采用自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制的精沖機雙驅(qū)動協(xié)調(diào)控制系統(tǒng)

劉艷雄 王根聚華 林趙新浩

1.武漢理工大學(xué)現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室，武漢，4300702.汽車零部件技術(shù)湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，武漢，430070

0 引言

精沖技術(shù)作為一種先進的塑性成形技術(shù)，在汽車、機械、軍工等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。由于精沖成形需要提供主沖裁力、壓邊力和反頂力，因此精沖工藝需要有專用裝備?，F(xiàn)有的精沖成形裝備主要為液壓式，即主傳動運動由液壓系統(tǒng)驅(qū)動，適用于中厚板的復(fù)合精沖成形。精沖市場的日益擴大對精沖的生產(chǎn)效率提出了越來越高的要求，而液壓精沖機不能滿足高速精沖對沖裁頻次的要求。近年來，瑞士Feintool公司率先推出的機械伺服驅(qū)動高速精沖機最大成形載荷為2.5 MN，沖壓頻次可以達到200次/min。

我國在高速精沖領(lǐng)域的研究尚處于起步階段，設(shè)計的精沖機主要是單自由度的，即由一個電機通過曲柄肘桿機構(gòu)帶動滑塊運動。單電機驅(qū)動的精沖機機械增益較小，滑塊急回特性較差，只能用于一些小工件的沖壓生產(chǎn)。二自由度高速精沖機傳動機構(gòu)較復(fù)雜，如果2個伺服電機的運動不同步，則可能發(fā)生運動干涉，降低精沖機沖裁質(zhì)量。有學(xué)者針對伺服電機控制系統(tǒng)非線性、強耦合的特點，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制來調(diào)節(jié)電機轉(zhuǎn)速，但滑模變結(jié)構(gòu)控制在構(gòu)造切換函數(shù)的同時會產(chǎn)生抖振效應(yīng)。因此，本文采用模糊算法對滑模變結(jié)構(gòu)的切換增益進行優(yōu)化，實現(xiàn)切換增益的自適應(yīng)，有效降低了滑模變結(jié)構(gòu)控制抖振效應(yīng)。

1 精沖機驅(qū)動系統(tǒng)運動分析

1.1 精沖機的傳動結(jié)構(gòu)

圖1所示的二自由度高速精沖機結(jié)構(gòu)由曲柄OA、DC，連桿AB、CB，肘桿BE，以及滑塊E組成。工作過程中，曲柄OA順時針旋轉(zhuǎn)，曲柄DC逆時針旋轉(zhuǎn)。沖壓過程中，曲柄OA提供沖裁力，曲柄DC協(xié)調(diào)滑塊運動速度?；瑝K上行和回程過程中，曲柄DC帶動滑塊快速運行從而縮短空載階段運行時間，提高沖裁效率。

圖1 精沖機主傳動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)[3]

1.2 精沖機的運動學(xué)模型

利用閉環(huán)矢量方程法對封閉結(jié)構(gòu)OABCD和封閉結(jié)構(gòu)OABE建立如下閉環(huán)矢量方程[3]：

(1)

式中，a為O、D之間的水平距離；b為O、D之間的垂直距離；L1、L2、L3分別為連桿1、連桿2和連桿3的長度；R1、R2分別為曲柄OA、DC的長度；S為滑塊的位移；α1為曲柄OA的角位移，由伺服電機1輸出轉(zhuǎn)角經(jīng)過減速機構(gòu)確定；α2為曲柄DC的角位移，由伺服電機2輸出轉(zhuǎn)角經(jīng)過減速機構(gòu)確定；θ1、θ2、θ3分別為連桿1、連桿2、連桿3的角位移。

將式(1)沿著X軸、Y軸正交分解可得

(2)

確定α1和α2后，可解出未知量θ1、θ2、θ3、S。由裝配關(guān)系可得各桿件的角位移和滑塊的位移：

(3)

各桿件的角速度和滑塊的速度：

(4)

