(xiàn)知識的靈活運用，讓同學們能夠在解決數(shù)學問題的過程中更加順利，有更多的收獲.所以，教師應(yīng)該在日常的教學中幫助同學們進行方法的總結(jié)和歸納，讓同學們在學過了一些知識之后能夠建立起更加清晰的體系，把相關(guān)的知識總結(jié)在一起進行復(fù)習鞏固，為未來的學習和復(fù)習奠定更加扎實的基礎(chǔ).