“學(xué)科育人”視角下的《函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

孫書剛

[摘 要]函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的概念之一，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)有著極其廣泛的應(yīng)用.“學(xué)科育人”視角下的《函數(shù)的概念》的教學(xué)設(shè)計(jì)，以“問題導(dǎo)學(xué)”新授課教學(xué)模式為基礎(chǔ)，踐行思維育人、史料育人、審美育人和活動(dòng)育人，以問題串的形式開展教師主導(dǎo)下的學(xué)生自主合作探究學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞]學(xué)科育人;問題導(dǎo)學(xué);函數(shù)的概念

[中圖分類號(hào)]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ? A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ? 1674-6058（2021）29-0001-05

為了更好地落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科育人目標(biāo)，我們嘗試以思維育人、史料育人、審美育人和活動(dòng)育人四個(gè)維度為抓手，在數(shù)學(xué)教學(xué)各個(gè)環(huán)節(jié)努力挖掘?qū)W科育人的內(nèi)涵，努力使數(shù)學(xué)教學(xué)從形式到內(nèi)容都有“立德樹人”目標(biāo)的引領(lǐng).下面以《函數(shù)的概念》這一節(jié)課為例，談?wù)劰P者的思考與實(shí)踐.

一、新課引入

“新課引入”是一節(jié)新授課的開始，它的內(nèi)容與形式對調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性具有很重要的作用.新課引入效果的好壞影響整節(jié)課學(xué)生的關(guān)注度和參與度.本課以數(shù)學(xué)史為切入點(diǎn)，融入中外數(shù)學(xué)家關(guān)于函數(shù)的經(jīng)典數(shù)學(xué)故事，讓學(xué)生深入了解函數(shù)的發(fā)展史，以史料育人.

“函數(shù)”有著漫長的發(fā)展史，函數(shù)的概念是在幾代數(shù)學(xué)家不懈的研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.最早提出函數(shù)（function）概念的是17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨，最初萊布尼茨用“函數(shù)”一詞表示冪.以后，他又用函數(shù)表示在直角坐標(biāo)系中曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo).1718年，萊布尼茨的學(xué)生約翰·貝努利（BernoulliJohann，瑞士，1667-1748） 在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進(jìn)行了明確定義：“由某個(gè)變量及任意的一個(gè)常數(shù)結(jié)合而成的數(shù)量.”意思是凡變量x和常量構(gòu)成的式子都叫作x的函數(shù)，他強(qiáng)調(diào)函數(shù)要用公式來表示.1755年，歐拉（L.Euler，瑞士，1707-1783） 把函數(shù)定義為：“如果某些變量，以某一種方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時(shí)，前面這些變量也隨著變化，我們把前面的變量稱為后面變量的函數(shù).”并給出了沿用至今的函數(shù)符號(hào).1821年，柯西（Cauchy，法國，1789-1857） 給出了類似現(xiàn)在中學(xué)課本的函數(shù)定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時(shí)，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫作函數(shù).” 在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞.1822年，傅里葉（Fourier，法國，1768-1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個(gè)式子表示，或用多個(gè)式子表示，從而結(jié)束了函數(shù)概念是否以唯一一個(gè)式子表示的爭論，把人們對函數(shù)的認(rèn)識(shí)又推進(jìn)了一個(gè)新的層次.1837年，狄利克雷（Dirichlet，德國，1805-1859） 認(rèn)為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，他拓展了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個(gè)確定的x值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y叫作x的函數(shù).”狄利克雷的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受.至此，函數(shù)概念和函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義.等到康托爾（Cantor，德國，1845-1918）創(chuàng)立的集合論被大家接受后，用集合對應(yīng)關(guān)系來定義函數(shù)概念就是現(xiàn)在高中教材里用的了.