式中，ω1、ω2、ω3分別為連桿1、連桿2、連桿3的角速度；ωα1、ωα2分別為曲柄OA、曲柄DC的角速度；v為滑塊速度。

1.3 伺服電機的運動學(xué)模型

為保證每個電機在運行過程中不出現(xiàn)加速度和速度的突變，減小對滑塊的沖擊和振動，采用三角函數(shù)作為加減速函數(shù)使速度曲線柔性過渡[1]。

曲柄OA的轉(zhuǎn)速為

ω1(t)=

曲柄DC的轉(zhuǎn)速為

ω2(t)=

式中，ω11、ω21分別為曲柄OA、DC加速后勻速段的速度；ω12、ω22分別為曲柄OA、DC減速后勻速段的速度；t11、t21分別為曲柄OA、DC加速后勻速段的保持時間；t12、t22分別為曲柄OA、DC減速后勻速段的保持時間。

1.4 精沖機雙伺服驅(qū)動協(xié)同控制策略

針對雙伺服電機聯(lián)合驅(qū)動的精沖機，本文提出如圖2所示的控制策略來實現(xiàn)精沖機滑塊位移和速度的柔性變化，其中，n*為系統(tǒng)給定的輸入轉(zhuǎn)速，n1、n2分別為伺服電機1和伺服電機2的輸出轉(zhuǎn)速，e1、e2分別為伺服電機1和伺服電機2輸入轉(zhuǎn)速與輸出轉(zhuǎn)速之間的差值，TL為干擾信號。

圖2 精沖機雙伺服驅(qū)動協(xié)同控制策略

由于傳動系統(tǒng)轉(zhuǎn)動慣量的周期性波動以及負載干擾的影響，精沖機在運行過程中必然產(chǎn)生速度和位移的跟蹤誤差，因而每個周期的實際運動會偏離預(yù)先設(shè)定的運動[2]。這種偏差可能對雙電機運動產(chǎn)生干涉，通過構(gòu)建自適應(yīng)滑?？刂破?，利用位置傳感器和速度傳感器的反饋，實現(xiàn)對位置偏差和速度偏差的動態(tài)調(diào)節(jié)，保證雙電機驅(qū)動過程中的協(xié)調(diào)同步[3-4]。

3 自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計

3.1 滑模變結(jié)構(gòu)控制規(guī)律設(shè)計

由永磁同步電機磁場定向控制理論可知伺服電機的動力學(xué)模型：

(5)

Te=ktIqkt=1.5npφ

式中，J為傳動系統(tǒng)折算到電機輸出軸上的等效轉(zhuǎn)動慣量；kt為伺服電機轉(zhuǎn)矩常量；TL為轉(zhuǎn)軸上承受的負載轉(zhuǎn)矩；B為伺服電機黏滯阻尼系數(shù)；np為伺服電機極對數(shù)；θr為電機轉(zhuǎn)角，是t的函數(shù)；φ為每相繞組的匝鏈永磁磁鏈值；Iq為伺服電機交軸電流。

精沖機伺服電機的額定轉(zhuǎn)矩較大，由黏滯阻尼產(chǎn)生的摩擦力矩可以忽略不計[5]。本文在分析中將負載轉(zhuǎn)矩波動和摩擦力矩統(tǒng)一視為系統(tǒng)擾動因素，為使該控制系統(tǒng)更具一般性，選擇正態(tài)分布為擾動作用的擬合函數(shù)。令

則式(5)變?yōu)?/p>

(6)

取e=θr-θ，則切換函數(shù)s=de/dt+ce，其中，e為系統(tǒng)給定角位移和伺服電機實際角位移之間的誤差，c為常數(shù)。對切換函數(shù)s求導(dǎo)，有

