勾股定理與面積計(jì)算

陳德前

我們知道，勾股定理是通過計(jì)算面積來證明的，因此將勾股定理的運(yùn)用與面積計(jì)算相結(jié)合成為中考命題的一種新趨勢.現(xiàn)舉例來說明這類問題的特點(diǎn)與解法.

例1 如圖1，已知Rt[△ABC]中，[CD]是斜邊[AB]上的高，[AC=4]，[BC=3]，則[AD=] .

分析：根據(jù)勾股定理求出[AB]，再利用面積法求出CD，然后用勾股定理列式計(jì)算求出AD.

解：在[Rt△ABC]中，∵AB2 = AC2 + CB2 = 42 + 32 = 25，∴AB = 5.

∵S△ABC = [12]AC·BC = [12]AB·CD，∴3 × 4 = 5CD，∴CD = [125].

在Rt△ACD中，AD2 = AC2 - CD2 = 42 - [1252]= [1652].

∵AD>0，∴AD = [165]. 故應(yīng)填[165].

點(diǎn)評：這里運(yùn)用同一個(gè)三角形面積的兩種表示方法，得到關(guān)于CD的方程，求得CD，進(jìn)而為運(yùn)用勾股定理求AD創(chuàng)造了條件.

例2 如圖2，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE，折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的點(diǎn)G處，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上，若DE=5，則GE的長為 .

分析：設(shè)BF與AE交于點(diǎn)H. 由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG.先證△ABF ≌△DAE，得到AF的長，再利用勾股定理求出BF，最后在Rt△ABF中利用面積可求出AH，進(jìn)而求出AG和GE.

解：∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°.

由折疊及軸對稱的性質(zhì)可知△ABF ≌ △GBF，BF垂直平分AG，

∴BF⊥AE，AH=GH，∴∠FAH + ∠AFH=90°.

又∵∠AFH + ∠ABH=90°，∴∠FAH=∠ABH，

∴△ABF ≌ △DAE（ASA），∴AF=DE=5.

在Rt△ABF中，∵AB = 12，AF = 5，∴BF2=AB2 + AF2 = 122 + 52 = 169，∴BF = 13.

∵S△ABF=[12]AB·AF=[12]BF·AH，∴12 × 5=13AH，∴AH=[6013]，∴AG=2AH=[12013].

∵AE=BF=13，∴GE=AE - AG=13 - [12013]=[4913]. 故應(yīng)填[4913].

點(diǎn)評：本題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用同一個(gè)三角形面積的兩種表示方法，得到關(guān)于AH的方程，求出AH，進(jìn)而為求GE值創(chuàng)造條件.