中文數(shù)學(xué)書上使用的“函數(shù)”一詞是一個(gè)翻譯詞，它是我國清代數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯《代數(shù)學(xué)》（1895年）一書時(shí)，把“function”譯成“函數(shù)”的.中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思，因此李善蘭給出的函數(shù)定義是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”，也即函數(shù)指一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，或者說一個(gè)量中包含另一個(gè)量，“變化”之意偏重初中數(shù)學(xué)描述性定義，而“包含”則更多蘊(yùn)含高中數(shù)學(xué)對應(yīng)思想.

設(shè)計(jì)意圖：函數(shù)是高一學(xué)生在學(xué)完集合后的第一個(gè)也是高中數(shù)學(xué)最抽象、最重要的概念.函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位很重要，高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)、不等式、方程、數(shù)列、取值范圍等很多模塊都可以用函數(shù)思想來解決.從函數(shù)概念的起源開始，用大量的史料引入，讓學(xué)生了解函數(shù)的發(fā)展史，使數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不枯燥、不乏味，既開闊了學(xué)生的視野，又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，同時(shí)增強(qiáng)了數(shù)學(xué)課堂的文化體驗(yàn).加入史料教學(xué)可以使學(xué)生不走前人走過的彎路，可以讓學(xué)生更深刻地理解教材中的知識(shí)點(diǎn)以及文化內(nèi)涵，了解自己解決不了的問題跟前人不解的問題的一致性，從而不懼怕數(shù)學(xué)，進(jìn)而以史怡情、以史料育人.

二、概念形成

“概念形成”是一節(jié)新授課的重點(diǎn)，它對學(xué)生構(gòu)建自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)起關(guān)鍵作用.這一環(huán)節(jié)的重要任務(wù)就是讓學(xué)生理解概念形成的合理性.本環(huán)節(jié)通過六個(gè)問題的層層推進(jìn)，讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題的過程，逐步加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解和感悟.

學(xué)生在初三時(shí)已學(xué)過函數(shù)，從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)入手，可以讓學(xué)生自然而然地由已知得到新知，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力和用已知解決未知的思維習(xí)慣，這對于高中生解決傳統(tǒng)文化題和數(shù)學(xué)創(chuàng)新題很有幫助.

問題1：同學(xué)們在初中已學(xué)過函數(shù)，初中函數(shù)是怎么定義的？初中都學(xué)過哪些函數(shù)呢？

生： 在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y，如果對于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就稱y是x的函數(shù)，其中把x稱為自變量，把y稱為因變量.

生：初中學(xué)過常值函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過復(fù)習(xí)初中函數(shù)的定義，重溫學(xué)生對于函數(shù)的記憶，從學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)入手，便于本節(jié)課基于集合與對應(yīng)思想的高中函數(shù)的概念及其思想方法的學(xué)習(xí).最近發(fā)展區(qū)有利于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，引導(dǎo)學(xué)生從新的角度看問題，培養(yǎng)創(chuàng)造性思維.

問題2：初中的這四類函數(shù)的自變量和因變量的取值范圍是確定的嗎？可以用我們剛剛學(xué)過的集合來表示嗎？這些集合的公共特征是什么？它們可以是空集嗎？從集合與對應(yīng)關(guān)系的角度怎么描述函數(shù)的概念呢？

生：四類函數(shù)的自變量和因變量的取值范圍都是確定的，都可以用集合來表示，而且這些集合都是實(shí)數(shù)集或者其真子集，而且都不是空集.

生：函數(shù)可以視為非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的一種對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系需要滿足集合A中的任何一個(gè)元素在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖：把初中函數(shù)的概念和四類重要函數(shù)基于集合與對應(yīng)關(guān)系的視角加以二次理解，提升學(xué)生用新知深入研究和理解舊知的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和批判性思維的能力.

問題3：請同學(xué)們認(rèn)真閱讀教材17頁的三個(gè)實(shí)例，它們之間的共同點(diǎn)和不同點(diǎn)是什么？

師：對實(shí)例1，你能得出炮彈飛行1 s、5 s、10 s、20 s 時(shí)距地面多高嗎？其中t的變化范圍是多少？

生：能.t的范圍在0到26之間.

