周濤，陳謹(jǐn)林，牛華偉，孟杰

(1. 中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長沙 410075；2. 林同棪國際工程咨詢(中國)有限公司，重慶 401121；3. 湖南大學(xué) 振動與沖擊技術(shù)研究中心，湖南 長沙 410082)

統(tǒng)計分析表明，人正常步行的頻率約為2 Hz，在1.7～2.3 Hz之間并呈正態(tài)分布[1]。隨著材料科學(xué)的發(fā)展和人們對橋梁景觀要求的提高，鋼結(jié)構(gòu)廣泛用作人行橋的主梁或墩柱，人行橋跨度越來越大、結(jié)構(gòu)造型也愈加個性、美觀。其結(jié)果便是人行橋的剛度小、頻率低，如果橋梁的頻率低至行人步頻范圍內(nèi)，將會導(dǎo)致人、橋共振，影響行人舒適性，而采用鋼結(jié)構(gòu)的人行橋由于阻尼比小，共振現(xiàn)象愈發(fā)嚴(yán)峻。因此，在大跨度人行橋的設(shè)計階段需要特別關(guān)注人致振動問題。實際上，自從2000 年倫敦千禧橋因發(fā)生大幅人致振動而被迫關(guān)閉的事件發(fā)生之后[2]，各國學(xué)者對人致振動問題開展了深入而廣泛的研究，對新建人行橋梁進(jìn)行人致振動響應(yīng)計算。ELSA等[3]以位于葡萄牙Coim‐bra 市Mondego Green 公園的一座主跨110 m,寬度4 m的雙飛燕扁拱橋為工程背景，用模態(tài)法計算了該橋的人致振動響應(yīng)，結(jié)果表明最大加速度響應(yīng)超過了英國規(guī)范BS5400[4的要求。羅曉群等[5]以單斜面索拱支承曲梁人行橋為研究對象，模擬計算了隨機(jī)人群荷載對結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)橋梁跨中豎向加速度峰值的0.95 分位數(shù)為 1.506 0 m/s2，大于中國規(guī)范CJJ/69[6]規(guī)定的豎向加速度限值。當(dāng)行人引起的橋梁加速度響應(yīng)超過允許值時，可以通過提高結(jié)構(gòu)自振頻率和增加結(jié)構(gòu)阻尼2個方法來解決問題。提高結(jié)構(gòu)自振頻率意味著要增加結(jié)構(gòu)剛度和減小質(zhì)量，工程實際表明，這兩者往往是相悖的，因此，這個方法不太可行。目前，國內(nèi)外常用增加結(jié)構(gòu)阻尼的方法來降低人行橋的人致振動響應(yīng)，而設(shè)置調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)是普遍用于增加人行橋阻尼的措施。英國倫敦千禧橋上安裝了38 個黏滯阻尼器和60 個TMD 之后，水平模態(tài)阻尼比提高到15%～20%，豎向模態(tài)阻尼比提高到5%～10%[2]。葡萄牙Combia 橋安裝了1 個水平TMD 和6個豎向TMD，水平模態(tài)阻尼比從0.5%增加至4.0%；豎向阻尼比從0.3%～2.2%增加至3%～6.0%。我國的綿陽市1 號橋安裝了質(zhì)量共計14 t 的水平TMD 和46.1 t 的豎向TMD，在400 人同時在橋的情況下，橋梁水平加速度峰值由0.1 m/s2降低到0.08 m/s2，豎向阻尼比提高到5.5%[7]。由此可見，TMD可以有效控制人致振動響應(yīng)。

1 工程概況

本文研究對象為斜腿剛構(gòu)曲線連續(xù)梁人行橋，跨徑布置為35+75+20=130 (m)。主梁主體結(jié)構(gòu)為單箱單室鋼箱梁結(jié)構(gòu)，梁端靠近承臺處設(shè)置混凝土梁段并設(shè)置鋼?砼結(jié)合段形成主梁與橋臺固結(jié)的整體式橋臺，梁高1 m，寬5 m。樁基、承臺、地系梁、橋臺及斜腿橋墩下部為混凝土結(jié)構(gòu)，主墩靠近承臺處為鋼筋混凝土墩，墩梁結(jié)合段為鋼結(jié)構(gòu)，鋼結(jié)構(gòu)橋墩與混凝土橋墩連接處設(shè)置鋼?砼結(jié)合段。主梁平面位于曲線半徑R=22.5 m 的右偏圓曲線、直線上。橋面設(shè)1%單向橫坡，橫坡均朝曲線外側(cè)設(shè)置。橋梁中跨設(shè)置豎條廊架和休息座椅。大橋效果圖、立面圖、平面圖及斷面圖見圖1～圖4，立面圖中填充部位是混凝土結(jié)構(gòu)，未填充部位為鋼結(jié)構(gòu)。

