需求與研發(fā)水平不確定下Stackelberg 博弈研發(fā)投資決策

謝祥添

(廣東金融學(xué)院科技金融重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州 510521)

隨著市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的加劇，企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)已經(jīng)從產(chǎn)品延伸至研發(fā)［1-2］。研發(fā)不僅能為企業(yè)提供新的收入增長(zhǎng)點(diǎn)，還可以提升企業(yè)的競(jìng)爭(zhēng)力，成為企業(yè)贏得競(jìng)爭(zhēng)優(yōu)勢(shì)的重要手段，此外研發(fā)還有溢出效應(yīng)，推動(dòng)社會(huì)的進(jìn)步。研發(fā)具有長(zhǎng)期性、創(chuàng)造性和新穎性，需要企業(yè)持續(xù)投入大量的人力和物力。因而，研發(fā)投資成為企業(yè)戰(zhàn)略的重要組成部分。在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下，提前研發(fā)投資會(huì)失去未來不確定性的期權(quán)價(jià)值，特別是需求不確定性的期權(quán)價(jià)值［3-5］，推遲則會(huì)由于競(jìng)爭(zhēng)者搶先研發(fā)投資而失去“先占優(yōu)勢(shì)”［6-8］，甚至是競(jìng)爭(zhēng)者搶先研發(fā)投資的研發(fā)成果（如專利）排他性而失去整個(gè)市場(chǎng)［9-10］。研發(fā)投資時(shí)機(jī)成為企業(yè)要解決的問題，而解決這個(gè)問題的方法是期權(quán)博弈。期權(quán)博弈結(jié)合實(shí)物期權(quán)和博弈論的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)物期權(quán)具有不可逆性、不確定性以及柔性的特點(diǎn)，解決期權(quán)價(jià)值問題，博弈論則充分考慮競(jìng)爭(zhēng)的相互作用，解決策略選擇問題。因此，期權(quán)博弈適合在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下的研發(fā)投資［11］。

對(duì)于運(yùn)用期權(quán)博弈研究研發(fā)投資問題，最近十幾年受到眾多學(xué)者的關(guān)注。最早建立期權(quán)博弈模型的是Smets［12］，他指出在雙寡頭壟斷條件下，非合作行為會(huì)導(dǎo)致不對(duì)稱的領(lǐng)先者與追隨者均衡。Dixit等［13］309，Huisman 等［14］6分別對(duì)Smets［12］模型進(jìn)行了擴(kuò)展。其中，Dixit 等［13］313-314討論了領(lǐng)先者與追隨者內(nèi)生（不指定誰是領(lǐng)先者，誰是追隨者）和外生（預(yù)先設(shè)定誰是領(lǐng)先者，誰是追隨者）兩種情況，提出在內(nèi)生情況下，每個(gè)企業(yè)都會(huì)搶先投資爭(zhēng)取成為領(lǐng)先者，而在外生情況下，在領(lǐng)先者投資之前，追隨者不應(yīng)投資。Huisman 等［14］2指出雙寡頭競(jìng)爭(zhēng)有3 種情景：搶先均衡，共同均衡，以及當(dāng)不確定性較低，以搶先均衡為主；當(dāng)不確定性較高，則以帕累托均衡為主。以上研究的是連續(xù)期權(quán)博弈，也有部分學(xué)者研究了離散期權(quán)博弈。如，Smit 等［15］建立一個(gè)離散期權(quán)博弈研發(fā)投資模型，指出在完全競(jìng)爭(zhēng)下，由于競(jìng)爭(zhēng)者進(jìn)入導(dǎo)致項(xiàng)目?jī)r(jià)值損失，企業(yè)選擇提前研發(fā)投資；在完全壟斷下，企業(yè)傾向于推遲研發(fā)投資；而寡頭壟斷介于這兩個(gè)極端之間，當(dāng)市場(chǎng)需求不確定時(shí)，企業(yè)推遲研發(fā)投資，當(dāng)競(jìng)爭(zhēng)激烈時(shí)，企業(yè)搶先研發(fā)投資。接著，Smit［16］基于Smit等［15］的研究分析了歐洲機(jī)場(chǎng)的擴(kuò)建，提出擁有更好基礎(chǔ)設(shè)施和更小發(fā)展阻力的機(jī)場(chǎng)具有更好的增長(zhǎng)期權(quán)，因而能從競(jìng)爭(zhēng)中獲勝。

