基于改進(jìn)遺傳算法的STSK系統(tǒng)色散矩陣和3D星座的聯(lián)合優(yōu)化

金小萍，劉家瑜，蔣晨，郭強(qiáng)

（中國計(jì)量大學(xué)信息工程學(xué)院浙江省電磁波信息技術(shù)與計(jì)量檢測重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018）

1 引言

多輸入多輸出（multi-input multi-output，MIMO）技術(shù)作為5G無線通信系統(tǒng)的關(guān)鍵技術(shù)，通過在發(fā)射端和接收端分別安裝多根天線，可以成倍地提高系統(tǒng)信道容量[1-2]。但是，MIMO系統(tǒng)具有高復(fù)雜性和高功耗的問題，而空間調(diào)制（spatial modulation，SM）方案的提出[3-4]解決了這一問題，SM通過每次只激活一根天線發(fā)射的方式，不僅降低功耗，還能避免傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)信道間干擾和同步的問題。但是SM每次發(fā)射只激活一根天線，因此該體系結(jié)構(gòu)并沒有實(shí)現(xiàn)分集增益，為此文獻(xiàn)[5]提出了空時(shí)移位鍵控（space-time shift keying，STSK）調(diào)制技術(shù)的概念。該技術(shù)通過每個(gè)STSK塊持續(xù)時(shí)間內(nèi)激活的色散矩陣集（dispersion matrix set，DMS）的索引來承載信息，通過設(shè)計(jì)不同的色散矩陣（dispersion matrix，DM），并優(yōu)化DM的數(shù)量和大小以及發(fā)射天線和接收天線的數(shù)量，能夠?qū)崿F(xiàn)分集增益與多路復(fù)用增益一個(gè)較好的權(quán)衡。因此，DMS的優(yōu)化對(duì)STSK至關(guān)重要。

目前對(duì)于DMS的優(yōu)化提出了許多基于不同準(zhǔn)則的算法，如秩與行列式標(biāo)準(zhǔn)最大化[6-10]、誤碼率（bit error rate，BER）[11]最小化和離散輸入連續(xù)輸出無記憶信道（discrete-input continuous-output memoryless channel，DCMC）容量最大化[12]等，在這些準(zhǔn)則當(dāng)中，秩與行列式標(biāo)準(zhǔn)最大化準(zhǔn)則的復(fù)雜度相對(duì)來說是最低的。在優(yōu)化方法上，大部分的研究都是對(duì)DMS單獨(dú)優(yōu)化，然而STSK方案的性能不僅受DMS影響，而且還受所選星座的最小距離與絕對(duì)值影響[13]。因此，為了提高系統(tǒng)的性能，出現(xiàn)了對(duì)DMS和星座的聯(lián)合優(yōu)化[13-15]。然而，該方案相關(guān)的計(jì)算成本較高，尤其是對(duì)于大規(guī)模天線以及高速率的STSK布置。

為此，本文提出了一種基于秩與行列式標(biāo)準(zhǔn)最大化準(zhǔn)則下，使用改進(jìn)遺傳算法（genetic algorithm，GA）的DMS和星座聯(lián)合優(yōu)化方案，其中，星座采用的是文獻(xiàn)[16]中旋轉(zhuǎn)立方體（rotated cube-in-cube，RCIC）的構(gòu)造方法，如圖1所示，因?yàn)樵谕瑯与A數(shù)的條件下，相比2D星座，3D星座可以提高系統(tǒng)的傳輸效率，而且在傳統(tǒng)的3D星座中，RCIC構(gòu)造相比立方體（cube-in- cube，CIC）構(gòu)造，可以提供的最小歐氏距離更大，從而提高系統(tǒng)的誤碼率性能。為了優(yōu)化DMS和3D星座的搜索空間并降低優(yōu)化復(fù)雜度，該方案一方面利用3D星座的對(duì)稱性，將星座索引的候選值大幅度降低，從而降低秩與行列式準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的編碼增益的計(jì)算復(fù)雜度和計(jì)算成本；另一方面，本文使用高效的選擇以及改進(jìn)的交叉和變異策略對(duì)DMS和3D星座進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，相比傳統(tǒng)的GA[17]和隨機(jī)搜索方法，改進(jìn)的GA可以在降低計(jì)算復(fù)雜度的同時(shí)迭代收斂得更快。同時(shí)，本文還推導(dǎo)了3D STSK方案的理論平均成對(duì)差錯(cuò)概率（average bit error probability，ABEP），以驗(yàn)證仿真結(jié)果的正確性。