師：對實(shí)例2，你從圖中可以看出哪一年的臭氧空洞面積最大？其中t的取值范圍是什么？

生：由圖可以直觀看出1993年、1998年、2000年和2001年的臭氧空洞面積最大. t的取值范圍在1979到2001之間.

師：對實(shí)例3，恩格爾系數(shù)與時(shí)間的關(guān)系是否和前兩個(gè)實(shí)例中的兩變量之間的關(guān)系相似？它們的共同點(diǎn)是什么？如何用集合與對應(yīng)關(guān)系的語言描述這一對關(guān)系？

生：三個(gè)實(shí)例十分相似，都是在一定范圍內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)值，都對應(yīng)另外一個(gè)唯一確定的數(shù)值，也就是說對于數(shù)集A中的每一個(gè)元素，在數(shù)集B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng).

師：三個(gè)實(shí)例的不同點(diǎn)呢？

生：實(shí)例1的對應(yīng)關(guān)系是以函數(shù)解析式的形式表達(dá)的，實(shí)例2的對應(yīng)關(guān)系是以圖像的形式表達(dá)的，實(shí)例3的對應(yīng)關(guān)系是以表格形式表達(dá)的.

設(shè)計(jì)意圖：教材是很寶貴的學(xué)習(xí)資源，它是幾代人集體智慧的結(jié)晶，值得好好研究、利用.通過問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、思考、對比三個(gè)實(shí)例，落實(shí)思維育人和活動(dòng)育人，提升發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)直觀和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng).分析三個(gè)典例的不同點(diǎn)目的是為下一節(jié)《函數(shù)的表示》的學(xué)習(xí)埋下伏筆.

問題4：集合與對應(yīng)關(guān)系視角下的初中函數(shù)與三個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)是什么呢？能否從集合與對應(yīng)關(guān)系的角度給函數(shù)一個(gè)全新定義呢？

生：都有兩個(gè)非空數(shù)集，兩個(gè)非空數(shù)集之間都有一種確定的對應(yīng)關(guān)系，這種對應(yīng)關(guān)系都能實(shí)現(xiàn)把一個(gè)數(shù)集中的任意一個(gè)數(shù)變成另外一個(gè)數(shù)集中的唯一數(shù).

師：如何從集合與對應(yīng)關(guān)系的角度給函數(shù)一個(gè)全新定義呢？

生：對于任意兩個(gè)非空數(shù)集A、B，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系，集合A中的任意一個(gè)元素，在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，那么我們就把從集合A到集合B的這種對應(yīng)關(guān)系叫作函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：從全新視角，對初中函數(shù)的集合與對應(yīng)關(guān)系進(jìn)行全新理解.結(jié)合教材豐富的三個(gè)不同的實(shí)例，挖掘現(xiàn)象背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)視角下的共同點(diǎn)，找到獨(dú)具魅力的特殊對應(yīng)關(guān)系，也就是函數(shù)關(guān)系.通過“抽絲剝繭”般的引導(dǎo)，可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

問題5：數(shù)學(xué)有幾種語言？數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力主要通過哪種語言來體現(xiàn)？函數(shù)一詞用英語該怎么說？

生：數(shù)學(xué)有四種語言：文字語言（也叫自然語言）、圖形語言、符號(hào)語言和肢體語言.這幾種語言可以相互轉(zhuǎn)化.符號(hào)語言是數(shù)學(xué)獨(dú)有的語言，它具備簡潔美、和諧美、對稱美等美學(xué)特征.

生：函數(shù)在英語中翻譯為function.