研發(fā)投資除了與普通投資需要面對(duì)市場(chǎng)不確定性外，還需要面對(duì)技術(shù)不確定性。最近關(guān)于這方面的研究逐漸增多。如，Cassimon 等［17］，Pennings 等［18］考慮市場(chǎng)與技術(shù)不確定性，采用歐式復(fù)合期權(quán)方法研究了藥物研發(fā)投資。Leung 等［19］考慮開發(fā)新產(chǎn)品時(shí)市場(chǎng)和技術(shù)不確定性，采用期權(quán)博弈研究了現(xiàn)有企業(yè)和進(jìn)入企業(yè)的不對(duì)稱競(jìng)爭(zhēng)戰(zhàn)略均衡，得到了3種馬爾可夫鏈均衡（序貫均衡，搶先均衡和同時(shí)均衡）。Nishihara［20］考慮市場(chǎng)、技術(shù)和搶先不確定性，建立了一個(gè)研發(fā)投資評(píng)估和優(yōu)化模型，通過對(duì)模型的敏感性分析得出：企業(yè)隨著自身研發(fā)水平提高而提前研發(fā)投資，研發(fā)時(shí)間不確定性會(huì)導(dǎo)致競(jìng)爭(zhēng)者搶先研發(fā)投資。本研究除了分析自身研發(fā)水平對(duì)研發(fā)投資的影響外，還分析了競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)水平對(duì)研發(fā)投資的影響，指出企業(yè)會(huì)隨著競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)水平的提高而推遲研發(fā)投資。國(guó)內(nèi)關(guān)于技術(shù)不確定研發(fā)投資的文獻(xiàn)有雷星暉等［21］、孫艷梅等［22］以及曹博洋等［23］。其中，曹博洋等［23］利用歐式復(fù)合期權(quán)理論，建立研發(fā)項(xiàng)目投資決策數(shù)學(xué)模型，得到納什均衡下的最優(yōu)研發(fā)投資決策。雷星暉和李來?。?1］采用期權(quán)博弈分析了兩家實(shí)力均衡的企業(yè)在進(jìn)行研發(fā)投資決策時(shí)采取的策略，給出了不同策略下最優(yōu)研發(fā)投資時(shí)機(jī)。孫艷梅等［22］在技術(shù)不確定環(huán)境下，構(gòu)建研發(fā)水平和投資成本均不對(duì)稱的雙寡頭期權(quán)博弈模型，得到3 種投資均衡（序貫均衡，搶先均衡和同時(shí)均衡），提出企業(yè)隨著自身研發(fā)水平的提高將提前投資，隨著競(jìng)爭(zhēng)者的研發(fā)水平增加而推遲投資。上述文獻(xiàn)測(cè)量研發(fā)技術(shù)不確定性，主要通過研發(fā)時(shí)間表示，但是在實(shí)踐中研發(fā)時(shí)間難以測(cè)算。因此，本研究通過研發(fā)成功率表示，同時(shí)假設(shè)研發(fā)成功率服從泊松分布，并且考慮競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功對(duì)需求的影響，構(gòu)建了需求服從帶隨機(jī)跳躍的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。

以上文獻(xiàn)假設(shè)研發(fā)項(xiàng)目未來收益固定或服從一定的分布，博弈焦點(diǎn)為研發(fā)投資的時(shí)機(jī)。在實(shí)際中，有相當(dāng)一部分行業(yè)（例如醫(yī)藥行業(yè)，兩家企業(yè)同時(shí)對(duì)某一治療功能相同的藥物進(jìn)行研發(fā)，兩家企業(yè)相繼研發(fā)成功后，還需要把研發(fā)成果轉(zhuǎn)化為產(chǎn)品出售，其中生產(chǎn)多少也會(huì)博弈）的博弈還會(huì)延伸至研發(fā)產(chǎn)品的產(chǎn)量博弈。產(chǎn)量博弈主要有Cournot duopoly 博弈和Stackelberg 博弈。Smit 等［24］考慮市場(chǎng)需求不確定，研究了Cournot duopoly 博弈期權(quán)投資決策，給出了領(lǐng)先者與追隨者的投資閾值。與該文獻(xiàn)不同，本研究預(yù)先設(shè)定領(lǐng)先者與追隨者角色，所以采用Stackelberg 博弈，研究不僅給出了投資閾值，還給出了Stackelberg 博弈均衡。

