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    一類4階矩陣合同的充要條件

    2021-10-08 00:57:06李雅玲陳梅香楊忠鵬
    關(guān)鍵詞:非對稱整數(shù)高階

    李雅玲,陳梅香,楊忠鵬,潘 磊

    (1.莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院,福建 莆田 351100;2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,福建 福州 350117)

    0 引 言

    若存在可逆矩陣C滿足B=CTAC,則稱A、B∈n×n是合同的.在線性代數(shù)理論中,滿足AT=A或AT=-A的矩陣A的合同矩陣的性質(zhì),已有很多成熟的結(jié)論.但從定義出發(fā)討論非對稱、非反對稱矩陣的合同問題是近幾年才開始的[1-4].

    引理1([1]或[3,引理1]) 設(shè)A、B∈n×n,則A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)存在可逆矩陣P使得PTAsP=Bs,PTAwP=Bw.

    引理1簡單且對研究矩陣合同具有指向意義,但真正深入到具有明確結(jié)構(gòu)的矩陣合同的充要條件的研究,僅依靠這個結(jié)果是不夠的,目前可見的只有2、3階矩陣合同的結(jié)論[2-4].

    命題1([2,定理1]) 設(shè)λs>0,1≤s≤4,a、b>0,且

    (1)

    則A與B合同的充要條件為As與Bs合同,且b2λ1λ2=a2λ3λ4.

    命題2([3,定理5]) 設(shè)λs>0,1≤s≤6;a、b、c、d、e、f>0,且

    (2)

    則A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)存在正交矩陣Q,使得以下兩個條件成立:

    本文使用A∈4×4的2階復(fù)合矩陣C2(A)與相應(yīng)的復(fù)合伴隨矩陣的基本性質(zhì),對命題2的證明方法進(jìn)行改進(jìn),得到了具有命題1、2類似矩陣結(jié)構(gòu)的A、B∈4×4合同的充要條件.本文所使用的方法有別于命題1、2的討論,這樣的方法可對更高階的具有類似結(jié)構(gòu)的矩陣合同的充要條件研究有明確的指向意義.

    1 預(yù)備知識

    由文獻(xiàn)[5-7],約定Qm,n={α=(α(1),…,α(m))|α(1)<…<α(m)},1≤m≤n.對α、β∈Qm,n,用detA[α,β]表示由A∈n×n中的第α(1),…,α(m)行與第β(1),…,β(m)列元素組成的m階子式,detA(α,β)=detA[α′,β′],這里α′、β′分別為α、β∈Qm,n的補序列.Ck(A)是由A的k階子式detA[α,β]為元素按字典序排列所構(gòu)成的階矩陣;由A的k階子式detA[α,β]的代數(shù)余子式detAα, β=(-1)π(α)+π(β)detA(α,β)知,其中由文獻(xiàn)[7]知

    引理2設(shè)A∈n×n為正交矩陣,則有

    證明:由文獻(xiàn)[6,定理]知,對?α、β∈Qk,n,有

    (detA)(detA[α,β])=(-1)π(α)+π(β)detA[α′,β′]=(-1)π(α)+π(β)detA(α,β)=detAα, β,

    由文獻(xiàn)[7]知,當(dāng)A∈n×n為正交矩陣時,Ck(AAT)=Ck(E)=E=Ck(A)(Ck(A))T,因此(Ck(A))-1=(Ck(A))T,即有證畢.

    設(shè)A=(aij),B=(bij)∈m×n,稱C=(cij)=A°B∈m×n,cij=aijbij為A與B的Hadamard乘積[8].

    引理3設(shè)n(≥2)為任意給定正整數(shù),則n=2p+3q+4r總有非負(fù)整數(shù)解(p,q,r).

    證明:當(dāng)n=2時,有非負(fù)整數(shù)解(1,0,0).

    假設(shè)n≤k-1時命題成立,則當(dāng)n=k=3s或3s+2時,顯然有非負(fù)整數(shù)解(0,s,0)或(1,s,0)成立;當(dāng)n=k=3s+1時,有k=2s+s+1,而s+1=k-2s≤k-1,由歸納假設(shè)知,有非負(fù)整數(shù)解(p,q,r)使得s+1=2p+3q+4r成立,則k=2(s+p)+3q+4r有非負(fù)整數(shù)解(s+p,q,r).證畢.

    引理4設(shè)A、B∈3×3滿足式(2),則A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)存在正交矩陣Q,使得

    (ⅰ)(M-1QN-1)TAs(M-1QN-1)=Bs,其中

    (3)

    (ⅱ)Q*α=β,其中

    證明:必要性.由引理1知,存在可逆矩陣P,使得PTAsP=Bs,PTAwP=Bw.再由文獻(xiàn)[3,定理4]知,存在正交矩陣Q滿足P=M-1QN-1,故(ⅰ)成立.進(jìn)而由式(3)知,Bw=PTAwP=N-1SN-1,S=QTM-1AwM-1Q.

    (4)

    注意到S=NBwN和Q的2階子式與代數(shù)余子式的關(guān)系,所以由式(4)知

    充分性.已知存在正交矩陣Q滿足條件(ⅰ)、(ⅱ),由(ⅰ)知存在可逆矩陣P=M-1QN-1,使得PTAsP=Bs,其中M、N由式(3)確定.注意到必要性證明中都是等式,故其與PTAwP=Bw等價,進(jìn)而由引理1知,A與B合同.證畢.