師：看來數(shù)學(xué)與英語不分家，在學(xué)過的知識(shí)中，還有沒有這樣的例子呢？

生：自然數(shù)在英語中翻譯成Nature，自然數(shù)集寫成N;實(shí)數(shù)在英語中翻譯為Real，實(shí)數(shù)集寫成R，這樣的例子還很多，數(shù)學(xué)與英語真的不分家呀！

設(shè)計(jì)意圖：通過提問提升學(xué)生的思維品質(zhì)和學(xué)科整合能力，引導(dǎo)學(xué)生回憶已有知識(shí)中的跨學(xué)科知識(shí)，洞察科學(xué)文化知識(shí)是一脈相承的.在學(xué)生對若干規(guī)定的跨學(xué)科知識(shí)理解之后，豁然開朗地理解符號(hào)的本真意義，不由得感嘆自然科學(xué)發(fā)展的完美和規(guī)范.為學(xué)生理解函數(shù)相關(guān)概念的符號(hào)語言打下基礎(chǔ)，為跨學(xué)科融合奠定基礎(chǔ).

問題6：怎么用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言給函數(shù)一個(gè)完美定義呢？

生：對于兩個(gè)非空數(shù)集A、B，如果對于某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)[f（x）]和它對應(yīng)，那么就稱[f ：A→B]為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作[y=f（x）]，[x∈A].

師：函數(shù)的其他相關(guān)概念呢？

生：x叫作自變量，x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫作函數(shù)值，函數(shù)值的集合[f（x）x∈A]叫作函數(shù)的值域.

設(shè)計(jì)意圖：培根說過 “數(shù)學(xué)使人周密”，指的是數(shù)學(xué)可以用規(guī)范的符號(hào)語言和文字語言來準(zhǔn)確描繪抽象化的科學(xué)世界，引導(dǎo)學(xué)生充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)獨(dú)有的美學(xué)價(jià)值和獨(dú)特魅力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言規(guī)范表達(dá)的習(xí)慣和能力，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良性循環(huán)發(fā)展奠基.同時(shí)，充分照顧學(xué)生認(rèn)知需要螺旋上升的特征，逐步補(bǔ)充完善內(nèi)容，在一步一步地引導(dǎo)中讓學(xué)生自然而然地總結(jié)出函數(shù)的概念以及相關(guān)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性.

三、概念深化

“概念深化”是一節(jié)新授課的靈魂，它直接影響學(xué)生思維品質(zhì)的培養(yǎng)，直接影響學(xué)生對數(shù)學(xué)核心概念理解的高度、深度和靈活度，直接決定學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)上理解核心概念的程度.這個(gè)環(huán)節(jié)要善于挖掘概念的內(nèi)涵和外延，要加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

問題1：函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞可以用哪幾個(gè)字進(jìn)行高度概括？函數(shù)關(guān)系[f ： A→B]可以實(shí)現(xiàn)集合A中的一個(gè)數(shù)對應(yīng)集合B中的多個(gè)數(shù)嗎？

生：濃縮成“非空數(shù)集，任意唯一”這八個(gè)字.也就是說函數(shù)必須是非空數(shù)集之間的一種對應(yīng)關(guān)系，它只能把一個(gè)集合中的每一個(gè)實(shí)數(shù)變成另一個(gè)集合中的唯一一個(gè)實(shí)數(shù).

師：函數(shù)可以把一個(gè)實(shí)數(shù)變成多個(gè)實(shí)數(shù)嗎？

生：根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)可以把一個(gè)實(shí)數(shù)變成一個(gè)實(shí)數(shù)，也可以把多個(gè)實(shí)數(shù)變成一個(gè)實(shí)數(shù)，但不可以把一個(gè)實(shí)數(shù)變成多個(gè)實(shí)數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：通過提煉函數(shù)概念中的核心關(guān)鍵詞，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提煉和概括主旨和要義，便于學(xué)生迅速抓住知識(shí)的核心和要點(diǎn)，便于學(xué)生精準(zhǔn)記憶.通過“函數(shù)可以把一個(gè)實(shí)數(shù)變成多個(gè)實(shí)數(shù)嗎？”引發(fā)學(xué)生思考可能出現(xiàn)的幾種可能性，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維能力和批判性思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì).