綜上，本研究的貢獻(xiàn)在于將投資博弈延伸至研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量博弈，運(yùn)用Stackelberg 博弈理論構(gòu)建了領(lǐng)先者與追隨者研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，考慮需求與研發(fā)水平不確定性，以及研發(fā)競(jìng)爭(zhēng)，運(yùn)用期權(quán)博弈理論建立領(lǐng)先者與追隨者研發(fā)投資決策模型，通過模型的分析得出了搶先均衡和序貫均衡，同時(shí)，分析了需求波動(dòng)、研發(fā)水平和競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功致使自身需求下降對(duì)研發(fā)投資決策的影響，這些研究有助于企業(yè)在競(jìng)爭(zhēng)環(huán)境下研發(fā)投資決策。

1 模型的建立

1.1 基本假設(shè)

假設(shè)1：考慮有兩家企業(yè)分別對(duì)同質(zhì)產(chǎn)品項(xiàng)目進(jìn)行研發(fā)投資，投資成本為I，假設(shè)單位成本低的為領(lǐng)先者，該成本設(shè)為ci,單位成本高的為追隨者，該成本設(shè)為cj。（該假設(shè)符合大部分實(shí)際情況，領(lǐng)先者通常生產(chǎn)效率較高或者生產(chǎn)規(guī)模較大，最終表現(xiàn)為較低的單位成本）。

假設(shè)2：領(lǐng)先者與追隨者的平均研發(fā)成功率分別為λi和λj，它們都服從泊松分布。

假設(shè)3：領(lǐng)先者與追隨者之間的生產(chǎn)競(jìng)爭(zhēng)為Stackelberg 博弈，領(lǐng)先者根據(jù)追隨者最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)決定產(chǎn)量Qi，追隨者根據(jù)領(lǐng)先者產(chǎn)出決定產(chǎn)量Qj。

假設(shè)4：考慮價(jià)格隨需求的增加而增加，隨產(chǎn)量的增加而減少，構(gòu)建價(jià)格關(guān)于產(chǎn)量函數(shù)：

其中，Q為總產(chǎn)量，它等于Qi+Qj。η 為價(jià)格關(guān)于產(chǎn)量的敏感性系數(shù)。在不對(duì)研究結(jié)論產(chǎn)生影響前提下，為了簡(jiǎn)便，設(shè)η=1。Y為需求，它服從帶跳躍的幾何布朗運(yùn)動(dòng)，其表達(dá)式為：

其中，(k=i,n=j)表示領(lǐng)先者需求波動(dòng)，(k=j,n=i)為追隨者需求波動(dòng)，等式右邊前兩項(xiàng)表示需求變化服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，α是需求增長(zhǎng)率,σ是需求波動(dòng)率,dz是服從均值為零，標(biāo)準(zhǔn)差為(dt)1/2 的標(biāo)準(zhǔn)維納運(yùn)動(dòng)。第3 項(xiàng)表示競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功對(duì)自身需求的影響，φ是下降幅度，dqn是研發(fā)平均成功率為λn的泊松過程增量：

1.2 產(chǎn)量Stackelberg 博弈模型

當(dāng)領(lǐng)先者與追隨者的產(chǎn)量分別為Qi和Qj時(shí)，領(lǐng)先者與追隨者的利潤(rùn)函數(shù)為：

對(duì)式(4)求關(guān)于Qi一次導(dǎo)數(shù)為0，可得領(lǐng)先者的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)：

同理，可得追隨者的最優(yōu)產(chǎn)量反應(yīng)函數(shù)：

根據(jù)Stackelberg 博弈，把式（7）代入式（4）可求解出領(lǐng)先者的最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)利潤(rùn)分別為：

