基于Hermite多項式函數(shù)鏈模糊神經(jīng)網(wǎng)絡的PMLSM分數(shù)階反推控制

趙希梅， 王天鶴

(沈陽工業(yè)大學 電氣工程學院，遼寧 沈陽 110870)

0 引 言

與傳統(tǒng)的旋轉(zhuǎn)電機相比，永磁直線同步電動機(permanent magnet linear synchronous motor，PMLSM)將旋轉(zhuǎn)運動轉(zhuǎn)化為直線運動，省去了中間機械傳動變換裝置，有效降低了機械損耗、齒側(cè)間隙等缺點,在實際應用中提高了系統(tǒng)的定位精度[1-2]。但由于PMLSM固有的機械結構，使系統(tǒng)中存在的參數(shù)變化和外部擾動等不確定性因素直接作用在電機動子上，影響了伺服系統(tǒng)的控制性能[3]。因此，為滿足高精度位置控制的要求，必須在控制系統(tǒng)設計中有效地解決這些問題。

反推控制是一種強魯棒性的非線性控制方法，能夠利用Lyapunov穩(wěn)定性理論對高階系統(tǒng)的每一階子系統(tǒng)設計虛擬控制律，從而實現(xiàn)全局調(diào)節(jié)和跟蹤[4]。但反推控制需要系統(tǒng)精確的動態(tài)模型，參數(shù)變化和外部擾動都可能導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，為減小不確定性對系統(tǒng)造成的影響，可以將反推控制中加入自適應，使反推控制具有自適應規(guī)律，以獲得良好的自適應控制性能[5]。對于復雜的控制系統(tǒng)模型而言，傳統(tǒng)的反推控制采用的整數(shù)階運算不一定能使系統(tǒng)獲得最佳性能[6]。文獻[7]采用了分數(shù)階反推控制(fractional-order backstepping control，F(xiàn)OBC)方案，與整數(shù)階運算相比，分數(shù)階運算具有更高的自由度，能實現(xiàn)更好的性能。文獻[8]將FOBC用于非線性系統(tǒng)中，能夠減弱不確定性和外部擾動對系統(tǒng)的影響，無論初始狀態(tài)如何，系統(tǒng)都能借助FOBC在有限時間內(nèi)收斂，達到更好的控制目的。雖然FOBC能夠減小不確定性對系統(tǒng)造成的影響，但由于其使用了單一的自適應律，自適應效果較差。因此，可采用神經(jīng)網(wǎng)絡在線估計不確定性，由于將多個自適應律相結合，系統(tǒng)的收斂速度也隨之提高。函數(shù)鏈模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(functional link fuzzy neural network，F(xiàn)LFNN)將函數(shù)鏈神經(jīng)網(wǎng)絡與模糊規(guī)則相結合，與傳統(tǒng)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡相比，可以加快收斂速度并降低計算復雜度[9-10]。

為了更加有效地控制PMLSM伺服系統(tǒng)，本文采用了FLFNN與FOBC相結合的控制方案。FOBC在傳統(tǒng)反推控制的基礎上加入了分數(shù)階運算，減弱了不確定性對系統(tǒng)的影響；同時采用FLFNN對系統(tǒng)中存在的不確定性進行估計，且將易于計算、具有強大逼近能力的Hermite函數(shù)作為其擴展函數(shù)，改善了FLFNN的建模性能和學習效率，提高了PMLSM控制系統(tǒng)的魯棒性。但由于估計誤差不可避免，因此采用指數(shù)補償器對估計誤差進行補償，該補償器的控制增益能夠隨跟蹤性能而改變。最后，通過實驗驗證了該方法的有效性。

1 PMLSM數(shù)學模型

PMLSM的電磁推力方程為

(1)

式中：Fe為電磁推力；τ為極距；λd、λq，id、iq，Ld、Lq分別為d、q軸的磁鏈、電流和電感；λPM為磁鏈。

由式(1)可知，若id=0，則Fe僅與iq成正比，那么通過控制iq就可使推力達到最大，因此PMLSM的電磁推力可簡化為

(2)