問題2：函數(shù)[f ： A→B]的定義域是非空數(shù)集A嗎？函數(shù)的值域是非空數(shù)集B嗎？

生：根據(jù)函數(shù)概念中的這段描述，我們知道自變量x的取值范圍A叫作函數(shù)的定義域，函數(shù)值的集合[ f（x）x∈A]叫作函數(shù)的值域，因此函數(shù)的值域[ f（x）x∈A?B]，也就是說值域是集合B的子集，但是定義域就是集合A.

生：不是.因?yàn)橛深}意x的取值范圍為空集，而函數(shù)必須建立在非空數(shù)集上.

設(shè)計(jì)意圖：通過函數(shù)概念的關(guān)鍵詞語的解讀，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)多角度地思考和理解概念的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生找出微小的不同點(diǎn)加以分析，這對培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性有著很高的訓(xùn)練價(jià)值.通過讓學(xué)生獨(dú)立思考函數(shù)的值域是否為非空數(shù)集B，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象學(xué)科核心素養(yǎng)，避免學(xué)生出現(xiàn)想當(dāng)然地認(rèn)為“值域就是集合B”的先入為主的錯(cuò)誤，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.通過比較、分析、概括，學(xué)生對函數(shù)概念的關(guān)鍵屬性理解得更加深刻.

生：兩函數(shù)對應(yīng)法則分別為f和g，因此它們是兩個(gè)完全不同的函數(shù).

設(shè)計(jì)意圖：符號(hào)語言是數(shù)學(xué)的獨(dú)特語言，是數(shù)學(xué)學(xué)科區(qū)別于其他學(xué)科的獨(dú)具魅力的核心特征，只有深入理解數(shù)學(xué)符號(hào)語言的意義才能規(guī)范準(zhǔn)確表達(dá).問題3的設(shè)計(jì)目的是夯實(shí)數(shù)學(xué)架構(gòu)的根基，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，并通過規(guī)范的符號(hào)語言鍛煉理性思維能力，同時(shí)通過研究[f（a）]的意義，引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)對含參數(shù)問題的研究，強(qiáng)化分類與整合思想.

問題4：[y=f（x）]與[u=f（v）]是同一個(gè)函數(shù)還是兩個(gè)函數(shù)呢？

師：這兩個(gè)函數(shù)的三要素均相同，所以它們是同一函數(shù)，盡管自變量和因變量分別用不同的英文字母表示，但是它們的定義域、對應(yīng)法則和值域都相同，因此研究函數(shù)就要研究函數(shù)的本質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：此問題突出培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察分析表面現(xiàn)象研究表象背后的本質(zhì)問題.

問題5：類比數(shù)軸的三要素，函數(shù)有幾個(gè)要素呢？函數(shù)的要素之間有沒有必然的某種關(guān)系？怎么判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)？

師：數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長度，那么函數(shù)有幾個(gè)要素呢？

生：函數(shù)有定義域、對應(yīng)法則、值域三個(gè)要素，三者缺一不可.

師：如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則相同，那么它們的值域相同嗎？

生：值域一定相同.

師：如何判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)？

生：只需看它們的三要素是否相同即可.

設(shè)計(jì)意圖：運(yùn)用類比的方法研究函數(shù)的三要素，可以有效提升學(xué)生的知識(shí)遷移能力.從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)著手進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)，有利于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新能力.

設(shè)計(jì)意圖：突出函數(shù)、方程、不等式三位一體思想，培養(yǎng)一切盡在函數(shù)的圖像中的解題意識(shí)，讓學(xué)生在研究方程的解的問題、不等式的解集的問題時(shí)學(xué)會(huì)用函數(shù)的圖像來解決.強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化化歸思想，落實(shí)邏輯推理和直觀想象核心素養(yǎng)培養(yǎng).

四、應(yīng)用探索

“應(yīng)用探索”是一節(jié)新授課的關(guān)鍵.該環(huán)節(jié)的根本目的是培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)以致用能力，通過對典型題目的典型分析、思考、解析、反思，促使學(xué)生學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題.這一環(huán)節(jié)要教會(huì)學(xué)生從正確的解題思路中總結(jié)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，從而提高學(xué)生對數(shù)學(xué)思想和方法的理解和運(yùn)用能力.