因?yàn)轭I(lǐng)先者的研發(fā)平均成功率為λi，服從泊松分布，所以其最優(yōu)期望利潤(rùn)為：

把Qi*代入式(5)可求解出追隨者的最優(yōu)產(chǎn)量和最優(yōu)利潤(rùn)分別為：

同理，可得追隨者的最優(yōu)期望利潤(rùn)為：

此外，若領(lǐng)先者先研發(fā)投資，那么將得到追隨者未投資的壟斷利潤(rùn)為：Πi(Qi,Qj=0)=［Y/(Qi)-ci］Qi=Y-ciQi。假設(shè)至少生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品，所以此時(shí)領(lǐng)先者的最優(yōu)期望利潤(rùn)為：

1.3 追隨者投資決策模型

Stackelberg 博弈，采用逆向求解，假設(shè)領(lǐng)先者已投資，企業(yè)在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下，設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率r(r〉α)為貼現(xiàn)因子，設(shè)YF為追隨者投資臨界值。當(dāng)Y≤YF時(shí)，追隨者價(jià)值滿足最優(yōu)貝爾曼方程：

根據(jù)式(2)，以及結(jié)合伊藤引理,可得：

解式（16）可得F(Y)的形式：

把式（17）代入式（16）可得β1j和β2j滿足以下方程：

因?yàn)镚j(0)=-r〈0，Gj(1)=α-r-λiφ〈0 和Gj(-∞)=∞，Gj(∞)=∞，所以存在一個(gè)小于0 的負(fù)根和一個(gè)大于1的正根。又因?yàn)镕(0)=0，設(shè)β1j為正根，所以有：

當(dāng)Y≥YF時(shí)，追隨者會(huì)立即投資，這時(shí)產(chǎn)生一個(gè)永續(xù)的期望現(xiàn)金流（式(13)）：λjY(2ci-cj)2/ (4ci2)，根據(jù)式（2）可知，追隨者期望需求變動(dòng)率為E［dY］/(Yjdt)=α-λiφ，所以追隨者投資后的價(jià)值為：

當(dāng)Y=YF時(shí)，存在值相等和一階平滑粘貼條件（式（20）兩邊同時(shí)對(duì)Y求導(dǎo)后，令Y=YF）：

根據(jù)式（21）和式（22）可求解出兩個(gè)未知數(shù)A1和YF，所以追隨者價(jià)值為：

其中，追隨者投資臨界值為：

1.4 領(lǐng)先者投資決策模型

當(dāng)Y≥YF時(shí)，領(lǐng)先者已投資，項(xiàng)目產(chǎn)生一個(gè)永續(xù)的期望現(xiàn)金流（式(10)）：λiYcj/(4ci)，根據(jù)式(2)可知，領(lǐng)先者期望需求變動(dòng)率為E［dYi］/(Yidt)=α-λjφ，所以領(lǐng)先者的價(jià)值為：

當(dāng)Y≤YF時(shí)，假設(shè)領(lǐng)先者已投資，追隨者一直等待，直至Y=YF，所以領(lǐng)先者的價(jià)值由追隨者未投資的壟斷最優(yōu)期望利潤(rùn)流λi(Y-ci)和追隨者投資后的最優(yōu)期望利潤(rùn)流λiYFcj/(4ci)兩部分構(gòu)成，所以有：

所以領(lǐng)先者價(jià)值為：

領(lǐng)先者雖然先投資可以取得壟斷收入，但要承受投資成本，當(dāng)初始需求較小時(shí)，得到的利潤(rùn)流很小，所以有L(Y)〈F(Y)，領(lǐng)先者一直等待，直至L(Y)=F(Y)才投資，設(shè)該點(diǎn)值為YL，當(dāng)L(Y)〉F(Y)，領(lǐng)先者將會(huì)搶先投資。所以有：

設(shè)λi1為L(zhǎng)(Y)與F(Y)的相切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的λi，則它滿足以下方程組：

若追隨者已知，則領(lǐng)先者的研發(fā)水平λi的投資決策為：

其中，λj1為L(zhǎng)(Y)與F(Y)的相切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的λj。這時(shí)的博弈均衡為：當(dāng)λj≥λj1時(shí)，序貫均衡；當(dāng)λj〈λj1時(shí)，搶先均衡。博弈均衡分析與下文類似，略。

