新課程背景下數學探究的出陳易新

【摘 要】 基于新課程背景的第十屆高中青年教師課例展示給研究課型注入了數學探究的新鮮血液，通過追溯數學探究的核心精神與價值，從“師與生”“動與靜”“思與術”三省數學探究課，最后對課后探究進行展望，以期數學探究在小荷才露尖尖角之后如日方升.

【關鍵詞】 數學探究;數學建模;學生主體;獨立思考;信息技術

2020年第十屆高中青年數學教師課例展示中第一次引進數學探究課的展示，讓筆者耳目一新，也引發(fā)了筆者對高中數學探究的思考，新課程背景下的數學探究不斷地出陳易新.

1 追溯數學探究

數學探究很早就進入高中數學課標和教材中[1]，數學探究是貫穿于整個高中數學課程的重要內容，這些內容不單獨設置，滲透在每個模塊或專題中.“數學探究”即數學探究性課題學習，這個過程包括：觀察分析數學事實，提出有意義的數學問題，猜測、探究適當的數學結論或規(guī)律，給出解釋或證明.數學探究有助于學生初步了解數學概念和結論的產生過程，初步理解直觀和嚴謹的關系，初步嘗試數學研究的過程，體驗創(chuàng)造的激情，建立嚴謹的科學態(tài)度和不怕困難的科學精神;有助于培養(yǎng)學生勇于質疑和善于反思的習慣，培養(yǎng)學生發(fā)現、提出、解決數學問題的能力;有助于發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和實踐能力.數學探究與數學建模往往如影隨形，“數學建模”是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程[2]，通過實際情景—提出問題—數學模型—數學結果—檢驗—可用結果來體現.數學建模為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識;有助于激發(fā)學生學習數學的興趣，發(fā)展學生的創(chuàng)新精神和實踐能力.

雖然數學探究很早引起教師們的注意，成為課堂教學研究的關注點，但在實際的教學中缺少對數學探究和數學建模針對性和操作性的研究，本次大賽為教師們研究“數學探究”提供了絕佳的機遇，下面讓我們一起來三省“數學探究”.

2 三省數學探究

2.1 一省“師與生”

基于數學探究與數學建模過程的持久性與復雜性，一般的項目式數學探究不可能在一節(jié)課內完成，它需要分為“課前、課中、課后”三個階段，這三階段過程中“教師主導”與“學生主體”的關系與主次應該是相對的、缺一不可、互融互通.

首先是問題的提出，可以是教師拋給學生探究的問題，也可以是學生自主尋找和提出的問題，但是需要教師對學生提出的問題進行“過濾”.在“教師主導”下“過濾”出“好問題”，比如“探究茶水水溫的變化規(guī)律”“停車距離問題”“關于介質與距離對WiFi信號強弱的影響”“正方體截面的探究”“身高與鞋碼”等問題.有了“好問題”，學生就有了研究方向，為“學生主體”提供了馳騁的疆場，讓“學生主體”的作用盡可能發(fā)揮得淋漓盡致.

其次是問題的解決過程，從場面上看，問題解決的過程是以學生為主體，但其間涉及到探究步驟、分組合作等問題，就需要“教師主導”來進行一系列協(xié)調.經過教師的協(xié)調，問題探究的過程一般分為“課前、課中、課后”三階段，課前任務是小組自主探究，包括完成研學方案、小組完成探究任務、完成前期報告等，課中任務是小組間合作探究，包括各組展示、課上交流和師生釋疑等，課后任務是拓展探究，包括確定拓展內容、完成探究報告等.

最后是問題的成果匯總，以數學建模為例，完成一份探究報告，需要建立模型，分析誤差Symbol^C@優(yōu)化模型，檢驗模型聯系實際，解決問題歸納小結，拓展提升.對于相同的問題，不同小組選擇的模型會有差別，比如在探究茶水水溫的變化規(guī)律時，分別有選擇一次函數、冪函數、對數函數、雙曲線型函數等不同模型，此時教師需要引導學生分析這些模型，組織各小組相互交流.各小組先介紹為何選擇各自的模型，然后小組之間對彼此的模型進行優(yōu)劣性分析，優(yōu)化彼此的模型，其間有思維火花的碰撞，充分體現學生主體性，最后在教師的主導下，各小組確定模型，當然模型的選擇不唯一，可以是多個小組研究同一個模型，即使是同一個模型，不同小組研究模型的數學方法也會有所不同，體現百家爭鳴、百花齊放.

