四輪移動(dòng)機(jī)器人的模糊滑模軌跡跟蹤控制

楊國東，劉泓濱，劉碧飛

（1.650093 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院；2.510030 廣東省 廣州市 三峽新能源珠江發(fā)電有限公司）

0 引言

四輪結(jié)構(gòu)移動(dòng)機(jī)器人是目前最常見的輪式機(jī)器人結(jié)構(gòu)形式，四輪機(jī)器人的軌跡跟蹤控制技術(shù)在監(jiān)測、巡航、跟蹤等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。本文研究的是四輪全向移動(dòng)機(jī)器人，其軌跡跟蹤（trajectory tracking）[1]控制方法是控制領(lǐng)域一大研究熱點(diǎn)。軌跡跟蹤控制是指機(jī)器人由控制器的作用從某一初始位置，跟蹤一條關(guān)于時(shí)間的期望軌跡[2]。由于控制系統(tǒng)是一個(gè)多變量、強(qiáng)耦合、參數(shù)時(shí)變的多輸入多輸出非線性受控系統(tǒng)，且工作環(huán)境復(fù)雜，如何提高控制系統(tǒng)的抗干擾能力和實(shí)時(shí)性等，是當(dāng)前研究面臨的挑戰(zhàn)[3]。

滑模控制是一種具有快速瞬態(tài)響應(yīng)的魯棒控制方案，具有建模簡單、性能較好、魯棒性較好等優(yōu)點(diǎn)。但滑?？刂葡到y(tǒng)有限的開關(guān)控制力及系統(tǒng)固有的運(yùn)動(dòng)慣性導(dǎo)致運(yùn)動(dòng)無法瞬時(shí)換向，又因系統(tǒng)以較快的速度到達(dá)切換線附近并來回穿梭，形成系統(tǒng)抖振[4]，從而影響系統(tǒng)性能。如今，消除抖振或未知參數(shù)影響的方法有自適應(yīng)神經(jīng)滑?？刂芠5]、自適應(yīng)滑?？刂芠6]、模糊滑?？刂芠7]等。其中，模糊控制方法較簡單，執(zhí)行迅速，而模糊滑?？刂平Y(jié)合了模糊理論和滑?？刂聘髯蕴攸c(diǎn)[8]，能有效消弭系統(tǒng)抖振，提高系統(tǒng)的魯棒性，運(yùn)算簡單，適用性強(qiáng)。文獻(xiàn)[9]融合了速度控制器與滑?？刂破?，對未知函數(shù)進(jìn)行模糊邏輯近似，并增加自適應(yīng)模糊觀測器的控制策略。但自適應(yīng)控制系統(tǒng)存在潛在的大的超調(diào)和收斂緩慢等緩慢瞬態(tài)響應(yīng)，且在滑膜中引入自適應(yīng)機(jī)制難度較大，一定程度上限制了其工程應(yīng)用[10]。文獻(xiàn)[11]使用滑模的思想設(shè)計(jì)控制器，提出了一種帶有模糊快速雙冪次趨近律的全局漸進(jìn)穩(wěn)定滑?？刂品椒?，但其研究對象不屬于全向移動(dòng)機(jī)器人。

本文基于可全向移動(dòng)四輪機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，首先設(shè)計(jì)了積分滑?？刂破鳌＿M(jìn)而為了提升軌跡跟蹤效果，結(jié)合模糊與滑模兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)模糊滑?？刂破?，用Lyapunov 函數(shù)證明其穩(wěn)定性。運(yùn)用模糊滑模變結(jié)構(gòu)的控制計(jì)策，設(shè)計(jì)一對模糊控制器對采用積分策略估計(jì)的切換控制參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。最后，通過仿真驗(yàn)證其有效性。該方法跟蹤精度好，減緩抖振效果明顯，軌跡跟蹤品質(zhì)更優(yōu)秀。

1 建立四輪機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

本文以4 個(gè)45°麥克納姆輪對稱分布的四輪移動(dòng)機(jī)器人作為研究對象，每個(gè)驅(qū)動(dòng)輪采用獨(dú)立的電機(jī)驅(qū)動(dòng)。建立平面絕對坐標(biāo)系XOY，跟蹤坐標(biāo)系XtOtYt，Ot位于移動(dòng)機(jī)器人的幾何中心，如圖1 所示。

