李永衛(wèi)
幾何綜合題是中考熱點問題之一,下面以大連市2020年中考第25題為例探索解決這類問題的思路與方法.
原題重現(xiàn)
[原題重現(xiàn)]
如圖1,△ABC中,點D,E,F(xiàn)分別在邊AB,BC,AC上,BE = CE,點G在線段CD上,CG = CA,GF = DE,∠AFG = ∠CDE.
(1)填空:與∠CAG相等的角是 ;
(2)用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關系,并證明;
(3)若∠BAC = 90°,∠ABC = 2∠ACD(如圖2),求[ACAB]的值.
[破解策略]
第(1)問:根據(jù)等邊對等角回答即可.
第(2)問:有多種解題策略.可由已知條件中的“一邊一角”來構(gòu)造全等、平行四邊形;由線段中點,可以想到利用“中線倍長”或三角形“中位線”來解題.
第(3)問:看到題中給出了二倍角,一定要迅速回想二倍角的轉(zhuǎn)化方法,同時,題中給出90°角,借助圖形可以想到絕配角的運用,進而添加輔助線,建立出絕配角基本圖形,再通過設元,結(jié)合勾股定理,表示出兩條線段,進而求出比值.
解:(1)∵CA = CG,∴∠CAG = ∠CGA. 故答案為∠CGA.
(2)這一問有36種解題方法,下面給出其中6種,其余解法請關注公眾號獲得.
策略一:突出“一邊一角構(gòu)造全等”
解法1:AD = [12]BD. 理由:
如圖3,在CD上取中點M,截取DN = AF,連接EM,EN,
∵DE = GF,∠CDE = ∠AFG,∴△END ≌△GAF(SAS),
∴EN = GA,∠END = ∠GAF.
∵∠CAG = ∠CGA,∴∠CGA = ∠END,∴∠AGD = ∠ENM.
∵BE = CE,DM = CM,∴EM是△BCD的中位線,
∴EM[?]BD,EM = [12]BD,∴∠ADG = ∠EMN,
∴△ADG ≌△EMN(AAS),
∴EM = AD,∴AD = EM = [12]BD.
解法2:如圖4,取BD的中點M,連接EM,在EM上截取EN = AF,由三角形中位線得ME[?]CD,得到△DEN ≌△GFA,△DMN ≌△ADG. 具體過程請同學們自己完成.
解法3:如圖5,作AQ[?]DE,交CD于點Q,取BD的中點P,連接PE,得到EP[?]CD,進而得到△AGQ ≌△GAF, △AQD ≌△DEP,具體過程請同學們自己完成.
解法4:如圖6,作EM[?]BA交CD于M,EN[?]AC交CD延長線于N,可證△CFG ≌△NDE,△NEM ≌△CAD,進而得EM是△BDC的中位線. 具體證明過程請同學們自己完成.
策略二:突出“倍長中線”
解法5:如圖7,作EH[?]AG交CD于H,作BM[?]CD,直線EH與BM交于點M,可證得△DEH ≌△FGA,△HEC ≌△MEB,進而證得四邊形GHMN是平行四邊形. 具體證明過程請同學們自己完成.
策略三:突出“中位線”
解法6:如圖8,作CQ = CF,EP[?]CD交AB于P,可證△ACQ ≌△GCF,△AQD ≌△DEP,進而得到PE是△BDC的中位線. 具體證明過程請同學們自己完成.
(3)這一問有20種解題方法,下面給出其中2種,其余解法請掃描本文標題處二維碼獲得.
思路:突出“翻折+等腰+勾股”
解法1:如圖9,延長BA至點M,使AM = AD,連接CM.
∵∠BAC = ∠MAC = 90°,
∴AC垂直平分DM.
∴CD = CM,∴∠ACD = ∠ACM.
設∠ACD = α = ∠ACM,
則∠ABC = 2α,∠AMC = 90° - α,
∴∠BCM = 180° - 2α - (90° - α) = 90° - α,
∴BM = BC,即△BCM為等腰三角形.
設AD = [a],則AM = [a],BD = 2[a],
∴BC = BM = 4[a],AB = 3[a],
∴AC = [BC2-AB2=7a],
∴[ACAB=7a3a=73].
解法2:如圖10,延長BA至點R,使AR = AB,設AD = a,由角的關系證得CR = RD = 4a,由勾股定理得AC = [7a]. 具體證明過程請同學們自己完成.