設(shè)計(jì)意圖：通過例1和練習(xí)1的訓(xùn)練，可以強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)概念的理解和運(yùn)用，特別是加深對函數(shù)概念的核心關(guān)鍵詞“非空數(shù)集、任意唯一”的理解，為以后函數(shù)更深入的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖：通過判斷，理解“關(guān)鍵詞”“函數(shù)構(gòu)成要素”“值域是集合B的子集”等難點(diǎn)知識(shí).函數(shù)概念屬于概念性知識(shí)，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過把握概念的關(guān)鍵詞及概念內(nèi)涵，加強(qiáng)理解.

設(shè)計(jì)意圖：目的是加強(qiáng)對定義域、函數(shù)值等的理解和運(yùn)用，重點(diǎn)強(qiáng)化定義域是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍，比如分母不為零、偶次方數(shù)非負(fù)等.練習(xí)3是一道經(jīng)典易錯(cuò)題，學(xué)生很容易先化簡再求定義域，而恰恰是化簡改變了函數(shù)的定義域.只有學(xué)生經(jīng)歷了解題的完整過程，特別是給足學(xué)生犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)，才能提高解題能力，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的知行合一，達(dá)到數(shù)學(xué)課堂的實(shí)踐育人.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解函數(shù)概念的本質(zhì)，強(qiáng)化關(guān)鍵詞集合A中的任意一個(gè)元素中的“任意”的理解，強(qiáng)化在集合B中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)的理解.本練習(xí)突出分類思想，只要做到統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)、不重不漏，就可以完美解決問題，從而落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

五、總結(jié)歸納

“總結(jié)歸納”是一節(jié)新授課的升華，它對學(xué)生能否深入理解新知識(shí)的重點(diǎn)和關(guān)鍵，能否構(gòu)建起知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，起著十分重要的作用.教師要精心設(shè)計(jì)課堂總結(jié)，讓學(xué)生真正得到提高和升華，在課堂教學(xué)中產(chǎn)生充實(shí)和愉悅的感受.

師：同學(xué)們，今天我們站在數(shù)學(xué)先賢的肩膀上，在回顧初中函數(shù)的基礎(chǔ)上，從集合和對應(yīng)關(guān)系的角度學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念.我們了解了函數(shù)近三百年的發(fā)展史，了解到函數(shù)的概念是在萊布尼茨等幾代數(shù)學(xué)家的不懈研究和精益求精的追求之中逐步形成并完善的.我們還知道了清代數(shù)學(xué)家李善蘭對于函數(shù)的翻譯做出的巨大貢獻(xiàn);我們還合作探究概括出了集合與對應(yīng)角度上的函數(shù)的概念，深入挖掘了“非空數(shù)集、任意唯一”的意義，深刻理解了函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延，對函數(shù)的概念有了一個(gè)比較全面的理解和掌握.

設(shè)計(jì)意圖：通過回顧函數(shù)近三百年的發(fā)展史，復(fù)習(xí)初中函數(shù)知識(shí)，引入集合與對應(yīng)視角下的函數(shù)的概念，深入剖析函數(shù)概念的要義，讓學(xué)生感受到科學(xué)知識(shí)來之不易，感受到數(shù)學(xué)家追求真理、獻(xiàn)身科學(xué)的鍥而不舍的精神，感受到數(shù)學(xué)四種語言特別是符號(hào)語言的獨(dú)特魅力，讓學(xué)生在回味無窮中結(jié)束這節(jié)課的學(xué)習(xí)，在迫不及待中迎接下一節(jié)課的學(xué)習(xí)，從而踐行四維育人，落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo).

[? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?]

[1]? 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 教育部考試中心.中國高考評價(jià)體系[M].北京：人民教育出版社，2020.

[3]? 黃河清.高中數(shù)學(xué)“問題導(dǎo)學(xué)”教學(xué)策略[M].南寧：廣西教育出版社，2019.

[4]? 何志奇.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)案例解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2020.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）