    引理4揭示了Q*的重要作用,使文獻(xiàn)[3,定理5]的結(jié)論更加明確.由下面研究可知,其為高階情況的推廣討論提供了有力的支持.

    2 主要結(jié)果

    定理1設(shè)λs>0,1≤s≤8,且

    A=diag(λ1,λ2,λ3,λ4),B=diag(λ5,λ6,λ7,λ8)∈4×4,

    (5)

    則A與B合同,且滿足PTAP=B的可逆矩陣P必可表示為

    (6)

    其中,Q為正交矩陣.

    證明:由正定矩陣A與B合同和式(5)知,設(shè)P=(puv)=(α1,α2,α3,α4)可逆,且PTAP=(yuv).從PTAP=B是對稱的,可有

    (7)

    (8)

    定理2設(shè)λs>0,1≤s≤8,a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l>0,且

    (9)

    則A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)存在正交矩陣Q,使得

    (ⅰ)(M-1QN-1)TAs(M-1QN-1)=Bs,其中

    (10)

    證明:必要性.由引理1知,存在可逆矩陣P,使得PTAsP=Bs,PTAwP=Bw.再由定理1知,存在正交矩陣Q滿足P=M-1QN-1,故(ⅰ)成立.進(jìn)而由式(6)、(10)知,Bw=PTAwP=N-1SN-1,S=QTM-1AwM-1Q.

    設(shè)正交矩陣Q=(xuv)=(η1,η2,η3,η4),則由M-1AwM-1=(buv)為反對稱矩陣知,S=QT(M-1AwM-1)Q=(zuv)也為反對稱的.

    (11)

    注意到S=NBwN和Q的2階子式與代數(shù)余子式的關(guān)系,所以由式(11)知

    充分性.已知存在正交矩陣Q滿足條件(ⅰ)、(ⅱ).由(ⅰ)知存在可逆矩陣P=M-1QN-1,使得PTAsP=Bs,其中M、N由式(10)確定.注意到必要性證明中都是等式,故其與PTAwP=Bw等價,進(jìn)而由引理1知,A與B合同.證畢.

    命題2是文獻(xiàn)[3]的核心結(jié)論.雖然文獻(xiàn)[3]沒有對n≥4展開討論,但曾指出命題2的證法對更高階的情況也適用.本文定理1、2的討論表明,即使是用簡潔的記號,n=4的情況也會比n=2,3復(fù)雜很多.如果不引入A∈4×4的的記號與性質(zhì),其表達(dá)的繁雜和規(guī)律的尋找不是簡單的套用文獻(xiàn)[3]的方法就可以的.對文獻(xiàn)[3]的證明方法進(jìn)行改進(jìn),并運用至引理4和定理2,可使比3階矩陣討論更為復(fù)雜的4階矩陣有更明確清晰的表達(dá).另外,由引理2和Q是正交矩陣知,可轉(zhuǎn)化為α=(detQ)C2(Q)β,形式與命題2具有一致性.在此基礎(chǔ)上,我們有理由相信對結(jié)構(gòu)類似的A、B∈n×n合同的充要條件中A的n-2階復(fù)合矩陣與其復(fù)合伴隨矩陣會起統(tǒng)一的作用.這些情況的討論將在繼續(xù)討論中進(jìn)行.

    引理5設(shè)A、B∈2×2滿足式(1),則A與B合同當(dāng)且僅當(dāng)存在正交矩陣Q,使得

    類似于引理4的討論,可將命題1改造為引理5.針對已有2、3階矩陣和本文4階的非對稱、非反對稱矩陣合同的討論,可在引理3的基礎(chǔ)上,對任意給定的正整數(shù)n≥2可證明必存在n非對稱、非反對稱矩陣具有合同關(guān)系.

    定理3設(shè)n≥2為任意給定的正整數(shù),(p,q,r)為n=2p+3q+4r的非負(fù)整數(shù)解,存在

    A=diag(A11,…,A1p,A21,…,A2q,A31,…,A3r)∈n×n,

    B=diag(B11,…,B1p,B21,…,B2q,B31,…,B3r)∈n×n,

    其中A1t1、B1t1∈2×2形如式(1),A2t2、B2t2∈3×3形如式(2),A3t3、B3t3∈4×4形如式(9),則A與B合同的充分必要條件是存在正交矩陣Qsts(s=1,2,3;1≤t1≤p;1≤t2≤q;1≤t3≤r)滿足以下條件:

    (ⅰ)(M-1QN-1)TAs(M-1QN-1)=Bs,其中

    M=diag(M11,…,M1p,M21,…,M2q,M31,…,M3r),

    N=diag(N11,…,N1p,N21,…,N2q,N31,…,N3r),

    Q=diag(Q11,…,Q1p,Q21,…,Q2q,Q31,…,Q3r);

    (ⅱ)C*(Q)α=β,其中

    定理3是命題1、2,引理5和定理2的一個簡單應(yīng)用.

    本文假定討論的矩陣皆為實矩陣是不失一般性的.實際上在復(fù)數(shù)域上的討論與實數(shù)域并沒有什么本質(zhì)不同,只要注意共軛轉(zhuǎn)置和酉矩陣的使用即可.另外,如同文獻(xiàn)[3,定理5],命題1約定λ5>0,1≤s≤4,易知這與文獻(xiàn)[2,定理1]沒有本質(zhì)差別,且可方便n≥2情況的討論.

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