式中：kf為電磁推力系數(shù)。

PMLSM的運動方程為

(3)

將式(3)改寫為

f+gu+d。

(4)

通常，系統(tǒng)的不確定性會使參數(shù)f和g發(fā)生變化，而外部擾動會對動子的位置x造成影響。因此，在存在參數(shù)變化和外部擾動時，式(4)改為

fn+gnu+Ω。

(5)

式中：Δf和Δg為建模誤差和參數(shù)變化；Ω=Δf+Δgu+d為總的不確定性且|Ω|≤ρ，ρ為正常數(shù)。一般來說，由于老化、磨損和操作條件的變化，PMLSM的不確定性很難精確得到。因此，本文的目的是設計一個高性能的控制系統(tǒng)，使動子在存在不確定性的情況下準確地跟蹤位置指令。

2 PMLSM系統(tǒng)的設計

PMLSM伺服系統(tǒng)框圖如圖1所示。通過直線光柵尺檢測動子位置，位置控制器采用基于HFLFNN的FOBC方法，其輸入為位置跟蹤誤差ec，輸出為q軸電流；通過電流傳感器檢測三相初級繞組電流ia、ib和ic，經(jīng)過Clarke變換和Park變換轉(zhuǎn)換為旋轉(zhuǎn)坐標系中的直流分量id和iq作為電流環(huán)的負反饋量，電流控制器采用PI控制。

圖1 PMLSM伺服系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of PMLSM servo system

2.1 反推控制系統(tǒng)設計

PMLSM伺服系統(tǒng)的控制目的是使動子的位置x漸近地跟蹤參考軌跡xd。步驟如下：

第一步：定義跟蹤誤差ec=xd-x，然后定義虛擬穩(wěn)定函數(shù)為

(6)

式中kB1為正常數(shù)。定義虛擬跟蹤誤差為

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：kB2為常數(shù)；sgn(·)為符號函數(shù)。將式(11)代入式(10)得

(12)

2.2 分數(shù)階反推控制系統(tǒng)設計

為提高基于反推控制的PMLSM伺服系統(tǒng)的跟蹤性能，提出了一種基于分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)的FOBC方法，可以有效地提高系統(tǒng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應。首先，選擇分數(shù)階虛擬穩(wěn)定函數(shù)為

(13)

式中：kFB1、c1和c2為正常數(shù)；α和β為分數(shù)階的導數(shù)和積分的階數(shù)。然后，定義虛擬跟蹤誤差為

c1Dαec+c2D-βec。

(14)

對式(14)求導得

(15)

c2ecD-βec)+ρsgn(eFB)]。

(16)

式中：當eFB>0，eFB=0和eFB<0時，sgn(·)的值分別為1,0和-1，則式(5)描述的控制系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

為保證FOBC系統(tǒng)的穩(wěn)定性，將式(13)、式(14)代入式(9)得

ec(φFB-kFB1ec-c1Dαec-

c2ecD-βec。

(17)

fn-gnu-Ω)。

(18)

若FOBC采用式(16)中控制律，則

ρ|eFB|-eFBΩ≤

|eFB|ρ+|eFB||Ω|≤-

|eFB|(ρ-|Ω|)≤0。

(19)

2.3 基于HFLFNN的不確定性估計器的設計

由于Hermite多項式具有獨特的逼近能力，因此選擇式(20)所示的多項式作為輸入變量構成HFLFNN[11]。其結構如圖2所示。

圖2 HFLFNN的結構框圖Fig.2 Structure diagram of HFLFNN

(20)

式中：ψk為正交Hermite多項式函數(shù)；n為擴展函數(shù)的數(shù)量。此外，正交Hermite多項式由H1(xi)=1，H2(xi)=2xi，…，Hk(xi)=2tHk-1(xi)-2(k-1)，Hk-2(xi)，k≥3。因此對于輸入向量X=[x1,x2]T，輸入向量可以擴展到增強空間，如ψ=[ψ1,ψ2,…,ψn]T=[ψ1(x1),ψ2(x1),…,ψn/2(x1),ψ1(x2),ψ2(x2),…,ψn/2(x2)]。