圖1 3D RCIC星座

2 系統(tǒng)模型

本節(jié)考慮一個(gè)具有3D RCIC星座的STSK系統(tǒng)模型[15]，如圖2所示，具有Nt根發(fā)射天線和Nr根接收天線，在發(fā)射端預(yù)定義了和3D星座，這兩者都通過改進(jìn)GA搜索得到，其中，BT滿足TB=Ts/R,sT表示每個(gè)STSK碼字的持續(xù)時(shí)間，分別表示兩種3D信號(hào)發(fā)送模式，即其中，lx、ly和zl分別表示第l個(gè)星座點(diǎn)在圖1所示三維坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的x、y和z軸的值，且每個(gè)DM應(yīng)滿足功率約束，其中，(?)H為共軛轉(zhuǎn)置運(yùn)算。每個(gè)STSK碼字所攜帶的比特位數(shù)為B=B1+B2，其中，B1=lbQ個(gè)比特用于激活DM，B2=lbL個(gè)比特用于映射星座符號(hào)。第i個(gè)STSK發(fā)送符號(hào)可以表示為：

圖2 3D STSK系統(tǒng)模型

其中，S(i)∈CNt×Ts，?為克羅內(nèi)克積運(yùn)算。為了方便后面的分析，式（1）可以改為：

3 改進(jìn)GA輔助DMS和3D星座優(yōu)化

在本節(jié)中將介紹如何利用改進(jìn)GA，對(duì)上述3D STSK系統(tǒng)的DMS和3D星座進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。首先初始種群的每個(gè)個(gè)體由隨機(jī)生成的DMS和3D星座聯(lián)合編碼組成，具體編碼策略見第3.1節(jié)，并將改進(jìn)的編碼增益作為改進(jìn)GA的適應(yīng)度值。在迭代過程中，通過高效的選擇策略對(duì)種群進(jìn)行優(yōu)勝劣汰，并采用改進(jìn)的交叉和變異策略對(duì)生存下來的個(gè)體進(jìn)行如下操作：以概率cP對(duì)所有個(gè)體進(jìn)行單點(diǎn)交叉和復(fù)制操作，隨后以概率mP對(duì)DM進(jìn)行變異，并以自適應(yīng)概率fP對(duì)3D星座進(jìn)行變異。最后計(jì)算所有個(gè)體的適應(yīng)度值并進(jìn)入下一次迭代，當(dāng)達(dá)到預(yù)定的迭代次數(shù)，迭代終止，輸出適應(yīng)度值最優(yōu)的個(gè)體。

3.1 改進(jìn)的編碼策略

常見的編碼方法有二進(jìn)制編碼、格雷碼、浮點(diǎn)數(shù)編碼等。而本節(jié)使用如圖1所示構(gòu)造方法，將外球體和內(nèi)球體上的星座坐標(biāo)分別用a和b表示，如，同時(shí)星座歸一化為單位平均功率：

根據(jù)（4）式以及a>b>0的要求，可以推導(dǎo)出a和b的關(guān)系和取值范圍分別為和

因此，為了方便DMS和3D星座聯(lián)合執(zhí)行改進(jìn)GA中的進(jìn)化策略，如圖3所示，將每組DMS和3D星座其中一個(gè)星座點(diǎn)的一個(gè)正數(shù)坐標(biāo)聯(lián)合編碼作為一個(gè)個(gè)體，種群中的第k個(gè)個(gè)體可以表示為：

