微分幾何中向量的Levi-Civita平行移動(dòng)

栗嘉慧, 何 勇, 鄧香香, 肖 維

(新疆師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 新疆 烏魯木齊 830017)

0 引言

微分幾何的核心是關(guān)于流形上黎曼度量的研究，即黎曼幾何[1].Levi-Civita意義下的平行性是研究黎曼幾何性質(zhì)的重要概念，最早由Levi-Civita于1917年在討論三維歐氏空間中的曲面時(shí)提出.1918年，Weyl[2]受其中所蘊(yùn)含幾何思想的啟發(fā)，引入了不依賴于任何一個(gè)黎曼度量的一般聯(lián)絡(luò)的概念，并用它闡釋了Levi-Civita平行移動(dòng)，給出了Levi-Civita聯(lián)絡(luò)一個(gè)恰當(dāng)?shù)谋硎拘问?近年來，許多學(xué)者對(duì)Levi-Civita平行移動(dòng)進(jìn)行了相關(guān)研究，Ruta[3]和Iurato[4]討論了分析力學(xué)的虛功原理在推導(dǎo)Levi-Civita平行移動(dòng)概念中所起的關(guān)鍵性作用.2016年，Casey[5]構(gòu)造了一種特殊標(biāo)架，即Levi-Civita標(biāo)架，并給出了可展曲面上的相關(guān)結(jié)論.聯(lián)絡(luò)是對(duì)流形上向量場(chǎng)進(jìn)行“微分”的一種手段，而Levi-Civita平行性正是切叢上的聯(lián)絡(luò)[6]，因此，理解Levi-Civita平行移動(dòng)這一概念尤為重要.本文旨在通過三個(gè)方面闡釋Levi-Civita平行移動(dòng)的內(nèi)涵，從而幫助初學(xué)者更好地學(xué)習(xí)和理解這一概念，即采用直觀的向量投影的方法分析向量的Levi-Civita平行移動(dòng)；利用平移同構(gòu)探析Levi-Civita平行移動(dòng)與聯(lián)絡(luò)的內(nèi)在關(guān)系；對(duì)比Levi-Civita平行移動(dòng)與歐氏平移基本性質(zhì)的異同.

1 Levi-Civita平行移動(dòng)的概念

1.1 二維曲面上向量Levi-Civita平行移動(dòng)的概念

平面上向量沿直線平移具有兩個(gè)重要特征,其一是該向量的微分為0;其二是該向量與直線所成夾角在平移過程中不發(fā)生改變.在古典微分幾何中,對(duì)于二維曲面,若將其上向量v從點(diǎn)Q沿曲面上一曲線按上述平移移動(dòng)至鄰近點(diǎn)Q′,則v一般不再是曲面上的向量,曲面上的向量是指曲面上給定點(diǎn)處切于此曲面的向量[8].因此,一個(gè)較關(guān)鍵的問題是,如何將平面上向量平行移動(dòng)的概念推廣到曲面上.

在探討曲面上向量沿曲線平移之前,首先將這條曲線無限分割,從而問題轉(zhuǎn)化為向量沿?zé)o窮小弧段的平移,又因“無窮小”這一概念與“微分”聯(lián)系緊密[9],所以勢(shì)必要考慮在曲面上如何對(duì)一個(gè)向量進(jìn)行微分.為此,介紹一種新的“微分”,它滿足以下兩個(gè)性質(zhì):對(duì)上述向量v微分為0;v經(jīng)過平移后仍是曲面上的向量.

v設(shè)在曲面上沿曲線C有一向量場(chǎng)v,則對(duì)C上任意一點(diǎn)Q都有一確定向量v.將v沿C向鄰近點(diǎn)Q′平移得到v,再將v分別向切平面和法方向做投影,點(diǎn)Q與Q′的切平面間的微小角度忽略不計(jì),則n沿切平面的分量可以表示為v-(n·v)n,即v+dv-(n·dv)n,稱其與原向量v的差dv-(n·dv)n為v沿曲線C的絕對(duì)微分,記為Dv[8].事實(shí)上,表達(dá)式dv-(n·dv)n表明絕對(duì)微分就是增量dv在切平面上的投影,所以絕對(duì)微分仍是曲面上的向量.

接下來,基于平直空間中向量經(jīng)過平移其微分為0這一性質(zhì),思考絕對(duì)微分為0,即Dv=0的兩層含義.其一是通過絕對(duì)微分的表達(dá)式得到dv=(n·dv)n,該等式表明由平移產(chǎn)生的增量dv沿法方向;其二是利用n沿切平面的分量表達(dá)式v+dv-(n·dv)n,得到n沿切平面的分量就是原向量v.這兩種含義都直接表明:在不考慮法方向分量的情況下,向量v經(jīng)過平移未發(fā)生改變.由此可以看出絕對(duì)微分保證了平面上向量平移的兩點(diǎn)性質(zhì),因此,為得到曲面上向量平行移動(dòng)的概念可以用絕對(duì)微分替代普通微分.若DV=0,則稱V沿曲線C是Levi-Civita意義下的平行向量場(chǎng),或稱向量場(chǎng)V是由初始向量v(t0)經(jīng)Levi-Civita平行移動(dòng)所得[7].特別地,在二維平面上,由于DV=dV,所以Levi-Civita平行移動(dòng)歸結(jié)為一般意義上的平移[8].

