多參數(shù)n階α次積分C半群的生成定理

畢 偉

(延安大學(xué) 學(xué)術(shù)期刊中心，陜西 延安 716000)

在算子半群理論[1]中，無窮小生成元及其性質(zhì)是各類算子半群研究的重要內(nèi)容。文獻(xiàn)[2-3]給出了雙參數(shù)C半群和雙參數(shù)有界算子C群的生成元及性質(zhì)；文獻(xiàn)[4-6]討論了雙參數(shù)C半群和雙參數(shù)n階α次積分C半群的Yosida逼近等問題；文獻(xiàn)[7-9]給出了兩類多參數(shù)半群的定義及其性質(zhì)?；谏鲜鑫墨I(xiàn)，本文給出多參數(shù)n階α次積分C半群的無窮小生成元的定義，研究多參數(shù)n階α次積分C半群無窮小生成元的一些基本性質(zhì)，即生成定理，從而豐富了多參數(shù)半群的理論。

1 基本概念

設(shè)N為自然數(shù)集，X為無限維的復(fù)Banach空間，B(X)是X上有界線性算子全體所成的Banach代數(shù)，D(A)為線性算子A的定義域，規(guī)定所有n,m∈N，α≥0。

定義1[8]設(shè)n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1，t2，…，tm≥0?B(X)強(qiáng)連續(xù)，若存在線性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)～(3)式成立：

(1)?x∈X,t1，t2，…，tm≥0，

JnT(t1，t2，…，tm)x∈D(A)，

AJnT(t1，t2，…，tm)x；

(2)?x∈D(A)，t1，t2，…，tm≥0，

JnT(t1，t2，…，tm)Ax；

(3)CT(t1，t2，…，tm)=

T(t1,0，…,0)T(0,t2,…,0)…T(0,0,…,tm)。

定義2 多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1，t2，…，tm)}t1，t2，…，tm≥0的無窮小生成元記為線性算子A=(A1,A2,…,Am)，A=(A1,A2,…,Am)為C-1與T(t1，t2，…，tm)在(0，0，…，0)處的微分的積，其中{T(t1,0,…,0)}t1≥0，…，{T(0，0，…，tm)}tm≥0為多個(gè)單參數(shù)n階α次積分C半群，而它們由線性算子A1,…,Am生成，即

x∈D(A)；

D(A)=

2 主要結(jié)果

證明設(shè){T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多參數(shù)n階α次積分C半群，那么{T(t1,0,…,0)}t1≥0，{T(0,t2,…,0)}t2≥0，…，{T(0，0，…，tm)}tm≥0是m個(gè)單參數(shù)n階α次積分C半群，且它們分別由線性算子A1,A2,…,Am生成，則A1,A2,…,Am在X上是閉的。令u=(a1,a2,…,am)∈Rm，則

其中S(h)=T(hu)，則{S(h)}h≥0是單參數(shù)n階α次積分C半群。

定理2 在空間X上，線性算子A=(A1,A2,…,Am)定義為

||T(t1,0,…,0)||≤M1eω1t1，

||T(0,t2,…,0)||≤M2eω2t2，…，

||T(0,0,…,tm)||≤Mmeωmtm，充要條件是：

?(a1,a2,…,am)∈Rm；

(3)D(A1A2…Am)∩D(A1)=

D(A1A2…Am)∩D(A2)=…=

D(A1A2…Am)∩D(Am)=D≠{0}，

D(A1(λ0-A2-…-Am))?D(A1A2…Am)，

A1A2…Amx=AmAm-1…A1x,?x∈D。

證明必要性：因?yàn)锳=(A1,A2,…,Am)生成多參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0，則A1,A2,…,Am分別生成單參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,0,…,0)}t1≥0，{T(0,t2,…,0)}t2≥0，…，{T(0,0,…,tm)}tm≥0，并且滿足

‖T(t1,0,…,0)‖≤M1eω1t1，

‖T(0,t2,…,0)‖≤M2eω2t2，…，

‖T(0,0,…,tm)‖≤Mmeωmtm，

由n階α次積分C半群的性質(zhì)[10]可得A1,A2,…,Am是閉稠定算子。

設(shè)u=(a1,a2,…,am)∈Rm，

S(h)=T(hu)=T(ha1,ha2,…,ham)，則

T(0,0,…,ham)x-T(ha1,0,…,0)x-T(0,ha2,…,0)x-…-T(0,0,…,ham)x+T(ha1,0,…,0)x+T(0,ha2,…,0)x+…+T(0,0,…,ham)x-Cx]·h-1=

?(a1,a2,…,am)∈Rm，

即條件(1)成立，從而可知條件(3)成立。

由文獻(xiàn)[9]可得

Rc(λ,(A1,A2,…,Am))x=

根據(jù){T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的有界性，可得

‖CRc(λ,(A1,A2,…,Am))x‖=

所以條件(2)成立。

充分性：設(shè)(a1,a2,…,am)∈Rm，則

a1A1x+a2A2x+…+amAmx。

又由條件(2)可知單參數(shù)n階α次積分C半群{T(t1,0,…,0)}t1≥0，{T(0,t2,…,0)}t2≥0，…，{T(0,0,…,tm)}tm≥0分別由線性算子A1,A2，…,Am生成，且滿足‖T(t1,0,…,)‖≤M1eω1t1，

‖T(0,t2,…,0)‖≤M2eω2t2，…，

‖T(0,0,…,tm)‖≤Mmeωmtm。

由于A1，A2，…，Am滿足條件(3)，所以{T(t1,0,…,0)}t1≥0，{T(0,t2,…,0)}t2≥0，…，{T(0，0，…，tm)}tm≥0可以交換，且映射t1→(t1,0,…,0),t2→(0,t2,…,0)，…，tm→(0,0,…,tm)是一一對應(yīng)的，則可以把T(t1)，T(t2)，…，T(tm)分別看成T(t1,0,…,0)，T(0,t2,…,0)，…，T(0，0，…，tm)，因此

T(t1,t2,…,tm)‖=

C-1T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…T(0,0,…,tm)，

即‖T(t1,t2,…,tm)‖=

‖C-1T(t1,0,…,0)T(0,t2,…,0)…T(0,0,…,tm)‖≤

‖C-1‖‖T(t1,0,…,0)‖‖T(0,t2,…,0)‖…‖T(0,0,…,tm)‖≤

‖C-1‖M1M2…Mmeω1t1+ω2t2+…+ωmtm。

所以{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是滿足

‖T(t1,0,…,0)‖≤M1eω1t1，

‖T(0,t2,…,0)‖≤M2eω2t2，…，

‖T(0,0,…,tm)‖≤Mmeωmtm的多參數(shù)n階α次積分C半群，且由A=(A1,A2,…,Am)生成。