圖3 交叉操作示意圖

其中，k=1,…,Npop，j=1,…,Q+1，Npop為種群的個(gè)體數(shù)。

3.2 改進(jìn)的適應(yīng)度值

根據(jù)文獻(xiàn)[5]，STSK成對(duì)差錯(cuò)概率（PEP）的上界可以表示為：

其中，r和nλ分別是矩陣sR的秩和非零特征值，，差矩陣Δ定義為：

傳統(tǒng)計(jì)算上述編碼增益的方法都是對(duì)(Sq,l,Sq′,l′)所有合法組合進(jìn)行遍歷搜索，復(fù)雜度為然而在q和q′對(duì)應(yīng)的DM滿足

最大最小編碼增益后，聯(lián)合優(yōu)化的最大最小編碼增益還取決于3D星座索引。由于星座RCIC的對(duì)稱性，如圖1中的星座點(diǎn)sl(l=3,4,5,6)，關(guān)于星座點(diǎn)9s對(duì)稱，因此，當(dāng)兩組DM索引值相等，即，而l1=l2=9時(shí)，與對(duì)應(yīng)兩組DM和3D星座的編碼增益相等，所以可以通過固定星座索引，避免重復(fù)計(jì)算，如令星座索引l=9，則以下幾組星座索引l′=3,4,5,6，l′=1,2，l′=7,8，l′=12,10,13，和l′=11,16,14所對(duì)應(yīng)的星座點(diǎn)分別關(guān)于星座點(diǎn)s9對(duì)稱。而且，由于16RCIC的對(duì)稱性，不論固定哪個(gè)星座點(diǎn)，都存在上述對(duì)稱關(guān)系。因此針對(duì)上述5組星座點(diǎn)每組只計(jì)算一個(gè)星座點(diǎn)即可，而星座點(diǎn)9s與s15沒有對(duì)稱關(guān)系，因此優(yōu)化后的編碼增益計(jì)算復(fù)雜度僅為其中，M=7。

3.3 選擇策略

為了實(shí)現(xiàn)GA優(yōu)勝劣汰的迭代策略，讓適應(yīng)度值更大的個(gè)體有更大的概率遺傳到下一代，本文使用錦標(biāo)賽選擇策略，相比于文獻(xiàn)[17]中所使用的概率選擇策略，實(shí)現(xiàn)方式更加簡單有效。每次從種群中取出一定數(shù)量個(gè)體，選擇其中適應(yīng)度值最大的一個(gè)個(gè)體進(jìn)入下一代種群，然后重復(fù)該操作，直到新的種群規(guī)模達(dá)到原來的種群規(guī)模。具體操作步驟如下。

（1）確定每次選擇的個(gè)體數(shù)量Npop/10；

（2）從種群中隨機(jī)選擇個(gè)體（每個(gè)個(gè)體入選概率相同）構(gòu)成組，根據(jù)每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，選擇其中適應(yīng)度值最大的個(gè)體進(jìn)入下一代種群；

（3）重復(fù)步驟（2），直到新的種群規(guī)模達(dá)到原來的種群規(guī)模。

3.4 改進(jìn)的交叉策略

為了在下一代產(chǎn)生適應(yīng)度值更高的個(gè)體，本文設(shè)計(jì)了改進(jìn)的交叉策略，與傳統(tǒng)的交叉策略不同的是，本文改進(jìn)的交叉策略可以同時(shí)對(duì)DMS和3D星座進(jìn)行交叉優(yōu)化，同時(shí)，對(duì)于不滿足交叉概率的個(gè)體，本文還設(shè)計(jì)了復(fù)制策略對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化。將選擇操作后的新種群按順序進(jìn)行分組，每組兩個(gè)個(gè)體，共Npop/2組，分別作為父代和母代，以概率cP對(duì)每組父代和母代進(jìn)行如圖3所示交叉操作，在每組個(gè)體的維度范圍內(nèi)隨機(jī)選擇一個(gè)交叉位，對(duì)父代和母代進(jìn)行交叉，每對(duì)父代和母代產(chǎn)生一對(duì)子代1和子代2，交叉位范圍為(2,???,Q?1)。而對(duì)于不滿足交叉概率的父代和母代，將執(zhí)行下面的復(fù)制策略，以保證更優(yōu)子代種群。

