一種基于單幅圖像的相機標(biāo)定方法

徐 杰

(北京城市學(xué)院3D打印研究院，北京100083)

0 引 言

在現(xiàn)代機器視覺和工業(yè)測量中，人們通常用張正友方法［1］對攝像機的內(nèi)外參數(shù)進行標(biāo)定。其好處是，使用一塊帶有特征點的平面標(biāo)定板即可（平面板容易生產(chǎn)），且標(biāo)定精度高。但該方法需要拍攝至少3幅不同角度的標(biāo)定板圖像（通常要拍攝10幅左右的圖像），才能完成標(biāo)定，標(biāo)定工作時間長、容易出錯，給實際應(yīng)用帶來一定的麻煩。此外，當(dāng)多個相機需要同時標(biāo)定時，不容易找到對所有相機都合適的標(biāo)定板角度和位置，容易漏拍、錯拍，需要仔細(xì)調(diào)整角度位置，否則會產(chǎn)生算法錯誤，使標(biāo)定成為一個繁瑣的工作。

針對上述情況，本文提出一種標(biāo)定方法（是作者對已發(fā)表論文［2］的改進），使用平面標(biāo)定板，只拍一幅圖像即可完成標(biāo)定，操作簡單方便，且標(biāo)定精度高。

1 攝像機模型

攝像機的標(biāo)定，就是要確定相機內(nèi)、外參數(shù)。外參包括相機的空間位置和姿態(tài)，內(nèi)參包括相機的焦距、畸變等。計算相機的空間位置和姿態(tài)，涉及到世界坐標(biāo)系、攝像機坐標(biāo)系和焦平面坐標(biāo)系等，以及各坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。

1.1 標(biāo)定中的幾種坐標(biāo)系［3］

（1）世界坐標(biāo)系（Owxwywzw）。 世界坐標(biāo)系（Owxwywzw）是在環(huán)境中選擇一個基準(zhǔn)坐標(biāo)系，描述攝像機和物體的位置。一般以標(biāo)定板為基準(zhǔn)建立世界坐標(biāo)系。標(biāo)定板中心為世界坐標(biāo)系原點，標(biāo)定板法向上方向為世界坐標(biāo)系Z軸方向。

（2）攝像機坐標(biāo)系（Ocxcyczc）。 原點在攝像機光心，zc軸為攝像機光軸，與攝像機焦平面垂直，xc、yc軸分別平行于焦平面坐標(biāo)系的xu軸和yu軸，且方向相同，如圖1所示。

圖1 世界坐標(biāo)系、攝像機坐標(biāo)系和焦平面坐標(biāo)系及其變換關(guān)系Fig.1 World Coordinate，Camera Coordinate，F(xiàn)ocal plane Coordinate and relations

（3）焦平面坐標(biāo)系（Ouxuyu）。 物體在攝像機焦平面上成像，該坐標(biāo)系以實際物理長度為單位，原點為攝像機光軸與焦平面的交點，xu軸、yu軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的u軸和v軸，且方向相同。

（4）圖像坐標(biāo)系（Ofuv）。CCD傳感器陣列在焦平面上，將物像轉(zhuǎn)換為像素圖像，圖像坐標(biāo)系以像素為單位。圖像的橫向為u軸，縱向為v軸，如圖2所示。

圖2 焦平面上的圖像坐標(biāo)系(Of uv)與焦平面坐標(biāo)系(Ou xu yu)的變換關(guān)系Fig.2 Image Coordinate(Of uv)and Focal plane Coordinate(Ou xuyu)relation

1.2 各坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

坐標(biāo)系之間具有一定的轉(zhuǎn)換關(guān)系。其中包括:世界坐標(biāo)系與相機坐標(biāo)系、相機坐標(biāo)系與焦平面坐標(biāo)系、焦平面坐標(biāo)系與圖像坐標(biāo)系等。

（1）世界坐標(biāo)系與攝像機坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

設(shè)世界坐標(biāo)系中物體點的坐標(biāo)為（xw，yw，zw），物體點在攝像機坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（xc，yc，zc），則有:

（2）攝像機坐標(biāo)系與焦平面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

設(shè)物體點在攝像機焦平面成像的坐標(biāo)為（xu，yu），則有:

其中，s為比例系數(shù)；fx、fy分別為鏡頭焦距在x、y軸方向的值；γ為成像平面與光軸不垂直造成的偏差系數(shù)；（Δu，Δv）為像平面中心與光軸穿過像平面位置的偏差值。理想情況下:

則有:

其中，f是攝像機鏡頭焦距。

由于攝像機鏡頭有畸變，實際物體點在焦平面的成像坐標(biāo)為（xd，yd），其數(shù)學(xué)模型可以用下面公式描述［2］:

（3）焦平面坐標(biāo)系與圖像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

設(shè)物體點在圖像上的像素坐標(biāo)為（u，v），則有:

其中，Nx、Ny分別是焦平面上橫向、縱向單位長度的像素數(shù)，（u0，v0）是焦平面坐標(biāo)系的原點Ou在圖像坐標(biāo)系中的像素坐標(biāo)，一般在圖像中心（通過實驗發(fā)現(xiàn)，u0，v0值對總的標(biāo)定精度影響不大［4］）。

1.3 面陣CCD攝像機鏡頭綜合畸變模型

對于面陣CCD攝像機來說，Nx、Ny值是固定的（廠家已給出）。如果廠家給出的Nx、Ny參數(shù)不準(zhǔn)確，或者CCD傳感器陣面排列有畸變，導(dǎo)致由像素坐標(biāo)（u，v）和公式（3）推算出來的物體在焦平面的成像位置與實際位置不一致，則可以把這種由CCD陣面排列畸變引起的偏差歸并于攝像機鏡頭，而認(rèn)為CCD陣面是整齊排列的，且Nx、Ny參數(shù)值是精確的。這時，攝像機鏡頭畸變模型由公式（2）改為:

其中，xd、yd是由像素坐標(biāo)（u、v）和公式（3）計算出來的，并不一定是實際成像位置，F(xiàn)x、fy是關(guān)于xd、yd的某種函數(shù)，反映的是攝像機鏡頭和CCD面陣的綜合畸變。

2 攝像機內(nèi)外參數(shù)的求解

假設(shè)，已知攝像機鏡頭和CCD面陣的綜合畸變模型（例如，函數(shù)fx、fy為關(guān)于xd、yd的某種多項式），以及單平面靶標(biāo)上n個點的世界坐標(biāo)（xw，yw，zw）和二者在圖像上對應(yīng)點的圖像坐標(biāo)（u，v）。計算攝像機的內(nèi)外參數(shù)（包括外參數(shù)R、T，和內(nèi)參數(shù)A、鏡頭綜合畸變參數(shù)等）的步驟如下:

第一步:設(shè)相機理想模型和鏡頭綜合畸變模型。

若已知鏡頭綜合畸變模型函數(shù)fx、fy分別為:

設(shè)其中各畸變參數(shù)的初始值分別為:k1＝0，k2＝0，p1＝0，p2＝0。且設(shè)式（1）中的初始值為:fx＝fy＝f，γ＝0，Δu＝0，Δv＝0。

第二步:計算R、T、f初值。

因

由于平面靶標(biāo)上的點是共面的，則設(shè)zw＝0，所以有:

設(shè)靶平面上n個點的世界坐標(biāo)為（xwi，ywi，zwi），其對應(yīng)的一幅圖像坐標(biāo)為（ui，vi），（i＝1，2，…，，n），根據(jù)公式（3）可以計算出（xdi，ydi）、根據(jù)公式（5）可以計算出fxi＝fx（xdi，ydi）和fyi＝fy（xdi，ydi），所以有:

整理可得線性方程組:

式（6）可以寫為Ax＝b。其中A矩陣共有8列2n行，向 量x＝（x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8）＇＝（f*r1／Tz，f*r2／Tz，f*Tx／Tz，f*r4／Tz，f*r5／Tz，f*Ty／Tz，r7／Tz，r8／Tz）＇的元素是8個待求的未知數(shù)，向量b＝（fx1，fy1，...，fxn，fyn）＇為已知。只要知道平面靶標(biāo)上4個以上點的世界坐標(biāo)和對應(yīng)的圖像坐標(biāo)，就可以用最小二乘法求解，即對于線性方程組Ax＝b，解為x＝（A＇A）-1（A＇b）。