第2層(隸屬層)中的每個節(jié)點采用高斯函數(shù)充當隸屬函數(shù)

(21)

式中：cij和σij分別是高斯函數(shù)的均值和標準差；m表示該層中的節(jié)點數(shù)。

第3層(規(guī)則層)中的節(jié)點將第2層的輸入信號相乘

(22)

式中γj是第j個模糊規(guī)則的激活函數(shù)及第3層的輸出。網(wǎng)絡的輸出由第j個節(jié)點的線性和來表示

(23)

式中：θkj為連接權重；ξi為函數(shù)擴展的輸出。

第4層(推理層)中的節(jié)點將來自第3層的輸出γj和來自網(wǎng)絡的輸出ξi相乘，即

(24)

推理層中每個節(jié)點的模糊規(guī)則j為：若x1為A1j，x2為A2j，則

(25)

第5層(輸出層)中的每個節(jié)點對應于單個輸出量且充當解模糊器，即

(26)

式中：wj為第4層和第5層的連接權重；y為HFLFNN的輸出；參數(shù)w，c，σ和θ定義為w=[w1...wm]T∈Rm×1，Θ=[Θ1…Θm]T∈Rm×1，c=[c11…c1m,c21…c2m]T∈R2m×1，σ=[σ11…σ1m,σ21…σ2m]T∈R2m×1和θ=[θ11…θ1m,θ21…θ2m,θn1…θnm]T∈Rnm×1。

由于通用函數(shù)逼近特性，存在理想HFLFNN不確定性估計器，其輸出可以均勻地近似不確定性為

Ω=y*+Δ=W*TΘ(c*,σ*,θ*)+Δ=

W*TΘ*+Δ。

(27)

式中：Δ表示由于HFLFNN的有限結構而導致的最小估計誤差；W*，Θ*，c*和θ*為W，Θ，c和θ的最優(yōu)參數(shù)向量。但確定最優(yōu)估計下的最優(yōu)向量幾乎不可能，因此采用了HFLFNN來實現(xiàn)估計，即

(28)

(29)

(30)

2.4 在線不確定性估計的補償和參數(shù)調(diào)整

為了更加有效地估計不確定性，采用指數(shù)補償器平滑地補償HFLFNN的估計誤差。同時，為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，推導自適應估計律。將式(27)代入式(15)得

(31)

系統(tǒng)的雅克比矩陣可改寫為?V2/?uE=-e2。計算誤差項

(32)

基于HFLFNN的FOBC總控制律uIFB=u為

uIFB=uFB+uEC，

(33)

(34)

(35)

式中：q滿足條件0

(36)

式中：ηw，ηc，ησ和ηθ為正的學習律，保證了PMLSM控制系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性?；贖FLFNN的FOBC結構框圖如圖3所示。

圖3 基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)框圖Fig.3 Structure diagram of FOBC based on HFLFNN

3 系統(tǒng)仿真與實驗分析

為驗證所提方法的有效性，采用MATLAB/Simulink仿真軟件與DSP實驗平臺對基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)進行了仿真與實驗研究。選取PMLSM的主要參數(shù)為M=16.4 kg，B=8.0 N·s/m，τ=16 mm，kf=50 N/A，基于HFLFNN的FOBC系統(tǒng)的參數(shù)為：kB1=15.5，kB2=0.05，ρ=0.01，kFB1=15，kFB2=0.03，c1=0.03，c2=0.01，α=0.4，β=0.3，ηw=0.03，ηc=0.001，ησ=0.01，ηθ=0.01，q=0.4，E=0.1，r=0.05。所有控制器參數(shù)在選取時均經(jīng)過多次仿真與實驗試湊調(diào)整，以保證系統(tǒng)具有最佳的穩(wěn)態(tài)和動態(tài)性能。

