基于BOPPPS模型下的高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“二重積分的概念”為例

李雪竹

（運(yùn)城學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院，山西 運(yùn)城044000）

0 引言

高等數(shù)學(xué)是各高等院校工科類專業(yè)的一門公共基礎(chǔ)核心課，是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ).其內(nèi)容較多、學(xué)時較少，教學(xué)進(jìn)度較快，對學(xué)生的培養(yǎng)要求較高.因此為了實(shí)現(xiàn)有效的教學(xué)，切實(shí)提高教學(xué)質(zhì)量，許多教師投入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的研究中.而隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”及“慕課時代”的大力發(fā)展，“微課模式”的教學(xué)改革已被各大高校大力推廣.其中金朝永，李鋒探討了高等數(shù)學(xué)的微課程教學(xué)設(shè)計(jì)與翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)實(shí)踐研究［1］，陳昆，黃激珊探討了“高等數(shù)學(xué)”微課教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐［2］.文中指出微課資源適合學(xué)生自主學(xué)習(xí)、移動學(xué)習(xí)、泛在學(xué)習(xí)，能夠進(jìn)一步解放思想，創(chuàng)新理念.

BOPPPS教學(xué)模式創(chuàng)建于1976年，以建構(gòu)主義和交際法為理論依據(jù)，主張以學(xué)生為中心，是近幾年加拿大諸多院校為培養(yǎng)年輕教師采取的一種教學(xué)模式.隨著課堂改革的日益普遍，BOPPPS教學(xué)模式作為一種新興的教學(xué)模式，受到了中外越來越多教育學(xué)者的關(guān)注［3-8］.

基于BOPPPS模型下的高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)設(shè)計(jì)的文章也很多［9-12］.但關(guān)于二重積分的微課教學(xué)設(shè)計(jì)并未發(fā)現(xiàn).二重積分是高等數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，它是連接定積分和曲線、曲面積分的紐帶，在積分學(xué)中起著關(guān)鍵的作用，在這幾年的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對這一知識掌握的并不太好，因此，本文以二重積分的概念為例，探討基于BOPPPS模式的高等數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計(jì)的方法.幫助學(xué)生更好的理解和掌握二重積分的概念.

1 BOPPPS模型概述

因?yàn)槿说淖⒁饬σ话阒荒艹掷m(xù)15分鐘，所以BOPPPS模式根據(jù)這個規(guī)律，把教學(xué)內(nèi)容分割成六個小環(huán)節(jié)，使學(xué)生能夠持續(xù)集中注意力，全程專注于課堂，在課堂中獲取更多的有效知識.其包括：導(dǎo)入（Bridge-in）、學(xué)習(xí)目標(biāo)（Object）、先測（Pre-assessment）、參與式學(xué)習(xí)（Participatory learning）、后測（Post-as‐sessment）、總結(jié)（Summary），把整節(jié)課堂安排的合理有序.其中，導(dǎo)入階段，吸引學(xué)生注意力，激發(fā)他們的好奇心，使學(xué)生們產(chǎn)生學(xué)習(xí)動力，從而快速進(jìn)入新知識的學(xué)習(xí)；學(xué)習(xí)目標(biāo)階段，根據(jù)布魯姆學(xué)習(xí)目標(biāo)分為：知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度價值觀，明確學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)應(yīng)該達(dá)到的目標(biāo)；先測階段，評價學(xué)生目前所掌握知識的情況，教師參考結(jié)果來安排教學(xué)后續(xù)環(huán)節(jié)；參與式學(xué)習(xí)階段，采用恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，使學(xué)生的注意力能夠完全參與到課堂中去，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)；后測階段，通過一些方法確定學(xué)生在經(jīng)過本次課堂學(xué)習(xí)后，是否達(dá)到了所規(guī)定的教學(xué)目標(biāo)；總結(jié)階段，教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，對所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一個整合，并布置安排延伸作業(yè).

2 BOPPPS模式下高等數(shù)學(xué)微課設(shè)計(jì)理念——以“二重積分的概念”為例

筆者結(jié)合高等數(shù)學(xué)課程的特點(diǎn)，在BOPPPS教學(xué)模式的指導(dǎo)下，按照BOPPPS模式的六步教學(xué)法對高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行了嘗試.設(shè)計(jì)強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心、以問題為導(dǎo)向的探究式教學(xué)理念，時時牢記以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)這一教學(xué)原則，充分調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性.

以“二重積分的概念”為例，在介紹本小節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分的概念及其思想.學(xué)完本節(jié)內(nèi)容，不僅將定積分成功的推廣至二重積分，也為下一章學(xué)習(xí)曲線積分、曲面積分奠定了基礎(chǔ)，因此本節(jié)課承上啟下，起著至關(guān)重要的作用.

