正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計在路用混凝土配合比優(yōu)化中的應(yīng)用與比較

張麗娟, 孟昕娜

(石家莊鐵道大學(xué) 四方學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊 051132)

0 引言

試驗設(shè)計(DOE)是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一部分，也是試驗優(yōu)化的重要方法。Fisher[1]第一次使用試驗設(shè)計方法在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中進行試驗優(yōu)化后，其應(yīng)用范圍逐漸擴大。DOE以數(shù)理統(tǒng)計的相關(guān)理論知識為基礎(chǔ)，根據(jù)研究需要，力求用較少的試驗次數(shù)來獲得比較可靠的試驗數(shù)據(jù)，然后通過數(shù)據(jù)分析得出具體的結(jié)論。如果試驗過程中設(shè)計合理，就能事半功倍;相反，耗時耗力，還可能導(dǎo)致試驗失敗。因此，能否合理進行試驗設(shè)計，已經(jīng)成為科研工作的關(guān)鍵。目前正交設(shè)計的應(yīng)用較為廣泛，但其他設(shè)計方法工程技術(shù)人員也一直在探索。

龍菊等[2]采用正交試驗和響應(yīng)面試驗研究微波纖維素酶法提取山藥多糖的影響因子和水平，來進一步優(yōu)化制備工藝，表明與正交試驗相比，響應(yīng)面設(shè)計不但可以直觀展現(xiàn)各因子的交互作用，而且在結(jié)果準確性方面也更加合理。蔡厚道[3]同時采用正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計對影響裝配尺寸的因子進行優(yōu)化，表明響應(yīng)面設(shè)計的最優(yōu)工藝精度更高。劉炬灼等[4]通過正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計優(yōu)化五味子的炮制工藝，表明響應(yīng)面設(shè)計比正交試驗設(shè)計得到的總木脂素含量要高，而且能得到更多更精確的信息。劉強等[5]采用Box-Behnken中心組合設(shè)計對影響砂漿粘結(jié)強度的因子及其性能預(yù)測，表明建立的二元回歸模型在擬合區(qū)間內(nèi)擬合程度很好，為砂漿性能的優(yōu)化提供了一種新的研究方法。牛江川等[6]采用正交設(shè)計對影響盾構(gòu)刀具磨損的參數(shù)進行分析并建立相應(yīng)的模型。王喜盈等[7]基于正交設(shè)計對影響鋼-混凝土雙面組合連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響因素進行設(shè)計分析，并建立相應(yīng)的無量綱計算公式。張軍等[8]基于響應(yīng)面設(shè)計進行船撞橋的可靠度分析，通過對比蒙特卡洛法證明了響應(yīng)面法的有效性和高效性。

由上述應(yīng)用可以看出，不同領(lǐng)域研究人員基于所學(xué)知識應(yīng)用的試驗設(shè)計的方法差異性大，在結(jié)構(gòu)混凝土設(shè)計中，影響其性能因素眾多，如混凝土配合比、養(yǎng)護制度、攪拌方式等，更為重要的是性能評價是以養(yǎng)護28 d或更長齡期為基準，這樣多影響因素高齡期的試驗設(shè)計在其他工程領(lǐng)域很少遇到，故合適的試驗設(shè)計尤為重要。但目前常用的是單因素設(shè)計或正交設(shè)計，而效率和精度更高的響應(yīng)曲面法因數(shù)理統(tǒng)計相關(guān)知識要求更高所以應(yīng)用較少，故從正交和響應(yīng)面關(guān)鍵設(shè)計要點介紹入手，以基于目標性能的路用混凝土配合比優(yōu)化設(shè)計為例，對比2種方法的相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計知識、差異和精度，以期提高科研和工程技術(shù)人員試驗設(shè)計的科學(xué)性和效率。