（1）對(duì)比父代和母代的適應(yīng)度值；

（2）淘汰適應(yīng)度值低的個(gè)體，并將適應(yīng)度值高的個(gè)體復(fù)制到適應(yīng)度值低的個(gè)體進(jìn)行取代。

3.5 改進(jìn)的變異策略

為了避免種群陷入局部最優(yōu)值，而且由于DMS的搜索空間較大，3D星座的搜索空間較小，對(duì)DMS和3D星座分別進(jìn)行變異。首先以概率mP對(duì)每個(gè)個(gè)體的DM進(jìn)行變異，具體操作如下：

對(duì)每個(gè)個(gè)體的每一維索引j(j=1,…,Q)，每次隨機(jī)生成一個(gè)0～1的數(shù)，若小于Pm，則隨機(jī)生成一個(gè)DM替代當(dāng)前索引j所對(duì)應(yīng)的DM，即Arandom，若大于Pm，則不進(jìn)行變異操作。隨后，以自適應(yīng)概率Pf對(duì)3D星座進(jìn)行變異：

其中，fP的計(jì)算式為：

算法1改進(jìn)的GA

輸入Q，L，Nt，BT，cP，mP，fP，Npop，迭代次數(shù)T

輸出

隨機(jī)生成Npop個(gè)個(gè)體

對(duì)每個(gè)個(gè)體G(k)計(jì)算適應(yīng)度值

4 性能分析

對(duì)3D STSK系統(tǒng)進(jìn)行了ABEP分析，根據(jù)文獻(xiàn)[18]，所提方案的ABEP的上界表達(dá)式如下：

令

其中，φ=1/N0，然后對(duì)式（14）調(diào)用矩量母函數(shù)（moment generating function ，MGF）結(jié)果如下：

根據(jù)文獻(xiàn)[19]，對(duì)于Ω的MGF可以表示為：

為了進(jìn)一步簡化式（17）的計(jì)算，對(duì)式（12）使用文獻(xiàn)[19]中的特征函數(shù)：

因此，系統(tǒng)的PEP可以表示為：

5 仿真結(jié)果

在本節(jié)中提供了改進(jìn)GA、傳統(tǒng)GA適應(yīng)度值迭代收斂關(guān)系，以及改進(jìn)GA和隨機(jī)搜索方案計(jì)算復(fù)雜度的對(duì)比。同時(shí)還提供了不同天線配置和時(shí)隙下3D STSK仿真結(jié)果與理論性能的對(duì)比，以驗(yàn)證仿真結(jié)果的正確性，最后給出了改進(jìn)GA與隨機(jī)搜索方案在兩種3D信號(hào)發(fā)送模式下的性能仿真對(duì)比。其中改進(jìn)GA和隨機(jī)搜索方案都是對(duì)DMS和3D星座聯(lián)合優(yōu)化，傳統(tǒng)GA是通過固定星座點(diǎn)，對(duì)DMS進(jìn)行優(yōu)化。注意，傳統(tǒng)GA的交叉概率和變異概率參數(shù)均為文獻(xiàn)[17]中所提供參數(shù)，改進(jìn)GA的交叉概率和變異概率參數(shù)為本文設(shè)置參數(shù)，另外使用(Nt,Nr,TB,R,Q)來表示仿真的參數(shù)配置，其中表1、圖4和圖5 的系統(tǒng)參數(shù)配置都為(3,2,2,3,16)。

表1 傳統(tǒng)GA與改進(jìn)GA參數(shù)