因為R是正交矩陣，所以存在關(guān)系式:

由此，可解出f／Tz，從而算出r1、r2、r4、r5、Tx、Ty。

同樣因R是正交矩陣，則有關(guān)系式:

所以有如下方程:

從而可解出f、算出Tz，同時可算出r7、r8（r7＝x7*Tz、r8＝x8*Tz）。可由R前兩列向量叉乘算出第三列向量（r3、r6、r9），即:

這樣，可求得R、T、f初值。為A的初值。

第三步:計算優(yōu)化標(biāo)定解。

假定平面標(biāo)定板上有n個標(biāo)記點，相機拍攝一幅標(biāo)定板圖像，則制定評價函數(shù)［5］如式（11）:

其中，mi為第i個點的圖像坐標(biāo)；Mi為第i個點的空間坐標(biāo)；m（A，R，T，k1，k2，p1，p2，Mi）是通過這些已知量，根據(jù)式（1）、（2）、（3）求得的圖像坐標(biāo)。使評價函數(shù)最小的A，R，T，k1，k2，p1，p2就是問題的最優(yōu)解，即標(biāo)定結(jié)果。利用Levenberg-Marquarat來求解非線性最小二乘問題，初始估值為上面求得的R、T、A矩陣初值，k1，k2，p1，p2初值為0。這里是優(yōu)化一幅圖像的標(biāo)定，為了提高景深標(biāo)定的精度，也可以增加圖像數(shù)量。如果是多幅圖像，則是多個位姿Rk、Tk，和多幅拍攝點mki（k＝1，2，...）同樣可以用（11）式求優(yōu)化解。

3 實驗結(jié)果

實驗中采用平面標(biāo)定塊，如圖3所示。靶標(biāo)上各圓心的世界坐標(biāo)見表1，其對應(yīng)的圖像像素坐標(biāo)見表2；實驗使用sony面陣CCD攝像機，分辨率為1024*1280，Nx＝1／0.005 2（像素／mm），Ny＝1／0.005 2（像素／mm）；設(shè)（u0，v0）＝（640，512）。

圖3 實驗使用的平面標(biāo)定塊Fig.3 Testing calibrate board

表1 平面標(biāo)定板的圓心世界坐標(biāo)(zwi＝0，63個點，單位mm)Tab.1 The world coordinates of centers of circles on the calibrate board(zwi＝0，63 points)

表2 平面標(biāo)定板的圓心圖像坐標(biāo)(63個點，單位：像素)Tab.2 The image coordinates of centers of circles on the calibrate board(63 points，unit：pixel)

根據(jù)攝像機特性，設(shè)該攝像機鏡頭綜合畸變模型為式（5），由上述方法求出R、T、A、k1、k2、p1、p2的值，見表3。

實驗結(jié)果:

其中（ui，vi）為圓心實際圖像坐標(biāo)，（ui′，vi′）為由參數(shù)R、T、A、k1、k2、p1、p2計算出來的圓心圖像坐標(biāo)。在普通Intel＿i7處理器的電腦上算法運行時間小于1 s。

4 結(jié)束語

通過實驗可以發(fā)現(xiàn)，攝像機鏡頭綜合畸變模型函數(shù)fx（xd，yd）、fy（xd，yd）設(shè)為上述式（5）函數(shù)，或者Tsai方法［6］提到的畸變模型函數(shù)時，標(biāo)定結(jié)果都是穩(wěn)定的。采用本標(biāo)定方法，標(biāo)定板不能正對相機，否則標(biāo)定誤差較大。標(biāo)定板法向與相機光軸之間的夾角應(yīng)大于10°，一般取30°～45°比較合適。這也表明畸變參數(shù)的標(biāo)定計算需要在一定景深范圍內(nèi)進行。本方法的優(yōu)點是:只使用平面靶標(biāo)，一幅圖像，操作簡捷快速，而且適用于任何種類的鏡頭畸變模型。與張正友方法相比，本方法只要拍攝一幅圖像，就能計算相機初始參數(shù)，再利用Levenberg-Marquarat方法求優(yōu)化解，具有更大的靈活性。