1 設(shè)計方法

1.1 正交設(shè)計的原理和設(shè)計方法

正交設(shè)計方法[9]是借助正交表進行試驗設(shè)計并對試驗數(shù)據(jù)進行直觀分析，最終達到以較少的試驗次數(shù)獲得可靠數(shù)據(jù)的目的。近年來廣泛應(yīng)用于化工、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、環(huán)境和工程學(xué)等領(lǐng)域[10-12]。在試驗設(shè)計中，如果每個因素的水平組合都考慮到就是全面試驗，全面試驗耗時耗力，例如三因素三水平的全部試驗點為33個，四因素三水平的全部試驗點為34個。此時若從中選擇幾個代表性的試驗點進行試驗設(shè)計就可以顯著縮減試驗次數(shù)。三因素三水平正交試驗就是從全面試驗點中挑選出圖1所示的9個代表性點，即正方體每個平面上選擇3個試驗點，這樣就能夠比較全面地反映整個區(qū)域內(nèi)的基本情況。

圖1 正交設(shè)計三因素三水平的代表性試驗點圖

正交試驗的一般過程為：(1)確定因素水平和衡量指標。(2)繪制因素水平表。(3)選擇正交表，其中正交表列數(shù)應(yīng)大于因素數(shù)，比如圖1的三因素三水表應(yīng)選擇L9(34)的正交表。(4)嚴格按照正交表設(shè)計的水平組合進行試驗并記錄相應(yīng)的指標值。(5)數(shù)據(jù)分析。(6)驗證，即如果根據(jù)數(shù)據(jù)分析出的較優(yōu)條件在正交表中沒有出現(xiàn)，則需按照該條件做一次試驗來驗證。

1.2 響應(yīng)面設(shè)計的原理和設(shè)計方法

Box et al[13]提出一種可以同時進行試驗優(yōu)化和模型預(yù)測的試驗設(shè)計方法——響應(yīng)面法，它是對整個曲面內(nèi)因素與指標之間的關(guān)系進行回歸分析，根據(jù)模型進行優(yōu)化和性能預(yù)測[14]。Weierstress的多項式最佳逼近定理表明，大部分函數(shù)關(guān)系都可以用多項式模型進行擬合，所以無論一個變量與響應(yīng)值之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系，實際應(yīng)用中都可以應(yīng)用多項式模型擬合[15]。一般地，響應(yīng)值Y與設(shè)計變量x之間滿足

(1)

采用Weierstress的多項式模型近似逼近，則有

(2)

式中,φi(x)為基函數(shù)；βi為基函數(shù)的線性效應(yīng)。

當部分因素水平值偏離曲面的最優(yōu)位置時，常用一階多項式模型近似逼近，即

(3)

當因素水平值接近或位于最優(yōu)區(qū)域內(nèi)時，常用二階多項式模型近似逼近，得到最優(yōu)因素水平組合，即

(4)

式中，βi、βii分別為xi的一階、二階效應(yīng)；βij為xi與xj的交互作用效應(yīng)。

絕大多數(shù)的RSM問題都可在一個較小范圍內(nèi)將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系表達為簡單的一階或二階模型，借助最小二乘法近似計算多項式的參數(shù)。

響應(yīng)面設(shè)計方法近年來已發(fā)展成為一種試驗優(yōu)化方法，眾多學(xué)者對其進行了大量的應(yīng)用研究[16-18]。響應(yīng)面法的一般過程為：(1)析因分析，即篩選顯著性因素。(2)試驗設(shè)計，確定因素水平及響應(yīng)值，借助軟件進行試驗設(shè)計，例BBD在試驗設(shè)計中基礎(chǔ)數(shù)據(jù)是12個，即以“0”為中心點，“+1”“-1”分別是立方點相對應(yīng)的高值和低值，特別注意中心點處需要進行中心重復(fù)試驗(不少于3組)來考察中心區(qū)域擬合情況，如圖2所示。(3)嚴格按照設(shè)計方案進行試驗，獲得相應(yīng)的響應(yīng)值。(4)數(shù)據(jù)分析。