系統(tǒng)處于任意狀態(tài)時，采用指數(shù)趨近方式使系統(tǒng)快速趨近滑模面，則有

式中，ζ為常數(shù)且ζ>0；k為指數(shù)趨近律趨近系數(shù)。

為保證控制作用能完全消除擾動影響，取

K(t)=max|d(t)|+Ω

其中，K(t)為滑?？刂破髑袚Q增益，常量Ω>0，則滑?？刂破鬏敵鰹?/p>

為保證控制器輸出收斂，下面對其穩(wěn)定性進行分析。取拉普諾夫函數(shù)V=s2/2，則

s(-ζsgns-ks)≤-ζ|s|-ks2=-kV/2-ζ|s|≤0

由拉普諾夫不等式及滑模存在條件可知該控制器收斂。

3.2 自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的設(shè)計

滑模控制的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)不是固定的，可依照系統(tǒng)位移偏差及其導(dǎo)數(shù)等狀態(tài)變量的變化而動態(tài)調(diào)整，從而迫使系統(tǒng)按照預(yù)定設(shè)計的滑動模態(tài)狀態(tài)軌跡運動，本文將預(yù)先設(shè)計的滑動模態(tài)狀態(tài)軌跡所在的平面稱為滑模面[6-7]。由于切換增益K(t)的存在，當(dāng)系統(tǒng)由任意狀態(tài)接近滑模面時，切換增益不能變化，導(dǎo)致系統(tǒng)在接近滑模面時不能嚴格沿著滑模面向平衡點運動，而是在滑模面兩側(cè)來回穿梭，造成系統(tǒng)抖振[8]。

抖振對系統(tǒng)穩(wěn)定運行是一個巨大挑戰(zhàn)，本文基于模糊控制理論，利用模糊逼近原則對滑模變結(jié)構(gòu)切換增益K(t)進行補償，從而實現(xiàn)滑模變結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)。

要保證系統(tǒng)在擾動作用下快速運動到滑模面，K(t)必須消除擾動影響，由滑模存在條件sds/dt<0設(shè)計模糊推理規(guī)則。定義系統(tǒng)輸入、輸出的模糊集：

F={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}

ΔK={NB, NM, NS, ZO, PS, PM, PB}

式中，NB表示負大；NM表示負中；NS表示負??；ZO表示零；PS表示正??；PM表示正中；PB表示正大。

考慮到滑模存在性條件，設(shè)定模糊推理原則：

如果F>0，則K(t)增大。

如果F<0，則K(t)減小。

設(shè)模糊推理規(guī)則為：

R1: ifFis PB then ΔKis PB

R2: ifFis PM then ΔKis PM

R3: ifFis PS then ΔKis PS

R4: ifFis ZO then ΔKis ZO

R5: ifFis NS then ΔKis NS

R6: ifFis NM then ΔKis NM

R7: ifFis NB then ΔKis NB

為了減小穩(wěn)態(tài)誤差，采用積分法對ΔK上界進行預(yù)估，得到K(t)的上界預(yù)估值：

式中，G為積分算子，一般由經(jīng)驗確定。

得到自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制規(guī)律：

(7)

4 仿真實驗與結(jié)果分析

4.1 指數(shù)趨近參數(shù)分析

自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制規(guī)律中的指數(shù)趨近項ds/dt=-ks對系統(tǒng)從任意狀態(tài)向滑模面的運動過程有很大影響，指數(shù)趨近參數(shù)k越大，系統(tǒng)從任意狀態(tài)向滑動模態(tài)運動的速度越高，調(diào)整時間越短。過大的k可能會導(dǎo)致系統(tǒng)在接近滑動模態(tài)時產(chǎn)生較大的抖振，因此需要對k進行科學(xué)判定[9]。

設(shè)伺服電機1的轉(zhuǎn)矩常量kt1=12.66 N·m/A，極對數(shù)np1=12，電機轉(zhuǎn)動慣量J1=0.0298 kg·m2，最大角速度為20π/3 rad/s，最大角加速度為500π/3 rad/s2。伺服電機2的轉(zhuǎn)矩常量kt2=3.18 N·m/A，極對數(shù)np2=12，電機轉(zhuǎn)動慣量J1=0.0211 kg·m2，最大角速度為 10π rad/s，最大角加速度為 1000π/3 rad/s2。