圖1 四輪移動(dòng)機(jī)器人位姿誤差Fig.1 Pose error of four-wheel mobile robot

則四輪機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)公式為

式中：R——輪子半徑；wi（i=1，2，…，4）——各輪子的角速度；L，B——輪子輪心到坐標(biāo)系XtOtYt縱軸和橫軸的間距；vx，vy——機(jī)器人的X軸，Y 軸的平移速率；w——機(jī)器人旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速；θ——機(jī)器人與XOY 坐標(biāo)系X 軸的夾角。各輪之間的速度約束關(guān)系w1+w3=w2+w4，vx=vtcosθ，vy=vtsinθ，vt——線速度。

因四輪機(jī)器人工作環(huán)境多為平整地面，忽略運(yùn)動(dòng)過程中的輪子打滑、抱死等現(xiàn)象的影響。機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式為

假定絕對坐標(biāo)系的初始位姿為C=[x，y，θ]T，期望位姿G=[xg，yg，θg]T，四輪機(jī)器人從XtOtYt到XOY 坐標(biāo)系的位姿換矩陣為

四輪機(jī)器人線速度與角速度在絕對坐標(biāo)系下的映射關(guān)系為[12]

式（4）拆解后微分得到

式中：θe——航向角誤差；xe，ye——xt，yt軸向誤差；wt——機(jī)器人轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度；vg——速度指令；wg——角速度指令。

2 四輪機(jī)器人控制器設(shè)計(jì)

2.1 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

滑?？刂七^程可描述為，從空間任意一點(diǎn)出發(fā)的狀態(tài)軌跡能在特定時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，并在其上發(fā)生滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)，最終達(dá)到平衡點(diǎn)的控制過程。設(shè)計(jì)圖2 所示積分滑?？刂破?。假定四輪機(jī)器人的參考位姿Pc=[xg，yg，θg]T、速率qc=[vg，wg]T；系統(tǒng)輸出為當(dāng)前速率qt=[vt，wt]T?；？刂破饕罁?jù)位姿偏差pe=[xe，ye，θe]T和參考速度qc獲得當(dāng)前控制速度qt和當(dāng)前位姿pt=[xt，yt，θt]T，通過系統(tǒng)控制使跟蹤位姿誤差pe→0。

圖2 積分滑?？刂平Y(jié)構(gòu)圖Fig.2 Integral sliding mode control structure diagram

根據(jù)式（5）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程為

由于四輪機(jī)器人控制系統(tǒng)為多輸入多輸出系統(tǒng)，為加快趨近速率，設(shè)計(jì)基于sigmoid 飽和函數(shù)的滑模切換函數(shù)[13-15]

式中：ξ1，ξ2——正值常數(shù)。

聯(lián)立式（7）和式（8）求導(dǎo)可得

本文用連續(xù)函數(shù)來取代符號(hào)函數(shù)的切換控制削弱抖振和外界擾動(dòng)的影響，即

式中：k1，k2，ε1，ε2——大于0 的數(shù)；δ1，δ2——大于0 的極小值；Δ1，Δ2——趨于零的正小數(shù)。

得到積分滑模軌跡跟蹤控制律為

證明切換函數(shù)S2的穩(wěn)定性，切換函數(shù)S1的證明相似。定義Lyapunov 函數(shù)為

2.2 模糊滑模控制器設(shè)計(jì)

為了達(dá)到更好的軌跡跟蹤效果，本文采用飽和函數(shù)來減弱系統(tǒng)抖振，通過模糊算法對飽和函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)。在積分滑模控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)2 個(gè)模糊控制器分別對進(jìn)行調(diào)節(jié)以減弱抖振。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)點(diǎn)與滑模面的間距很遠(yuǎn)時(shí)，加大控制力度；反之，則削弱控制力度，抑制抖振?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3 所示。

圖3 模糊滑?？刂平Y(jié)構(gòu)圖Fig.3 Structure diagram of fuzzy sliding mode control

可將式（12）的滑?？刂坡烧{(diào)整為

當(dāng)切換函數(shù)S 的值很小時(shí)值也很小，此時(shí)為了保證品質(zhì)，須把ki值增大來減弱抖振；反之，當(dāng)切換函數(shù)S 值很大時(shí)，增大值，減少ki值，以此將趨近速度提高，同時(shí)又可以防止較大的控制動(dòng)作。

選擇論域?yàn)閇-1，1]的S11模糊控制器1 作為輸入，選取切換控制中論域分別為[-0.1，0.1]和[-2，2]的參數(shù)，Δk1為控制輸出[16]，系統(tǒng)的輸入輸出模糊集合定義如下：

式中：NB，NM，NS，NL，ZO——“負(fù)大”“負(fù)較大”“負(fù)中”“負(fù)小”“零”；PL，PS，PM，PB——“正小”“正中”“正較大”“正大”。