圖2 橋梁立面圖Fig.2 Elevation of the bridge

圖3 橋梁平面圖Fig.3 Plan of the bridge

圖4 橋梁橫斷面布置圖Fig.4 Cross-section of the bridge deck

作為跨度大、主梁高度小的鋼結(jié)構(gòu)人行橋，本橋具有剛度小且結(jié)構(gòu)阻尼比低的特點，行人荷載引發(fā)大幅振動的風(fēng)險較大，有必要開展人致振動響應(yīng)分析及振動風(fēng)險控制研究。

2 行人荷載模型及舒適度評價

2.1 單人荷載模型

人在行走的過程中，雙腳交替運(yùn)動，一般情況下腳跟先著地，然后腳尖離地邁步，每邁一步，行人的重心會上下起伏一次，從而產(chǎn)生豎向的動荷載。與此同時，人在往前走時，左右腳總是呈“Z”字形交替運(yùn)動，引起人的重心左右擺動，從而產(chǎn)生橫向動荷載。另外，行人前進(jìn)的過程中需要克服地面摩擦力，因此，行人荷載也會產(chǎn)生縱向力。典型的步行力時程曲線如圖5所示[8]。

圖5 單步力豎向、橫向和縱向分量Fig.5 Single step walking time histories in vertical,lateral and longitudinal directions

雖然人與人之間的體重、身高等特征都不盡相同，行人對橋梁等結(jié)構(gòu)的荷載卻具有明顯的周期性和窄帶隨機(jī)的特點，單個人的腳步力時程可以用傅立葉級數(shù)來表示[9]。

式中：P為單人體重；f為行人步頻；αn為第n階簡諧動載系數(shù)；φn為第n階動載初相位。

2.2 人群荷載模型

由于人對橋梁結(jié)構(gòu)作用的隨機(jī)性以及人橋相互影響，相比于單人荷載模型，人群荷載更難用數(shù)學(xué)模型表述。目前，關(guān)于人群荷載的模擬，通?；诮y(tǒng)計分析，并在單人荷載疊加作用的基礎(chǔ)上考慮折減?；诟鲊鴮W(xué)者所取得的研究成果，多個國家頒布了人行橋人致振動的計算法則。對于人群荷載模型，本文參考德國人行橋設(shè)計指南EN03 規(guī)范[10]，該規(guī)范考慮行人腳步力的前2 階諧波荷載，其荷載模型如下：

p(t) =p× cos(2πfst)×n′ ×ψ(2)

其中：P是步頻為fs時單個行人產(chǎn)生的荷載幅值，豎向取280 N，橫向取35 N，縱向取140 N；fs為步頻，假設(shè)它等于所考慮的人行橋基頻；S為加載面積；n'為等效行人密度；ψ為考慮到步頻接近基頻變化范圍臨界值的概率而引入的折減系數(shù)，其取值方法見圖6。

圖6 折減系數(shù)Fig.6 Reduction factor

當(dāng)人群密度d＜1.0 P/m2時：

當(dāng)人群密度d≥1.0 P/m2時：

式(3)中ξ為結(jié)構(gòu)的阻尼比，n是加載面積為S時的行人數(shù)(n=S×d)。

諧波荷載p(t)被施加到結(jié)構(gòu)的某一特定振型上，如圖7所示。

圖7 加載模式Fig.7 Loading mode

表1 德國EN03規(guī)范定義的行人舒適度評價標(biāo)準(zhǔn)Table 1 Pedestrian comfort evaluation standard defined by German EN03 standard

2.3 舒適度評價

當(dāng)人行橋發(fā)生過大的振動時，會導(dǎo)致行人不舒適。由于人體對加速度比較敏感，目前，人行橋的舒適度常用加速度值來衡量。在舒適度限值的取值方面，德國EN03 規(guī)范[10]采用分級定值法，根據(jù)加速度的大小分為4個等級。

3 有限元計算分析

3.1 有限元模型說明

采用有限元分析軟件Midas Civil 2020 建立了有限元模型，所有構(gòu)件均采用梁單元模擬，其中，主梁材質(zhì)為Q420 鋼材，樁基采用C35 水下海工混凝土，承臺和地系梁材質(zhì)為C45海工混凝土，鋼混結(jié)合部及橋臺材質(zhì)為C50混凝土。該橋址處于入?？?，場地內(nèi)地層自上而下依次為：人工填土層、沉積層、洪積層、殘積層，下伏基巖為花崗巖，采用樁端入巖的灌注樁，且最長的樁長達(dá)33.5 m，樁基的邊界條件對動力特性有很大的影響，依據(jù)地址資料和樁土相互作用分析，樁基、地系梁與周邊土之間設(shè)置為彈性支承，樁基底部設(shè)置為固結(jié)。有限元模型如圖8所示。