通過MATLAB/Simulink搭建控制模型，采用式(7)的控制規(guī)律，指令信號θr=sin 2πt，取c=150，G=400，不同k的仿真結(jié)果如圖3所示，可知，隨著k的增大，對應(yīng)的相軌跡趨近平衡點的時間縮短。為在提升趨近速率的同時降低滑模抖振的影響，選擇k=20。

圖3 不同k的趨近律趨近滑模面的示意圖

4.2 自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制策略仿真分析

圖4 傳統(tǒng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的輸出

圖5 自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的輸出

按照表1所示的電機參數(shù)，在多體動力學(xué)軟件Adams中建立精沖機動力學(xué)模型，并將其導(dǎo)入MATLAB進行聯(lián)合仿真。以沖裁8 mm板料為例進行仿真分析，得到自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器作用下的伺服電機轉(zhuǎn)矩、曲柄轉(zhuǎn)速，以及滑塊的位移和速度，如圖6～圖9所示。

表1 電機主要技術(shù)參數(shù)

圖6 不帶負載的伺服電機轉(zhuǎn)矩曲線

圖7 雙曲柄轉(zhuǎn)速曲線

圖8 滑塊位移曲線

圖9 滑塊速度曲線

由圖7可以看出，精沖機運動過程中，主電機最高轉(zhuǎn)速為 20π/3 rad/s，副電機最高轉(zhuǎn)速為10π rad/s，且高低速之間的加減速函數(shù)采用三角函數(shù)曲線進行柔性過渡，以符合轉(zhuǎn)速設(shè)計要求。由圖8、圖9可以看出，精沖機在運行過程中，滑塊可以實現(xiàn)快速向上合模以及回程運動。在沖裁階段則保持勻低速運行，保證沖裁質(zhì)量。

由圖6、圖10可以看出，空載工況下，主電機最大轉(zhuǎn)矩為 2400 N·m，副電機最大轉(zhuǎn)矩為 3300 N·m。主副電機的轉(zhuǎn)矩峰值均出現(xiàn)在滑塊運動反向時，這是因為滑塊及傳動系統(tǒng)慣性導(dǎo)致負載轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生較大突變，使電機輸出轉(zhuǎn)矩發(fā)生突變。負載工況下，主電機提供沖裁力，其峰值轉(zhuǎn)矩為16 000 N·m，副電機協(xié)調(diào)滑塊轉(zhuǎn)速，實現(xiàn)急回運動，其峰值轉(zhuǎn)矩為2900 N·m。主副電機的轉(zhuǎn)矩峰值出現(xiàn)在沖裁階段，且主電機輸出轉(zhuǎn)矩隨沖裁時間的延長而不斷減小，表明板料對滑塊的阻力隨著沖裁深度的增大而不斷減小。

圖10 伺服電機轉(zhuǎn)矩(負載3200 kN)

4.3 基于傳動系統(tǒng)桿系剛?cè)狁詈系膭恿W(xué)建模

經(jīng)典的系統(tǒng)多體動力學(xué)中，為簡化機械結(jié)構(gòu)受力，建模時一般將構(gòu)件看成剛體，即構(gòu)件在受到外力作用時不考慮其彈性變形的影響[11]。對于運動速度較低的沖壓機，在動力學(xué)分析中將其機械構(gòu)件簡化為剛體來處理基本可滿足分析要求。高速機械式精沖機的各構(gòu)件運動較快，會產(chǎn)生較大的系統(tǒng)慣性力，采用剛體建模無法滿足控制精度的要求。將傳動系統(tǒng)構(gòu)件由剛體轉(zhuǎn)換成彈性體[12]，分析精沖機主傳動系統(tǒng)在自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器作用下的運動情況。

傳動系統(tǒng)中彈性桿受力如圖11所示，設(shè)彈性桿兩端節(jié)點分別為A1、B1，桿長為L，兩節(jié)點處的縱向位移分別為u1(t)、u2(t)，兩節(jié)點處所受外力分別為FA1(t)、FB1(t)，u(x,t)為任意截面x處的縱向位移。令