1.2 微分流形上向量的Levi-Civita平行移動(dòng)的概念

在得到二維曲面上向量平行移動(dòng)的概念后,考慮能否將其推廣至高維歐氏空間.由n維拓?fù)淞餍味x可知,其上任意一點(diǎn)都有一鄰域同胚于n維歐氏空間中的一個(gè)開集.因此,本節(jié)研究n維微分流形上向量的平行移動(dòng),微分流形就是附加了微分結(jié)構(gòu)的拓?fù)淞餍蝃10].

根據(jù)Whitney定理,任意n維微分流形都可以看作充分高維歐氏空間的嵌入子流形[11],由于二維曲面是二維流形在三維歐氏空間的嵌入,所以在微分流形上同樣可以采用向量投影的方法研究向量的平行移動(dòng).與上節(jié)類似,首先介紹一種新的微分法則,即協(xié)變導(dǎo)數(shù).

設(shè)Y是微分流形M上沿曲線段γ: [a,b]→M的向量場(chǎng),則Y沿γ的分布可表示為Y(t)=Yγ(t),而導(dǎo)向量場(chǎng)dY/dt一般不再與M相切,所以將其向切空間TpM做投影π,稱π(dY/dt)為向量場(chǎng)Y沿曲線γ的協(xié)變導(dǎo)數(shù),記為DY/dt.根據(jù)二維曲面上向量的Levi-Civita平行移動(dòng)滿足絕對(duì)微分為0的性質(zhì),同樣令這里的協(xié)變導(dǎo)數(shù)DY/dt=0,得到微分流形上向量的Levi-Civita平行移動(dòng),稱向量場(chǎng)Y沿曲線γ是平行向量場(chǎng)[12].

2 Levi-Civita聯(lián)絡(luò)

通過Levi-Civita平行移動(dòng),可以在微分流形上任意兩點(diǎn)的切空間之間建立一個(gè)同構(gòu)關(guān)系,即平移同構(gòu),而平移同構(gòu)決定了微分流形上一個(gè)十分重要的幾何概念,即聯(lián)絡(luò)[1].因此,可以通過聯(lián)絡(luò)從另一角度認(rèn)識(shí)和理解Levi-Civita平行移動(dòng).

首先,對(duì)于上節(jié)所討論的向量場(chǎng)Y沿曲線γ的協(xié)變導(dǎo)數(shù)DY/dt,若僅令微分流形M上任意一曲線γ滿足γ(t0)=p,γ′(t0)=Xp,則稱(DY/dt)p=DXpY為向量場(chǎng)Y在Q點(diǎn)沿Xp的方向?qū)?shù),且滿足以下性質(zhì):

(i) DfX+hYZ=fDXZ+hDYZ;

(ii) DX(fY+hZ)=(Xf)Y+fDXY+(Xh)Z+hDXZ.

其中X,Y,Z為M上任意可微向量場(chǎng)且f,h∈C1(M)[10].

上述定義仍是將微分流形作為歐氏空間的嵌入子流形考慮所得,接下來僅從微分流形本身出發(fā),考慮其上向量場(chǎng)的微分.通過以上兩個(gè)性質(zhì)可以給出一個(gè)類似的結(jié)構(gòu)定義,即線性聯(lián)絡(luò).

定義1[10]設(shè)M是m維光滑流形,將其上全體光滑向量場(chǎng)所成之集記為X(M),并記M上光滑函數(shù)的集合為C∞(M).M上的線性聯(lián)絡(luò)是一個(gè)映射

且對(duì)于任意的X,Y,Z∈X(M)和任意的f,h∈C∞(M),滿足:

由定義1知，聯(lián)絡(luò)的本質(zhì)就是微分流形上向量場(chǎng)的一種與坐標(biāo)選擇無關(guān)的方向?qū)?shù)[11]，則前文中關(guān)于平行向量場(chǎng)的定義轉(zhuǎn)化為：設(shè)X是沿曲線γ:[a,b]→M定義的向量場(chǎng)，若γ′(X)=0，則稱X沿γ是平行的.下面探究聯(lián)絡(luò)的幾何意義.對(duì)任意向量v∈Tγ(a)M，若存在沿γ的平行向量場(chǎng)X使得X(a)=v，X(b)=v則稱向量v∈Tγ(a)M是向量v沿曲線γ作Levi-Civita平行移動(dòng)得到的結(jié)果.由常微分方程組解的存在唯一性定理知，這樣的向量場(chǎng)是唯一存在的[1].因此，有如下命題：

命題1[1]給定曲線γ:[a,b]→M,對(duì)任意的向量v∈Tγ(a)M,存在唯一沿γ的平行向量場(chǎng)X使得X(a)=v,從而唯一存在v∈Tγ(b)M作為v沿γ的平行移動(dòng)的結(jié)果.