表1 和Δk1 的模糊規(guī)則Tab.1 Fuzzy rules ofand Δk1

表1 和Δk1 的模糊規(guī)則Tab.1 Fuzzy rules ofand Δk1

采取“重心法”進(jìn)行反模糊化得到輸出值

由式（15）～式（17）、式（20）可以得到模糊切換控制為

將式（21）代入式（18）得到模糊滑?？刂坡桑娛剑?2）：

3 仿真分析驗(yàn)證

在MATLAB 上進(jìn)行仿真試驗(yàn)。選取具有代表意義的直線和圓形參考軌跡進(jìn)行仿真分析。選取初始速度為2.5 m/s，仿真時(shí)間為20 s，將模糊滑模控制（FSMC）與積分滑?？刂疲⊿MC）進(jìn)行軌跡跟蹤仿真對比。選取L=0.75 m，B=0.7 m，R=0.072 m，各項(xiàng)仿真參數(shù)：Δ1=Δ2=0.1，ζ1=ζ2=0.2，ε1=ε2=0.01，k01=4，k02=2，ξ1=ξ2=2，δ1=δ2=0.01。

3.1 直線軌跡

進(jìn)行直線軌跡跟蹤驗(yàn)證，假定期望軌跡起始位姿為[1，0，π/3]T，實(shí)際跟蹤起始位姿是[0.5，0，π/3]T。根據(jù)圖4—圖6 結(jié)合表2 數(shù)據(jù)可知，實(shí)際跟蹤軌跡能較快與期望軌跡重合并保持穩(wěn)定運(yùn)行，模糊滑模（FSMC）控制誤差收縮更快控制精度更好。圖6 可驗(yàn)證四輪移動(dòng)機(jī)器人直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，角速度恒定且w1=w3，w2=w4。

圖4 FSMC 直線軌跡跟蹤結(jié)果Fig.4 FSMC linear trajectory tracking results

圖5 FSMC 與SMC 直線軌跡跟蹤誤差Fig.5 FSMC and SMC linear trajectory tracking error

圖6 FSMC 直線軌跡跟蹤各輪角速度Fig.6 FSMC linear trajectory tracking angular velocity of each wheel

表2 FSMC 與SMC 直線軌跡跟蹤仿真結(jié)果對比Tab.2 Comparison of FSMC and SMC linear trajectory tracking simulation results

表2 及表3 中：vwt——線速度達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)刻；wwt——角速度達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)刻；xet，yet，θet——橫向和縱向誤差以及航向角誤差達(dá)到xewq，yewq，θewq橫向和縱向誤差區(qū)間以及航向角誤差趨于穩(wěn)定的誤差區(qū)間的時(shí)間。

3.2 圓形軌跡

以半徑為4 m 的圓進(jìn)行仿真驗(yàn)證。任意設(shè)定起始位姿為[2，0，0]T。根據(jù)圖7—圖9 和表3數(shù)據(jù)可知，機(jī)器人能夠較好地跟蹤圓形曲線，過程穩(wěn)定運(yùn)行。模糊滑膜（FSMC）控制的軌跡跟蹤算法較好地消除系統(tǒng)抖振，機(jī)器人速度波動(dòng)更小，穩(wěn)定更快，且跟蹤精度更高。

圖7 FSMC 圓形軌跡跟蹤結(jié)果Fig.7 FSMC circular trajectory tracking results

圖8 FSMC 圓形軌跡跟蹤線速度與角速度對比Fig.8 Comparison of linear velocity and angular velocity of FSMC circular trajectory tracking

圖9 FSMC 圓形軌跡跟蹤誤差對比Fig.9 FSMC comparison of circular trajectory tracking errors

表3 FSMC 與SMC 圓軌跡跟蹤的仿真結(jié)果對比Tab.3 Comparison of simulation results of FSMC and SMC circular trajectory tracking

4 結(jié)論

本文研究四輪移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤控制方法，對普通滑?？刂品椒ㄟM(jìn)行改進(jìn)，以四輪機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)了一種易于實(shí)現(xiàn)的模糊滑模軌跡跟蹤控制方法。采用模糊控制對滑膜控制器中切換控制的相關(guān)參數(shù)i，Δki（i=1，2）進(jìn)行估計(jì)和調(diào)整，通過MATLAB 編程分別對直線軌跡與圓形軌跡仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明，本文模糊滑?？刂破髂芤种苹？刂飘a(chǎn)生的抖振，有更好的軌跡跟蹤品質(zhì)，兼具模糊控制與滑?？刂频膬?yōu)勢。