圖11 彈性桿受力示意圖

u(x,t)=c0+c1x

(8)

其中，c0、c1為常數(shù)，邊界條件為u(0,t)=u1(t)，u(L,t)=u2(t)。將邊界條件代入u(x,t)，可得c0、c1。將式(8)寫成

u(x,t)=c0+φ1(x)u1(t)+φ2(x)u2(t)

(9)

其中，φ1(x)、φ2(x)為彈性桿的縱向振動單元型函數(shù)，令y=x/L，則有φ1(x)=1-y，φ2(x)=y。

由理論力學(xué)中的勢能公式可得彈性桿單元的勢能：

式中，E為柔性桿彈性模量；A為桿單元截面積；k為單元剛度矩陣。

彈性桿單元的動能：

(10)

式中，F(xiàn)為廣義力矩陣，F(xiàn)=[FA1(t)FB1(t)]T。

將所求的m、k代入式(9)，可得

(11)

根據(jù)彈性力學(xué)相關(guān)理論對柔性桿連接的上下鉸鏈及機體處進行動力學(xué)分析，可得上鉸鏈動力學(xué)方程：

(12)

下鉸鏈動力學(xué)方程：

(13)

機體動力學(xué)方程：

(k1+k2)x3(t)-k1x2(t)=0

(14)

其中，F(xiàn)′1(t)、F′2(t)分別為彈性桿對上下鉸鏈處的作用力;h1、h2為與彈性材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。彈性桿與桿外系統(tǒng)之間的邊界條件為

聯(lián)立式(10)～式(13)可得廣義力的矩陣形式：

式中，M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；C為系統(tǒng)的阻尼矩陣。

4.4 基于傳動系統(tǒng)桿系剛?cè)狁詈系姆抡娣治?/h3>

機械式高速精沖機的兩曲柄較短，受力變形相對較?。贿B桿1～3較長，柔性較大，故將其作為柔性桿處理，設(shè)置彈性模量E=208 GPa，泊松比ν=0.28。多體動力學(xué)仿真軟件Adams中得到的剛?cè)狁詈蟼鹘y(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)模型如圖12所示。

圖12 主傳動系統(tǒng)剛?cè)狁詈夏Ｐ?/p>

在Adams中對上述模型添加相關(guān)約束和驅(qū)動后，導(dǎo)入MATLAB中與自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)進行聯(lián)合仿真，得到負載3200 kN的剛?cè)狁詈夏Ｐ拖碌幕瑝K位移、滑塊速度、以及伺服電機轉(zhuǎn)矩變化曲線。

由圖13可以看出，將精沖機機械傳動系統(tǒng)視為剛體模型和剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕瑝K位移曲線形態(tài)基本一致。剛體模型的滑塊最大位移為68.75 mm，剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕瑝K最大位移為70.35 mm，這可能是因為滑塊在臨近下死點時的加速度較大，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)所受的慣性力使連桿1～3發(fā)生了一定彈性變形。而在精沖機沖裁階段，剛?cè)狁詈夏Ｐ偷幕瑝K位移比剛體模型的滑塊位移小0.3 mm，且隨著沖裁厚度的加大，二者位移差值減小，說明剛?cè)狁詈夏Ｐ驮跊_裁階段受到板料的阻力作用，連桿1～3發(fā)生了彈性變形，且隨著沖裁阻力的減小，其彈性變形逐步減小。

圖13 滑塊位移曲線

由圖14可以看出，將精沖機傳統(tǒng)系統(tǒng)簡化為剛體模型的滑塊速度曲線形態(tài)和剛?cè)狁詈夏Ｐ突瑝K速度曲線形態(tài)基本一致，但剛?cè)狁詈夏Ｐ拖碌幕瑝K速度出現(xiàn)很多波動，這可能是因為滑塊在加速初期的加速度較大，產(chǎn)生較大的往復(fù)慣性力，連桿1～3發(fā)生彈性變形，導(dǎo)致滑塊速度波動較大?；瑝K在空程階段速度的速度波動小于沖裁階段的速度波動，說明滑塊在沖裁階段受到板料阻力，柔性桿因彈性變形產(chǎn)生的加速度與滑塊速度方向相反并對滑塊速度有一定影響。