結(jié)合大綱的要求，在設(shè)計(jì)本課時，通過問題激發(fā)學(xué)生的興趣，由一元定積分自然推廣到二重積分，得到二重積分的概念，通過例題、練習(xí)加強(qiáng)概念的理解.

3 基于BOPPPS模型下“二重積分的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)

3.1 問題導(dǎo)入（Bridge-in）

在高等數(shù)學(xué)的上冊學(xué)習(xí)中，我們通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程引入了定積分的概念.（我們知道：數(shù)學(xué)中每個具體的概念都是由實(shí)際問題牽引而得）.因此與定積分的概念類似，二重積分的概念也是由兩個具體問題牽引得出.一是計(jì)算曲頂柱體的體積，二是求平面薄片的質(zhì)量，通過這兩個問題我們將引入二重積分的概念.著重介紹第一個引例：求曲頂柱體的體積，在講解中類比求曲邊梯形的面積的思想方法（分割、近似、求和、取極限），并告知學(xué)生這種思想在解決實(shí)際問題中有著廣泛的應(yīng)用.引導(dǎo)學(xué)生注重思想方法的滲透.因?yàn)榉椒愃疲诙€引例的講解可適當(dāng)簡化.（利用多媒體輔助教學(xué)，分割、近似更加形象直觀）.

3.2 教學(xué)目標(biāo)（Object）——PPT展示

知識技能目標(biāo)：理解曲頂柱體體積計(jì)算的思想方法；掌握二重積分的概念及幾何意義.

思想方法目標(biāo)：通過定積分和二重積分的對比講解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、類比推廣的數(shù)學(xué)思想方法.

情感態(tài)度目標(biāo)：享受探究的樂趣，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.3 先測（Pre-assessment）——提問并板書

提問：（1）定積分的概念是怎么來的呢？

（2）定積分的思想是什么？

（3）定積分的概念是什么？

板書：（1）曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程

（2）分割、近似、求和、取極限

3.4 參與式學(xué)習(xí)（Participatory learning）——特色設(shè)計(jì)

（1）首先對求曲頂柱體的體積、求平面薄片的質(zhì)量兩個引例進(jìn)行分析，分析過程中把握“分割-近似-求和-取極限”的思想.

（2）通過上面兩個引例的分析，強(qiáng)調(diào)雖是兩個不同領(lǐng)域的問題，但有其共同的特性，于是引入二重積分的定義：

定 義［13］設(shè)z=f()x，y是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，其中Δσi代表第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積.在每個Δσi上任取一點(diǎn)(ξi，ηi)，作乘積并作和，如果當(dāng)各個小區(qū)域的直徑的最大值λ→0時，這和的極限總存在，且與閉區(qū)域的分割及點(diǎn)(ξi，ηi)的取法無關(guān)，那么此極限稱為函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上的二重積分，記作，即

其中f(x，y)-被積函數(shù)；D-積分區(qū)域；x，y-積分變量；f(x，y)dσ-被積表達(dá)式-積分和.

關(guān)于上面的定義，要給學(xué)生做幾點(diǎn)說明，以幫助學(xué)生更好的理解定義.

說明：①在直角坐標(biāo)系下，用平行于坐標(biāo)軸的直線劃分D，則有dσ=dxdy，于是有=

③類比定積分的幾何意義，那二重積分的幾何意義是什么呢？（學(xué)生交流，教師總結(jié)）.

二重積分的幾何意義：當(dāng)f(x，y)≥0時表示曲頂柱體的體積；當(dāng)f(x，y)≤0時，表示體積的相反數(shù)；當(dāng)f(x，y)既有正又有負(fù)時表示上體積減下體積.④若f(x，y)≡1，則區(qū)域D的面積）.

3.5 后測（Post-assessment）——課堂練習(xí)

3.6 總結(jié)（Summary）

利用PPT展示本節(jié)課主要內(nèi)容，二重積分和定積分對比列表總結(jié)，歸納數(shù)學(xué)思想.

4 應(yīng)用反思

基于BOPPPS模式的微課教學(xué)設(shè)計(jì)，上例從求曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量兩個實(shí)際問題出發(fā)，通過與定積分的對比學(xué)習(xí)，進(jìn)一步引入刻畫二重積分的概念，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生對定義進(jìn)行分析，得出二重積分的幾何意義.采用問題驅(qū)動，對比教學(xué)的教學(xué)方法，促進(jìn)學(xué)生積極思維，主動學(xué)習(xí).

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師完全可以以知識點(diǎn)為獨(dú)立模塊，按照BOPPPS教學(xué)模式精心設(shè)計(jì)每一個知識點(diǎn)的單元微課，再把各知識點(diǎn)連接起來，真正做到以學(xué)生為中心，以問題為導(dǎo)向，積極引導(dǎo)學(xué)生參與到知識獲得的過程中，努力營造一個民主的、平等的、高效的數(shù)學(xué)課堂.