圖8 橋梁有限元模型Fig.8 Finite element model of the footbridge

3.2 模態(tài)特征

基于多重Ritz向量法進(jìn)行特征值分析，得到結(jié)構(gòu)前10階的模態(tài)頻率及振型特征見表2。

表2 模態(tài)頻率及振型特征Table 2 Modal frequency and modal characteristics

從表2可知，本橋模態(tài)1，7和9以主梁豎彎振動為主，且模態(tài)頻率在1.25～4.6 Hz 范圍內(nèi)，需要對這3 階模態(tài)進(jìn)行人致振動響應(yīng)驗算，3 階模態(tài)的振型如圖9 所示。本橋主梁側(cè)彎模態(tài)的頻率不在0.5～1.2 Hz 的范圍內(nèi)，故不需要驗算側(cè)彎模態(tài)的人致振動響應(yīng)。

圖9 主梁模態(tài)振型圖Fig.9 Mode shapes of footbridge deck

3.3 人致振動響應(yīng)

本橋橋面寬為5.0 m，橋長130 m，人群密度取1.0 P/m2，橋上行人總數(shù)為650 人，根據(jù)式(4)計算得到用于人致振動響應(yīng)分析的每平方米等效行人數(shù)為0.072 6人?；诘聡鳨N03規(guī)范，將人群荷載依據(jù)模態(tài)階次分別加載到有限元模型進(jìn)行動力時程分析，鋼結(jié)構(gòu)部分的材料阻尼比設(shè)置為0.004，混凝土部分的材料阻尼比設(shè)置為0.013[1]。計算時長為60 s，此時橋梁加速度響應(yīng)已進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)。計算得到橋梁相應(yīng)于各階模態(tài)的的模態(tài)位移最大點加速度響應(yīng)時程如圖10～12所示。

圖10 人群豎向荷載頻率為1.64 Hz時的51號節(jié)點加速度響應(yīng)時程Fig.10 Acceleration response time history of node 51 while vertical load frequency of crowd is 1.64 Hz

圖11 人群豎向荷載頻率為3.31/2 Hz時的14號節(jié)點加速度響應(yīng)時程Fig.11 Acceleration response time history of node14 while vertical load frequency of crowd is 3.31/2 Hz

從圖10～圖12可以看出，當(dāng)加載到橋梁的人群豎向荷載頻率分別為1.64，3.31/2 和4.10/2 Hz 時，橋梁進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)后的最大加速度響應(yīng)分別為4.349，0.031 和0.013 m/s2，模態(tài)7及模態(tài)9對應(yīng)的人致振動舒適度等級達(dá)到CL1 級的要求，而模態(tài)1對應(yīng)的人致振動舒適度等級不滿足CL1～CL4的要求，此時橋梁發(fā)生大幅人致振動的風(fēng)險比較大，需要采取減振措施以控制模態(tài)1對應(yīng)的人致振動加速度響應(yīng)。

圖12 人群豎向荷載頻率為4.10/2 Hz時的14號節(jié)點加速度響應(yīng)時程Fig.12 Acceleration response time history of node 38 while vertical load frequency of crowd is 4.10/2 Hz

4 減振設(shè)計

4.1 調(diào)諧質(zhì)量阻尼器參數(shù)設(shè)計

對于如圖13 所示的單自由度結(jié)構(gòu)，在外荷載f(t)作用下。結(jié)構(gòu)-TMD系統(tǒng)的運(yùn)動方程為

圖13 主結(jié)構(gòu)-TMD 系統(tǒng)簡化力學(xué)模型Fig.13 Structure-TMD system simplified mechanical model

式中：m，c和k是主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；md，cd，kd為附加結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度。x?,x?,x分別為主結(jié)構(gòu)加速度、速度和位移；x?d,x?d,xd分別為附加結(jié)構(gòu)(即TMD系統(tǒng))的加速度、速度和位移。

人致振動控制是以最小化加速度為控制目標(biāo)，且行人對橋梁結(jié)構(gòu)的荷載可近似為簡諧荷載，基于此假設(shè)，對式(5)進(jìn)行最優(yōu)值計算，得到調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的最優(yōu)頻率和最優(yōu)阻尼比為[11]：

αopt為TMD 的頻率與主結(jié)構(gòu)頻率之比的最優(yōu)值；ξopt為TMD 的最優(yōu)阻尼比；μ為TMD 的質(zhì)量與主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量比值。