對(duì)于命題1中的曲線γ,若γ為浸入曲線則對(duì)其做微小分割即可[1].

由此,得到聯(lián)絡(luò)的幾何意義就是兩個(gè)相鄰的切空間借助沿兩點(diǎn)連線的平行移動(dòng)建立的同構(gòu)關(guān)系[11],這里的同構(gòu)關(guān)系也闡釋了“聯(lián)絡(luò)”這一概念的含義.

一個(gè)微分流形上存在較多聯(lián)絡(luò)[1],為得到更好的性質(zhì),主要研究黎曼流形上一種特殊的聯(lián)絡(luò),它僅依賴于黎曼度量g.由于方向?qū)?shù)作為聯(lián)絡(luò)是無撓的,且二維曲面的絕對(duì)微分D滿足D(X·Y)=DX·Y+X·DY[10],即D與度量相容.將上述兩個(gè)性質(zhì)推廣到黎曼流形上,得到黎曼流形M上Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的定義.

定義2[10]設(shè)是光滑黎曼流形(M,g)上的一個(gè)線性聯(lián)絡(luò),若對(duì)任意的X,Y,Z∈X(M),滿足:

(ii)X〈Y,Z〉=〈XY,Z〉+〈Y,XZ〉,

3 Levi-Civita平行移動(dòng)的性質(zhì)

微分流形上向量場(chǎng)的Levi-Civita平行移動(dòng)是歐氏幾何中平面上向量平行移動(dòng)的推廣，兩者在形式上截然不同，但在本質(zhì)上有著相通之處.

首先,歐氏平面上的普通平移具有以下3個(gè)重要性質(zhì):

(i) 在歐氏平面上對(duì)任意向量v進(jìn)行平移,其微分dv=0;

(ii) 向量在平移過程中保持長度和兩向量夾角不變;

(iii) 歐氏平面上直線的切向量沿直線相互平行.

接下來,通過以上歐氏平移的基本性質(zhì),類比可以得到微分流形上的Levi-Civita平行移動(dòng)也有相仿的性質(zhì):

引理1 微分流形上向量場(chǎng)的Levi-Civita平行移動(dòng)具有如下性質(zhì):

(a) 若微分流形上向量場(chǎng)X沿曲線γ是平行向量場(chǎng),則有γ′X=0;

(b) 在沿曲線的Levi-Civita平行移動(dòng)下,向量長度與兩向量夾角不發(fā)生改變;

(c) 微分流形中測(cè)地線的切向量場(chǎng)沿測(cè)地線本身是一個(gè)平行向量場(chǎng)[2].

證明首先,根據(jù)Levi-Civita平行移動(dòng)的定義易得(a).

其次考慮(b).顯然一般的聯(lián)絡(luò)不都具有這一性質(zhì)，但是(b)在Levi-Civita聯(lián)絡(luò)上是成立的.設(shè)是黎曼流形M上的Levi-Civita聯(lián)絡(luò),X和Y是沿曲線γ平行的向量場(chǎng),即γ′X=γ′Y=0.由Levi-Civita聯(lián)絡(luò)的與度量相容性可知

因此,對(duì)任意兩個(gè)沿曲線γ平行的向量,在Levi-Civita平行移動(dòng)下其黎曼內(nèi)積保持不變,所以向量長度與兩向量夾角不發(fā)生改變.

下證(c).由于微分流形上的測(cè)地線是歐氏空間中“直線”概念的推廣[13],所以考慮微分流形中測(cè)地線的切向量場(chǎng)沿測(cè)地線本身是否是一個(gè)平行向量場(chǎng).

設(shè)γ:[a,b]→M是微分流形M上的測(cè)地線,則有

由Levi-Civita平行移動(dòng)定義,證得(c).事實(shí)上,這一性質(zhì)也給出了微分流形上測(cè)地線的另一定義:如果微分流形上一曲線的切向量場(chǎng)關(guān)于曲線本身是平行的,則該曲線為測(cè)地線[2].

4 總結(jié)

通過對(duì)文獻(xiàn)的考證與研究,本文對(duì)于如何自然地引出向量Levi-Civita平行移動(dòng)的概念及其性質(zhì)作出了完善,循序漸進(jìn)地將所討論的空間由平直空間推廣至二維曲面進(jìn)而推廣至微分流形,借助聯(lián)絡(luò)表明了研究Levi-Civita平行移動(dòng)的重要意義,并通過與歐氏平移的基本性質(zhì)類比,得到了Levi-Civita平行移動(dòng)的基本性質(zhì).