圖2 響應(yīng)面設(shè)計三因素三水平代表性試驗點圖

2 應(yīng)用示例

路用混凝土除耐久性要求外，衡量其性能關(guān)鍵指標是其抗折強度。下面以路用混凝土抗折強度性能指標要求，對比分析正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計在其配合比試驗設(shè)計和性能優(yōu)化方面的差異。在這里需要強調(diào)的是馬士賓[19]認為砂率、粉煤灰和減水劑是影響混凝土路用性能的主要因素，故基于路用水泥混凝土配合比設(shè)計的有關(guān)經(jīng)驗[20-21]固定水灰比為0.38，分析這3個因素對抗折強度的影響。正交設(shè)計配合比見表1，響應(yīng)面設(shè)計配合比見表2。

表1 正交設(shè)計配合比 kg/m3

表2 響應(yīng)面設(shè)計配合比 kg/m3

2.1 試驗設(shè)計

以粉煤灰摻量、砂率和聚羧酸高效減水劑摻量為設(shè)計變量，以路用混凝土28 d抗折強度為衡量指標，正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計的因素水平表分別見表3和表4。

表3 正交設(shè)計因素水平表

表4 響應(yīng)面設(shè)計因素水平表

2.2 數(shù)據(jù)處理

正交設(shè)計的結(jié)果分析見表5和表6。結(jié)果表明：各主效應(yīng)顯著性排序為C>B>A；聚羧酸高效減水劑摻量對抗折強度的影響較為顯著(F>F0.05)，而粉煤灰摻量和砂率對抗折強度的影響較小。最佳的試驗條件是A2B2C3，即最優(yōu)工藝參數(shù)為粉煤灰摻量10%、砂率34%、聚羧酸高效減水劑摻量1.0%，此時的抗折強度達到6.0 MPa。

表5 正交設(shè)計結(jié)果分析表

表6 正交設(shè)計方差分析表

通過以上數(shù)據(jù)處理的過程可以看出，正交試驗分析的對象為離散型數(shù)據(jù)，即圖1所示立方體上9個均勻分布的孤立點，試驗次數(shù)少但布點均勻分散、整齊可比,從而避免了部分試驗誤差的干擾。在直觀的極差和方差分析中體現(xiàn)了各因素(主效應(yīng))的最優(yōu)水平值和顯著性大小，但是獲得的最優(yōu)工藝參數(shù)只能是所選水平的某種組合，這也使試驗結(jié)果的準確性降低。此外因素之間的交互作用在結(jié)果中并沒有體現(xiàn)，這歸因于正交表的選擇，即在試驗設(shè)計時就基于因素間不存在交互作用而選擇的無交互作用列的正交表。正交表的選擇決定了在試驗設(shè)計前需要積累大量的專業(yè)知識和實踐經(jīng)驗才能保證試驗的準確性，因為一旦正交表選擇錯誤，不但會對各效應(yīng)的顯著性產(chǎn)生影響,還可能會出現(xiàn)交互作用的混雜。

以粉煤灰摻量、砂率和聚羧酸高效減水劑摻量為設(shè)計變量,進行響應(yīng)面設(shè)計的試驗結(jié)果見表7，對結(jié)果進行分析并建立式(5)所示的二元回歸數(shù)學(xué)模型。

表7 響應(yīng)面設(shè)計試驗結(jié)果分析表

Y=-95.325+0.011 563A+4.125B+66.125C+9.375×10-4AB-0.012 5AC+0.125BC-3.906 25×10-4A2-0.062 5B2-37.5C2

(5)

該模型的方差分析結(jié)果見表8。從表8中可以看出模型的P<0.001，即建立的二元回歸數(shù)學(xué)模型是極顯著的；失擬項的P>0.05，即失擬項不顯著；這2個值均說明建立的回歸方程可以很好地預(yù)測抗折強度。根據(jù)P值可知，主效應(yīng)中的減水劑摻量、曲面作用中減水劑摻量、粉煤灰摻量和砂率的平方項對抗折強度的影響比較顯著，一次項顯著性排序為C>B>A。