在圖4(a)所示的梯形位置輸入信號下，對系統(tǒng)施加如圖4(b)所示的變負載條件。反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線分別如圖5(a)、5(b)、5(c)所示。為便于控制器性能的比較與分析，選取仿真和實驗結果的最大跟蹤誤差PM、平均跟蹤誤差PA和跟蹤誤差的標準差PS作為性能指標。表1為三種控制方法仿真結果的性能指標。

圖4 位置輸入信號和負載曲線Fig.4 Position input signal and load curves

圖5 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(仿真結果)Fig.5 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (simulation results)

表1 跟蹤性能指標

在相同的位置輸入信號與變負載條件下，對PMLSM系統(tǒng)進行了實驗研究。實驗時采用DSP TMS320F2812A作為執(zhí)行單元，基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)結構圖如圖6所示，主要包括PWM逆變器，PMLSM、直線光柵尺、電流傳感器和DSP控制單元等。三種控制方法下的位置跟蹤誤差曲線分別如圖7(a)、7(b)、7(c)所示，對應的實驗結果性能指標如表2所示。

圖6 基于DSP的PMLSM控制系統(tǒng)結構圖Fig.6 Structure diagram of PMLSM control system based on DSP

圖7 梯形輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.7 Position tracking error curves of trapezoidal input signal (experimental results)

表2 跟蹤性能指標

對比圖5和圖7的位置跟蹤誤差曲線可以看出，不管是仿真結果還是實驗結果，三種方法在梯形信號的轉(zhuǎn)折處和負載突變處都存在誤差，但所提出的基于HFLFNN的FOBC方法控制下的位置跟蹤誤差曲線更為平滑，波動更小。對比表1和表2可以看出，相比于仿真結果，實驗結果效果稍差，但所提方法的跟蹤誤差的PM、PA和PS性能指標都明顯優(yōu)于反推控制和FOBC方法，取得了較高的位置跟蹤精度。因此，無論在轉(zhuǎn)折處還是負載變化時，基于HFLFNN的FOBC都具有更小的誤差和更好的穩(wěn)態(tài)性能。

為實現(xiàn)PMLSM的變速運動，給定正弦輸入信號如圖8所示，反推控制、FOBC和基于HFLFNN的FOBC的PMLSM伺服系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線分別如圖9(a)、圖9(b)和圖9(c)所示，三種控制方案對應的性能指標如表3所示。從跟蹤誤差曲線波形圖可明顯看出，圖9(a)的誤差曲線波動幅度最大，圖9(c)的誤差曲線最平穩(wěn)。對比表3也可以看出，基于HFLFNN的FOBC控制方法在變速運動時仍能保證較好的位置跟蹤性能，最大跟蹤誤差及平均誤差明顯小于另外兩種方法，且跟蹤誤差的離散程度更小。因此，通過實驗可知，基于HFLFNN的FOBC方案顯著提高了系統(tǒng)的控制精度和魯棒性能。

圖8 正弦位置輸入信號Fig.8 Sinusoidal position input signal

圖9 正弦輸入信號下位置跟蹤誤差曲線(實驗結果)Fig.9 Position tracking error curves of sinusoidal input signal (experimental results)

表3 跟蹤性能指標

4 結 論

針對PMLSM伺服系統(tǒng)位置跟蹤精度問題，采用基于HFLFNN的PMLSM分數(shù)階反推控制方案。利用FOBC減小了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差；為進一步提高FOBC下的PMLSM系統(tǒng)的定位精度和魯棒性，設計了包含HFLFNN不確定性估計器和指數(shù)補償器在內(nèi)的FLFNN分數(shù)階反推控制，F(xiàn)LFNN通過在線學習估計系統(tǒng)中存在的不確定性，指數(shù)補償器通過平滑指數(shù)自調(diào)節(jié)機制來補償估計誤差；最后通過Lyapunov函數(shù)推導出基于HLFNN的FOBC的自適應估計律。實驗結果驗證了所提出的控制方法具有更好的控制性能。