圖14 滑塊速度曲線

由圖15可以看出，在空程階段，剛體模型與剛?cè)狁詈夏Ｐ偷乃欧姍C1轉(zhuǎn)矩曲線基本相同；在沖裁階段，剛?cè)狁詈夏Ｐ偷淖畲筠D(zhuǎn)矩比剛體模型的最大轉(zhuǎn)矩大300 N·m，且隨沖裁時間的延長，二者之間的差值逐步減小。這是因為在空程階段，滑塊沒有受到阻力作用，傳動系統(tǒng)中的連桿幾乎不發(fā)生彈性變形。沖裁開始時，滑塊受到較大的板料阻力，連桿1～3發(fā)生彈性變形，從而產(chǎn)生較大的軸向力，伺服電機1負載轉(zhuǎn)矩增大。隨著沖裁深度增大，板料對滑塊運動的阻力減小，連桿的變形也逐漸減小，導(dǎo)致桿系的軸向力逐漸減小，伺服電機1負載轉(zhuǎn)矩同步減小并逐漸恢復(fù)至連桿變形前的狀態(tài)。

圖15 伺服電機1轉(zhuǎn)矩曲線

由圖16可以看出，在空程階段，剛體模型和剛?cè)狁詈夏Ｐ偷乃欧姍C2轉(zhuǎn)矩曲線基本一致，證明此時連桿1～3的彈性變形較小，對伺服電機2運行的影響較小?；瑝K開始沖裁時，在板料阻力作用下，剛?cè)狁詈夏Ｐ椭械倪B桿1～3發(fā)生彈性變形，伺服電機2的負載轉(zhuǎn)矩相對于剛體模型增大了80 N·m，且隨著沖裁深度增大，負載轉(zhuǎn)矩逐漸減小，表明隨著沖裁深度加大，板料對滑塊阻力減小，柔性桿彈性變形逐漸減小。

圖16 伺服電機2轉(zhuǎn)矩曲線

以上分析表明，自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器在保證變結(jié)構(gòu)控制提升非線性系統(tǒng)控制魯棒性、快速響應(yīng)性能的同時，可以有效抑制滑模變結(jié)構(gòu)控制產(chǎn)生的抖振?？紤]到高速精沖機工作時的傳動系統(tǒng)構(gòu)件可能發(fā)生彈性變形，為更切合高速精沖機的實際運行工況，在剛體動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上建立主傳動系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，將Adams建立的精沖機模型和MATLAB建立的控制器進行聯(lián)合仿真，發(fā)現(xiàn)該控制器均可有效協(xié)調(diào)二自由度高速精沖機2個伺服電機的協(xié)調(diào)運轉(zhuǎn)，實現(xiàn)了主電機沖裁階段提供沖壓力、副電機空程階段滑塊快速合模及回程的設(shè)計需求。

5 結(jié)論

針對雙伺服驅(qū)動的機械式高速精沖機，提出了一種自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器來解決雙伺服電機運動過程中的協(xié)調(diào)問題。仿真結(jié)果表明，該控制器可以實現(xiàn)滑模切換增益的自適應(yīng)，在保證魯棒性的同時有效降低滑模變結(jié)構(gòu)控制帶來的抖振。壓力機建模過程中，將傳動系統(tǒng)設(shè)為剛體可能會產(chǎn)生誤差，為切合高速精沖機的實際運行工況，在剛體動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上建立了主傳動系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，Adams/MATLAB聯(lián)合仿真發(fā)現(xiàn)，無論主傳動系統(tǒng)為剛體模型還是剛?cè)狁詈夏Ｐ停摽刂破骶苁怪麟姍C在沖裁階段提供沖裁力，使副電機滿足滑塊速度的設(shè)計需求，保證精沖機主傳動系統(tǒng)高效工作。