表8 響應(yīng)面設(shè)計方差分析表

在某一因素固定為“0”水平的條件下，分析其他2個因素的交互作用對抗折強度的影響結(jié)果如圖3～圖5所示。二維等高線的形狀越接近橢圓則表示因素間的交互作用越顯著[22]。從圖3～圖5可以看出,隨著砂率和粉煤灰摻量的增加，28 d抗折強度均出現(xiàn)先增大再減小的趨勢且幅度較大，明顯的橢圓狀等高線也說明砂率和粉煤灰的交互作用較為顯著。而粉煤灰和減水劑的交互作用以及砂率和減水劑的交互作用相比于砂率和粉煤灰的交互作用并不是很明顯，這與方差分析中P值結(jié)果PAB=0.143 8

圖3 粉煤灰與砂率的交互作用

圖4 粉煤灰與減水劑的交互作用

圖5 砂率與減水劑的交互作用

對響應(yīng)面模型進行全局優(yōu)化，得到最優(yōu)工藝條件及相應(yīng)的預(yù)測值并進行試驗驗證，結(jié)果見表9。這樣基于預(yù)測結(jié)果，在試驗驗證時各因素水平取表中的實際條件。

表9 響應(yīng)面模型預(yù)測及試驗驗證結(jié)果

通過以上數(shù)據(jù)處理的過程可以看出，響應(yīng)面設(shè)計的試驗次數(shù)比正交設(shè)計稍多，選擇的代表性點也更加全面，如圖2所示。其可以建立一個二元回歸方程的數(shù)學(xué)模型，所以分析的數(shù)據(jù)為整個擬合曲面上的點，得到的最優(yōu)因素水平也不再局限于給定水平的組合，所以準確度也相對較高。在方差分析結(jié)果中同時包含了一次項、二次項和平方項的顯著性，即在試驗設(shè)計前不需要考慮是否存在交互作用，借助二維等高線和三維響應(yīng)曲面等直觀的圖像就可清晰地反映因素間交互作用的顯著性，使得試驗設(shè)計更加科學(xué)，結(jié)果的穩(wěn)定性和準確性也更高；同時，響應(yīng)面設(shè)計還可以通過多項式求解對抗折強度進行預(yù)測，即在最優(yōu)條件下28 d抗折強度可以達到6.4 MPa。

3 結(jié)論

(1)以路用混凝土基于目標性能的配合比優(yōu)化為例，介紹了正交設(shè)計和響應(yīng)面設(shè)計2種試驗設(shè)計方法，兩者得到的最優(yōu)工藝參數(shù)接近，但正交設(shè)計是通過對9個代表性試驗點進行試驗設(shè)計得到給定水平范圍內(nèi)的最優(yōu)組合參數(shù)，而響應(yīng)面設(shè)計通過對12個基礎(chǔ)點和1個中心點進行試驗設(shè)計，得到的最優(yōu)因素水平不再局限于給定水平的組合，準確度也有所提高，而且還能對性能進行預(yù)測。

(2)正交試驗需要先確定是否存在交互作用，再合理選擇正交表，其分析的是離散型數(shù)據(jù)，方差分析結(jié)果只能得到各因素的顯著性；而響應(yīng)面試驗是對擬合曲面上的數(shù)據(jù)進行一個整體分析，在方差分析結(jié)果中同時包含了一次項、二次項和平方項的顯著性，同時還能借助直觀的響應(yīng)面圖像清晰反映因子之間的交互作用，不需要在設(shè)計前考慮交互作用是否存在，使得試驗設(shè)計更加科學(xué)，結(jié)果的穩(wěn)定性和準確性也更高。