因?yàn)閅≤YF，L(Y)為凹函數(shù)，F(xiàn)(Y)為凸函數(shù)，所以當(dāng)λi≤λi1時(shí)，L(Y)≤F(Y)，領(lǐng)先者不會(huì)搶先投資，其投資過程與追隨者相似。所以，當(dāng)L(Y)≤F(Y)時(shí)，它的價(jià)值和投資臨界值為（與上文追隨者價(jià)值求解相似，略）：

2 均衡分析

根據(jù)上文領(lǐng)先者投資行為分析可知，領(lǐng)先者與追隨者之間的投資博弈存在兩種均衡：搶先均衡（包含同時(shí)均衡，部分文獻(xiàn)稱之為混合搶先均衡，本研究簡(jiǎn)稱搶先均衡）和序貫均衡。

（1）序貫均衡。當(dāng)λi≤λi1時(shí)，領(lǐng)先者的投資臨界值為YL1，追隨者的投資臨界值為YF。

（2）搶先均衡。在討論搶先均衡前，先確定搶先均衡區(qū)間以及對(duì)應(yīng)的條件。因?yàn)樵赮≤YF，L(Y)為凹函數(shù)，F(xiàn)(Y)為凸函數(shù)，所以當(dāng)λi〉λi1時(shí)，L(Y)與F(Y)有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)較大的點(diǎn)為YM。

當(dāng)Y=YF時(shí)，L(YF)=λiYFcj/［4ci(r-α+λjφ)］，F(xiàn)(YF)=λjYF(2ci-cj)2/［4ci2(r-α+λiφ)］，那么L(YF) ≥F(YF)，YM≥YF，與Y〈YF矛盾，所以當(dāng)λi〉λi2時(shí)的搶先均衡區(qū)域?yàn)椋踄L,YF)。根據(jù)L(YF)≥F(YF)可得λi≥λi2，λi2為以下二次方程的正根：

另外，當(dāng)λi1〈λi〈λi2時(shí)，搶先均衡區(qū)間為［YL,YM］。所以，搶先均衡區(qū)域以及對(duì)應(yīng)的條件為：

當(dāng)λi1〈λi〈λi2時(shí)，搶先均衡區(qū)間為［YL,YM］；

當(dāng)λi≥λi2時(shí)，搶先均衡區(qū)間為［YL,YF)。

在搶先均衡區(qū)間內(nèi)，領(lǐng)先者的價(jià)值大于追隨者價(jià)值，企業(yè)有動(dòng)力成為領(lǐng)先者，所以存在兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資的同時(shí)均衡，根據(jù)文獻(xiàn)［14］15-16，在搶先均衡區(qū)間，某一企業(yè)投資的概率為：

其中，J(Y)=λiYcj/［4ci(r-α+λjφ)］-I。

那么，只有一個(gè)企業(yè)投資的概率滿足：Pr(one)=P(1-P)+(1-P)(1-P)Pr(one)，所以有：

兩個(gè)企業(yè)同時(shí)投資的概率為：

綜上，搶先均衡為：

1）當(dāng)λi≥λi2時(shí)，Y在［YL,YF)范圍，領(lǐng)先者的價(jià)值大于等于追隨者價(jià)值，企業(yè)有動(dòng)力成為領(lǐng)先者，企業(yè)以Pr(one)概率在［YL,YF)投資成為領(lǐng)先者，另一個(gè)企業(yè)則等待Y=YF才投資。同時(shí)，也存在兩個(gè)企業(yè)以Pr(two)概率在［YL,YF)同時(shí)投資，這時(shí)兩個(gè)企業(yè)得到的價(jià)值都是各自較低的價(jià)值，是“錯(cuò)誤”的決策。另外，若需求在兩個(gè)企業(yè)沒有投資之前已經(jīng)大于等于YF，那么這兩個(gè)企業(yè)會(huì)以100%的概率立即投資。