2.2 二省“動與靜”

一次成功的探究之旅是動靜相宜、張弛有度的，即合作交流與獨立思考有效結合.從數學學科的特殊性來看，數學探究應首先側重獨立思考，因為數學理性思維的培養(yǎng)是需要學生思維的積累與沉淀，學生只有靜下心來針對某一個問題長時間思考研究才會進入到更深的層次和境界，表面的熱鬧與浮夸的討論對于深層次思考沒有實質性幫助.但作為開放性的數學探究，合作交流又是必不可少的，因為數學探究（尤其是數學建模類的數學探究式項目學習）需要調動學生不同的優(yōu)勢智能，不同的學生擁有不同的優(yōu)勢智能，通過適度有效的合作交流，學生之間可以形成智能互補，彌補自身獨立思考之后的思維盲點與漏洞.

一方面，數學探究為獨立思考提供良好的土壤.比如在“正方體截面的探究”中，教師布置學生進行課前自主探究，通過五大任務，九個設問完成一份研學報告.教師拋給學生預設的探究任務：（1）查詢研究背景;（2）尋求相關知識;（3）研究截面形狀;（4）掌握截面作圖;（5）嘗試實踐應用.通過問題串給學生提供研究方向和提示，使探究落到實處：（1）生活中，常見的截面實例有哪些？（2）實例中哪些相關問題的解決需要截面？（3）在高考知識范疇中，哪些內容有截面的“蹤跡”？（4）什么樣的圖形才能作為幾何體的截面？（5）請利用實物模型或者技術工具（3D繪圖軟件）等手段，模擬正方體截面，并總結正方體截面有哪些不同的形狀？（6）結合所得到的截面的形狀特征，說明它們的性質并嘗試證明，其中需要用到哪些數學原理？（7）能否將截面補全？如何操作？（8）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分別位于三條棱上，如何作出過E，F，G三點的截面？（9）“方矩管”是鋼材料中常見的，它的直截面為標準正方形，這種材料在使用中多用于建筑的支撐結構.若某方矩管在使用后留下三個不同位置的小孔，那么在鋼材料回收時，應該如何切割（沿同一平面）呢？以小組為單位，要求每位組員都將教師布置的任務和設問進行深入自主探究，然后通過組內交流將組員的探究成果先進行匯總形成小組的探究報告，這樣避免了在數學探究過程中“少數人探究，多數人看熱鬧”的現象，盡可能讓每一位學生都接觸到探究的核心問題并進行積極思考.

另一方面，數學探究為合作交流提供良好的場域.課中的合作探究事實上是一種組間交流，每個小組都會向大家介紹如何發(fā)現截面，如何尋覓截面，如何研究截面，如何應用截面.其間涉及到探究的核心問題：（1）研究正方體的截面形狀分類（是什么）;（2）研究正方體的截面形狀特征（為什么）;（3）研究正方體的截面作圖方法（怎么做）.各小組為準備這場展示匯報都做了精心的準備，發(fā)揮小組成員的各項優(yōu)勢智能，擁有數理邏輯優(yōu)勢智能的學生負責處理核心問題，擁有人際優(yōu)勢智能的學生負責匯總組內成員的研究成果，擁有空間視覺優(yōu)勢智能的學生負責制作模型，擁有語言優(yōu)勢智能的學生負責進行匯報，等等.每個小組展示的研究方法、研究對象、研究過程與研究成果各不相同，都給其他小組帶來意外的驚喜，讓其他小組也受到一定的啟發(fā)，此外“當局者迷旁觀者清”，有些研究存在一些問題，通過組間交流能夠發(fā)現問題和解決問題.