從式(6)～(7)可知，TMD 的最優(yōu)頻率和最優(yōu)阻尼比均與質(zhì)量比直接相關(guān)，調(diào)諧質(zhì)量減振系統(tǒng)設(shè)計的第一步便是通過試算確定擬用的質(zhì)量比。工程中常用的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器質(zhì)量比范圍一般取1%～5%。本文計算了不同質(zhì)量比情況下橋梁的豎向最大加速度響應(yīng)，其中人群動力荷載的加載時間為60 s，確保橋梁加速度響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，統(tǒng)計匯總的橋梁穩(wěn)定后的豎向最大加速度響應(yīng)如圖14所示。

從圖14 可知，當(dāng)質(zhì)量比達(dá)到0.5%以上時，本橋在人群荷載作用下的最大加速度響應(yīng)小于0.5 m/s2，滿足EN03 規(guī)范中的CL1 等級要求?？紤]到本橋位于人流密度大的市內(nèi)休閑公園，對舒適度的要求高，本橋最終選用質(zhì)量比為2%。

圖14 質(zhì)量比與橋梁最大加速度的關(guān)系Fig.14 Relationship between mass ratio and maximum acceleration of bridge

本橋模態(tài)1的模態(tài)質(zhì)量為78 373 kg，在質(zhì)量比為2% 的條件下，TMD 的質(zhì)量為78 373×2%=1 567.46 (kg)；依據(jù)式(6)同時考慮到本橋模態(tài)1 頻率為1.64 Hz，計算得到TMD 的頻率比為1.624 Hz；依據(jù)式(7)計算得到TMD的阻尼比為0.086。

基于上述TMD 參數(shù)，重新驗算橋梁在1.64 Hz人群荷載頻率下的加速度響應(yīng)，計算表明，安裝了TMD 之后，大橋模態(tài)1 對應(yīng)的最大人致振動加速度響應(yīng)降為0.161 m/s2。圖15 給出了本橋有、無TMD2個工況下的人群荷載加速度響應(yīng)時程曲線。

圖15 人群豎向荷載頻率為1.64 Hz時的51號節(jié)點在有、無TMD條件下的加速度響應(yīng)時程Fig.15 Acceleration response time history of node 51 with and without TMD while vertical load frequency of crowd is 1.64 Hz

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器也叫動力吸振器，其減振效果對TMD 的頻率非常敏感。實際生產(chǎn)制造過程中TMD 的頻率與最優(yōu)頻率難免存在偏差，為了評估頻率偏差對TMD 減振效果的影響，本文計算了質(zhì)量比為2%且阻尼比為固定最優(yōu)值的情況下，橋梁的最大加速度響應(yīng)隨TMD 頻率偏差的變化情況，結(jié)果如圖16所示。

其中：

從圖16 可知，當(dāng)TMD 的實際頻率相對于最優(yōu)頻率有偏差時，調(diào)諧質(zhì)量減振系統(tǒng)的減振效果將急劇降低。因此，減振系統(tǒng)實際實施時，考慮到橋梁實際頻率與理論計算頻率之間不可避免地存在偏差，應(yīng)當(dāng)以實際測試得到的橋梁模態(tài)頻率作為確定TMD 頻率的最終依據(jù)，從而確保減振系統(tǒng)對人致振動風(fēng)險控制的有效性。

圖16 橋梁的最大加速度響應(yīng)隨TMD頻率偏差的變化情況Fig.16 Variation of maximum acceleration response of bridge with TMD frequency deviation

5 結(jié)論

1) 在人群荷載作用下，跨徑布置為35+75+20 m 的斜腿剛構(gòu)曲線連續(xù)梁人行橋有3 階豎彎模態(tài)的頻率在豎向人致振動驗算范圍內(nèi)；而側(cè)彎模態(tài)的頻率超出橫向人致振動驗算范圍，不需要驗算。

2) 在人群荷載作用下，橋梁振動的最大加速度響應(yīng)達(dá)到4.349 m/s2，橋梁發(fā)生大幅人致振動的風(fēng)險較大。

3)基于加速度響應(yīng)最小化原則設(shè)計了TMD 減振系統(tǒng)，TMD 對大橋人致振動加速度響應(yīng)的控制效果顯著，在安裝了TMD 之后，大橋模態(tài)1 對應(yīng)的最大人致振動加速度響應(yīng)由4.349 m/s2，降為0.161 m/s2，滿足EN03規(guī)范的CL1舒適度要求。

4)當(dāng)TMD 的實際頻率相對于最優(yōu)頻率有偏差時，調(diào)諧質(zhì)量減振系統(tǒng)的減振效果將急劇降低。減振系統(tǒng)實際實施時，考慮到橋梁實際頻率與理論計算頻率之間不可避免地存在偏差，應(yīng)當(dāng)以實測橋梁模態(tài)頻率作為確定TMD 頻率的最終依據(jù)，以提高減振系統(tǒng)對人致振動風(fēng)險控制的有效性。