2）當(dāng)λi1〈λi〈λi2時(shí)，搶先均衡除了Y的范圍［YL,YM］與（a）的Y范圍不同外，其他相同，略。

以上兩種均衡可以通過圖1，圖2 和圖3 來示意。圖1 表明：領(lǐng)先者的研發(fā)平均成功率大于等于λi2，企業(yè)在［YL,YF)范圍有動(dòng)力成為領(lǐng)先者。圖2表明：領(lǐng)先者的研發(fā)平均成功率在(λi1,λi2)范圍，L(Y)與F(Y)的兩個(gè)交點(diǎn)，企業(yè)在［YL,YM］范圍有動(dòng)力成為領(lǐng)先者，以上兩種情景為搶先均衡。圖3 表明：領(lǐng)先者的研發(fā)平均成功率小于等于λi1，領(lǐng)先者應(yīng)該在需求大于等于YL1才投資，追隨者應(yīng)該在需求大于等于YF才投資，該情景為序貫均衡。

圖1 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關(guān)系（λi ≥λi2）

圖2 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關(guān)系（λi1＜λi＜λi2）

圖3 L(Y)，L1(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關(guān)系（λi ≤λi1）

3 敏感性分析

3.1 市場(chǎng)需求波動(dòng)分析

設(shè)α=0.015，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，λi=0.9，λj=0.9，φ=1。

根據(jù)式(24)和式(29)作YF，YL與σ關(guān)系圖，如圖4 所示。從圖4 可知，YF和YL隨著σ的增加而增加，YF增加更明顯，這說明需求波動(dòng)的增加會(huì)導(dǎo)致領(lǐng)先者和追隨者推遲研發(fā)投資，且需求波動(dòng)對(duì)追隨者研發(fā)投資的影響更明顯。

圖4 YF，YL 與σ 關(guān)系

3.2 研發(fā)水平分析

設(shè)α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，φ=1。

（1）當(dāng)λj=0.9 時(shí)，根 據(jù) 式(24)，式(29)，式(30) 和式(33)可作YF，YL1，YL與λi關(guān)系圖，如圖5 所示。從圖5 可知，YF隨著λi的增加而增加，當(dāng)λi≤0.42，YL1隨著λi的增加而減少，當(dāng)λi〉0.42，YL隨著λi的增加而減少。這說明隨著領(lǐng)先者研發(fā)水平的提高，追隨者推遲研發(fā)投資，領(lǐng)先者提前研發(fā)投資。

圖5 YF，YL1，YL 與λi 關(guān)系

（2）當(dāng)λi=0.3 時(shí)，根據(jù)式(24)，式(29) 式(31)和式(33)可作YF，YL1，YL與λj關(guān)系圖，如圖6 所示。從圖6 可知，YF隨著λj的增加而減少，當(dāng)λj≥0.62，YL1隨著λj的增加而增加，當(dāng)λj〈0.62，YL隨著λj的增加而增加。這說明隨著追隨者研發(fā)水平的提高，追隨者提前研發(fā)投資，領(lǐng)先者推遲研發(fā)投資。

圖6 YF，YL1，YL 與λj 關(guān)系

3.3 競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功致使自身需求下降分析

設(shè)α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10，ci=0.12，cj=0.15，λi=0.5，λj=0.8。

根據(jù)式(24)和式(29)作YF，YL與φ關(guān)系圖，如圖7 所示。從圖7 可知，YF和YL隨著φ的增加而增加，這說明競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度的增加而推遲研發(fā)投資。

圖7 YF，YL 與φ 關(guān)系

綜上可知：領(lǐng)先者與追隨者隨著需求波動(dòng)的增加，競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功導(dǎo)致自身需求下降幅度的增加，競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)水平的提高而推遲研發(fā)投資，隨著自身研發(fā)水平的提高而提前研發(fā)投資。

4 算例

某新材料股份有限公司A 是一家集研發(fā)、制造、銷售于一體的鋁型材制造商，它在“高、精、尖”特種鋁型材制造方面處于行業(yè)領(lǐng)先地位?，F(xiàn)有一種設(shè)備，需要新型的特種鋁材，特種鋁材研發(fā)投資成本為1 千萬，預(yù)計(jì)需求服從增長(zhǎng)率為0.015，波動(dòng)率為0.2 為的幾何布朗運(yùn)動(dòng)。A 企業(yè)計(jì)劃對(duì)此進(jìn)行研發(fā)投資，產(chǎn)品單位成本為12 萬/t。同時(shí)，其主要競(jìng)爭(zhēng)者B 企業(yè)也計(jì)劃對(duì)此進(jìn)行研發(fā)投資，B 企業(yè)的產(chǎn)品單位成本為15 萬/t，研發(fā)平均成功率為80%，服從泊松分布。