2.3 三省“思與術”

從本次全國優(yōu)質課展示來看，目前的數學探究區(qū)別于以往一個很大的特點就是信息技術的強力加盟，這便引起我們思索“思維與技術”的辯證關系.

首先，我們看到EXCEL、圖形計算器、GeoGebra等軟件在數學探究與數學建模課堂上顯示強大功能，教師與學生都能夠熟練運用這些信息技術軟件進行各種數據的處理.比如函數模型的擬合，其間涉及大量比較復雜數據的運算，借助于EXCEL或圖形計算器確實能快速地完成運算和函數的擬合;再比如在探究正方體截面時，有小組運用GGB軟件模擬正方體截面形狀，三維動態(tài)立體圖形形象直觀，彌補有些學生空間想象能力的不足.在優(yōu)質課展示的現場提問環(huán)節(jié)有教師提問：如果我們的學生不會使用圖形計算器等軟件，那么這堂課該如何處理？這個樸實無華的提問也引起了筆者的反思.筆者感覺信息技術已經登上了舞臺，但是要成為學生學習數學的日常還有一段很長的路要走，我們需要對學生進行各方面信息技術操作的培訓.每個地區(qū)的情況還都不一樣，比如浙江省目前將“通用技術與信息技術”課程列為學考科目，而且作為高考“七選三”選考科目之一引起學生比較高的關注，尤其是將“通用技術與信息技術”作為選考科目的學生對于信息技術的使用比較熟練，可見信息技術的培訓已成為當務之急，這也是當代數學教育的趨勢.

圖1

其次，強大的信息技術代替不了更強大的數理邏輯思維.數學探究課如果一不小心演變成信息技術滿天飛，課堂中充斥各種花哨的信息技術手段，那么也許就背離了數學探究的初衷.數學核心素養(yǎng)中有數學抽象、邏輯推理、直觀想象、數學運算[3]，而數學建模與數據分析側重的仍然是蘊含其中的數學思想方法，比如如何建立模型、如何優(yōu)化模型、如何處理模型中各種變量之間的關系等等，而信息技術只是在求解模型過程中的一種輔助工具.再如如何進行數據分析，選擇怎樣的指標來處理數據等問題，信息技術是在處理大量繁雜數據時的一種輔助工具.由此可見，信息技術是數學探究的一種有效的輔助工具，它能讓數學探究變得更高效、更準確，但它不能成為數學探究的主角，數學探究的主角永遠是思維，信息技術起到的是錦上添花的作用.

3 展望數學探究

本次全國優(yōu)質課的展示為我們一線教師如何上好數學探究課奉獻了一場饕餮盛宴，由于展示是執(zhí)教教師以說課的形式進行，所以我們看到的不僅僅是數學探究或建模課的課中情形，更能看到課前的情形，但唯一遺憾的是雖然有些執(zhí)教教師把數學探究分成為“課前、課中、課后”三階段，但可能由于展示時間有限，未能把課后的探究完整展示出來，只是拋磚引玉.筆者認為課后探究也尤為重要，通過課前組內交流、課中組間交流后，每個小組都有遺憾和收獲，帶著這些遺憾和收獲可以做很多后續(xù)的改良與調整，最后結合頭腦風暴、集體智慧將每個小組的探究成果優(yōu)化，可以形成研學報告或研究論文等成果，教師可以將這些成果集結成冊進行推廣.甚至在此研究成果的基礎上挖掘發(fā)現新問題，又可以形成一個絕妙的數學探究的新雛形，因此每次數學探究的結束是另一次探究之旅的開始，這亦是我們對數學探究美好的展望.

參考文獻

[1] 國家教材委員會專家委員會.普通高中教科書數學[M].北京：人民教育出版社，2020.07.

[2] 王穎喆.關于中學數學建模教與學的思考[J].數學通報，2020（11）：1-3.

[3] 章建躍.核心素養(yǎng)統(tǒng)領下的數學教育變革[J].數學通報，2017（04）：1-4.

作者簡介 俞昕，女，碩士.中學高級教師，主要研究數學文化、數學校本課程等.