圖4 改進(jìn)GA與傳統(tǒng)GA迭代次數(shù)與適應(yīng)度值關(guān)系

圖4對(duì)比了改進(jìn)GA和傳統(tǒng)GA的適應(yīng)度值迭代關(guān)系，兩種方案的參數(shù)配置見表1，從圖4中可以看出，傳統(tǒng)GA適應(yīng)度值收斂較慢，在迭代后期，由于傳統(tǒng)的交叉操作對(duì)DMS的優(yōu)化效果較差，而且并沒有對(duì)3D星座進(jìn)行優(yōu)化，因此傳統(tǒng)GA容易陷入局部最優(yōu)值，并不能高效地對(duì)DMS和3D星座進(jìn)行搜索；而改進(jìn)GA一方面采用新的交叉策略，在盡量不破壞當(dāng)前優(yōu)勢種群的情況下，可以對(duì)優(yōu)秀個(gè)體進(jìn)行交叉，而復(fù)制操作進(jìn)一步淘汰了較差的個(gè)體；另一方面，對(duì)星座坐標(biāo)的自適應(yīng)變異，可以高效地對(duì)星座點(diǎn)進(jìn)行全局搜索。

由于傳統(tǒng)GA性能的局限性，因此本文選用改進(jìn)GA與隨機(jī)搜索進(jìn)行復(fù)雜度對(duì)比，如圖5所示，隨機(jī)搜索次數(shù)為610。由于改進(jìn)GA在迭代到200次時(shí)就達(dá)到了較高的適應(yīng)度值，因此取GA迭代200次的結(jié)果對(duì)比。可以看出，本文改進(jìn)的適應(yīng)度值計(jì)算復(fù)雜度可以降為原來的2.5%，而根據(jù)種群大小以及迭代次數(shù)計(jì)算的適應(yīng)度值計(jì)算次數(shù)，改進(jìn)GA僅為隨機(jī)搜索的2%，因此，總的計(jì)算復(fù)雜度可以下降到0.005 147%。

圖5 隨機(jī)搜索方案與改進(jìn)GA復(fù)雜度對(duì)比

在不同天線配置和時(shí)隙數(shù)下，本文提出的改進(jìn)GA搜索結(jié)果的BER性能仿真與理論性能分析的對(duì)比如圖6所示，通過改進(jìn)GA優(yōu)化得到的結(jié)果性能與理論BER性能與仿真性能基本一致。最后，改進(jìn)GA和隨機(jī)搜索方案在不同天線配置、時(shí)隙數(shù)以及3D信號(hào)發(fā)送模式下的仿真對(duì)比如圖7所示，在低復(fù)雜度的優(yōu)勢下，改進(jìn)GA方案相比于隨機(jī)搜索方案沒有造成任何的性能損失，這是由于本文提出的改進(jìn)GA可以通過高效的交叉策略和變異策略同時(shí)對(duì)DMS和3D星座優(yōu)化，而且由于改進(jìn)的適應(yīng)度值計(jì)算，改進(jìn)GA相比于隨機(jī)搜索方案，可以在性能沒有任何損失的前提下，顯著降低計(jì)算復(fù)雜度。

圖6 不同天線配置和時(shí)隙數(shù)下改進(jìn)GA仿真結(jié)果與理論分析的對(duì)比

圖7 改進(jìn)GA和隨機(jī)搜索方案在不同天線配置、時(shí)隙數(shù)以及3D信號(hào)發(fā)送模式下的仿真對(duì)比

6 結(jié)束語

本文提出了一種新的STSK系統(tǒng)DMS和3D星座聯(lián)合優(yōu)化方案，利用3D星座的對(duì)稱性，大幅度降低了適應(yīng)度值的計(jì)算復(fù)雜度。通過改進(jìn)GA的選擇、交叉和變異的過程，對(duì)DMS和3D星座分別進(jìn)行全局搜索和自適應(yīng)搜索，可以獲得較低SER的DMS和3D星座。同時(shí)本文還推導(dǎo)了3D STSK方案的理論平均成對(duì)差錯(cuò)概率（ABEP），驗(yàn)證了本文仿真結(jié)果的正確性。仿真結(jié)果表明，與常規(guī)隨機(jī)搜索方案和傳統(tǒng)GA相比，該方案可以在保證BER性能的前提下顯著降低計(jì)算復(fù)雜度。