在風(fēng)險(xiǎn)中性環(huán)境下，當(dāng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為0.02，競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度為100%時(shí)。問：（1）若A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率服從泊松分布，那么它大于多少，A 企業(yè)搶先研發(fā)投資？（2）若A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率為50%，服從泊松分布，則A企業(yè)和B 企業(yè)應(yīng)該如何研發(fā)投資？

依題意有：α=0.015，σ=0.2，r=0.02，I=10百萬，ci=0.12 百萬/t，cj=0.15 百萬/t，φ=1，λj=0.8。

（1）把相關(guān)數(shù)據(jù)代入方程組(30)可得切點(diǎn)為(40.90,0.30)，即λi1=0.30，所以只要A 企業(yè)的研發(fā)平均成功率大于0.30，那么A 企業(yè)搶先研發(fā)投資。

（2）因?yàn)棣薸=0.5〉0.30，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(29)，可得YL=20.992t，因此，A 企業(yè)應(yīng)該在需求等于20.992t 時(shí)研發(fā)投資。對(duì)于B 企業(yè)，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(24)，可得YF=54.685t，所以，B 企業(yè)在需求等于54.685t 時(shí)研發(fā)投資。

為了進(jìn)一步弄清A 企業(yè)和B 企業(yè)的研發(fā)投資決策過程，把相關(guān)數(shù)據(jù)代入式(23)和式(28)可得A 企業(yè)價(jià)值和B 企業(yè)價(jià)值與需求的關(guān)系，如圖8 所示。從圖8 可知，當(dāng)Y在［0,20.975)時(shí)，A 企業(yè)價(jià)值小于0，當(dāng)Y=YL=20.992t 時(shí)，A 企業(yè)應(yīng)該研發(fā)投資，當(dāng)Y=YF=54.685t 時(shí)，B 企業(yè)才研發(fā)投資。

圖8 L(Y)，F(xiàn)(Y)與Y 關(guān)系

5 結(jié)論與展望

5.1 結(jié)論

研發(fā)投資是企業(yè)戰(zhàn)略的重要組成部分。本研究考慮需求與研發(fā)水平不確定性，以及研發(fā)競(jìng)爭(zhēng)，運(yùn)用期權(quán)博弈建立研發(fā)投資決策模型，通過模型的分析得出：（1）當(dāng)領(lǐng)先者的平均研發(fā)成功率高于兩者期權(quán)相切對(duì)應(yīng)的成功率，搶先均衡；否則，序貫均衡；（2）企業(yè)隨著需求波動(dòng)的增加，競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)水平的提高或競(jìng)爭(zhēng)者研發(fā)成功致使自身需求下降幅度的增加而推遲研發(fā)投資，隨著自身研發(fā)水平的提高而提前研發(fā)投資。此外，根據(jù)實(shí)際情況，本研究不僅考慮研發(fā)投資博弈，還進(jìn)一步延伸至研發(fā)產(chǎn)品產(chǎn)量博弈，擴(kuò)展了研發(fā)投資決策的視角。

5.2 啟示

本研究根據(jù)結(jié)論提出以下建議：（1）企業(yè)若想獲取搶先投資的壟斷利潤(rùn)，可以通過提高研發(fā)成功率；（2）企業(yè)應(yīng)該關(guān)注影響研發(fā)投資決策的兩個(gè)重要因素：需求的變化和研發(fā)水平。

5.3 不足和未來研究方向

本研究雖然以成本的高低預(yù)先設(shè)定領(lǐng)先者與追隨者的角色符合大部分情況，但是當(dāng)領(lǐng)先者與追隨者實(shí)力相差不大時(shí)，領(lǐng)先者與追隨者的角色可能因其他一些細(xì)微的變化而發(fā)生改變。研究角色變動(dòng)的研發(fā)投資問題需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)博弈理論。因此，動(dòng)態(tài)博弈研發(fā)投資是未來研究的方向。