一類熱彈耦合問(wèn)題的奇攝動(dòng)解

帥 欣，包立平

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

耦合熱彈性問(wèn)題是熱彈性力學(xué)中最一般的問(wèn)題。它考慮溫度同變形的相互作用，即不但溫度會(huì)產(chǎn)生變形，而且變形也要產(chǎn)生或消耗能量，從而影響溫度。這樣，在熱傳導(dǎo)方程中有一個(gè)包含應(yīng)變的附加項(xiàng)，稱為溫度場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的耦合項(xiàng)。熱傳導(dǎo)方程和熱彈性方程不再是獨(dú)立的，必須聯(lián)立才能求解溫度、位移和應(yīng)力。文獻(xiàn)[1]采用直接有限元方法來(lái)求解基于L-S型廣義熱彈性理論的窄條薄板受熱沖擊作用的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，結(jié)果表明，該方法在求解L-S型廣義熱彈性耦合的一維問(wèn)題數(shù)值解上具有很高的精度。文獻(xiàn)[2]應(yīng)用非Fourier熱傳導(dǎo)定律構(gòu)建了單層材料中溫度場(chǎng)模型，得到內(nèi)外解的存在唯一性，再通過(guò)余項(xiàng)估計(jì)得到漸近解的一致有效性，從而得到無(wú)界域上溫度場(chǎng)的分布，描述了非Fourier溫度場(chǎng)的具體形態(tài)。文獻(xiàn)[3]分析了求解熱傳導(dǎo)方程的幾種差分格式，并介紹使用MATLAB編程求解偏微分方程的方法。文獻(xiàn)[4]建立了斜拉橋鋼索二階雙曲型偏微分方程模型，討論了加權(quán)平均格式差分方程解的收斂性，并運(yùn)用MATLAB對(duì)差分方程的數(shù)值解進(jìn)行求解。文獻(xiàn)[5]針對(duì)一類帶小參數(shù)的二階雙曲型方程，提出基于有限差分格式的自適應(yīng)移動(dòng)網(wǎng)格方法，給出具體的移動(dòng)網(wǎng)格算法，改進(jìn)了均勻網(wǎng)格上求解的結(jié)果。文獻(xiàn)[6]討論了具有擴(kuò)散，微溫度和微濃度的圓的一個(gè)熱彈性邊值問(wèn)題的顯式解。本文討論一類熱彈耦合模型并將其簡(jiǎn)化為求解熱傳導(dǎo)方程和雙曲方程，再求解出相應(yīng)方程的內(nèi)外解，最后通過(guò)數(shù)值分析得出首項(xiàng)的數(shù)值解。

1 模型建立

一類熱彈耦合模型如下：

(1)

(2)

式中，(x,t)∈Ω，ε為正參數(shù)，φ1(x)，φ2(x)，φ3(t)，φ4(t)，α1(x)，α2(x)，α3(t)，α4(t)為已知任意階連續(xù)可微函數(shù)，同時(shí)假設(shè)：

(1)Ω=[0,L]×[0,T]，R=[0,L]；

(2)k為熱傳導(dǎo)系數(shù)，ρ為密度，a,b為常數(shù)，記a/ρ=m2,b/ρ=c。

2 形式展開

奇攝動(dòng)關(guān)于方程解可以展開成含小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)形式的正則部分和邊界層部分理論，對(duì)方程(1)的解做正則展開得到正則部分解：

T(x,t,ε)=T0(x,t)+εT1(x,t)+ε2T2(x,t)+…

(3)

比較ε同系冪系數(shù)，可得：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

類似方程(4)的求解，可對(duì)方程(5)進(jìn)行求解。給出式T(x,t)的合成展開式：

(9)

代入方程(1)得：

則有p0(x,0)=T0,t(x,0)-φ2(x),pj+1(x,0)=pj,t(x,0)+Tj,t(x,0)，再比較ε同次冪系數(shù)，得到：

(10)

(11)

類似方程(4)、方程(5)，可對(duì)方程(10)、方程(11)求解。再對(duì)方程(2)的解作正則展開，得到：

(12)

將式(12)代入方程(2)，比較ε同次冪系數(shù)，得到：

(13)

(14)

(15)

類似方程(13)的求解，可解出方程(14)。對(duì)方程(2)的解U(x,t)作合成展開有：

(16)

比較ε的同次冪系數(shù)，可得：

qj+2=2qj+1,t+m2qj,xx+cpj,x-qj,t t

(17)

此時(shí)可得q0(x,t)=q1(x,t)=0。

3 余項(xiàng)估計(jì)

定理1方程(1)的解

T*(x,t,ε)=T0+…+Tnεn+p0εe-t/ε+…+pn-1εne-t/ε+Rεn+1

的余項(xiàng)R滿足：

證明首先考慮方程(1)的解

T*(x,t,ε)=T0+…+Tnεn+p0εe-t/ε+…+pn-1εne-t/ε+Rεn+1

(18)

將余項(xiàng)R代入方程(1)得到：

(19)

式中，G(x,t)=-Tn,t t-pn-1,t te-t/ε，由前面對(duì)方程(5)、方程(11)求解可知G(x,t)在閉區(qū)域Ω上連續(xù)，則存在常數(shù)M1，使得?ΩGdxdt≤M1，將方程(19)等式兩邊同乘2Rt，并在區(qū)域Ω上積分可得：

(20)

經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

定理2方程(2)的解

U*(x,t,ε)=U0+…+Unεn+q0εe-t/ε+…+qn-1εne-t/ε+Sεn+1

的余項(xiàng)S滿足：

S≤cM(x,t)∈Ω

證明首先將方程(2)解

U*(x,t,ε)=U0+…+Unεn+q0εe-t/ε+…+qn-1εne-t/ε+Sεn+1

(25)

的余項(xiàng)S代入方程(2)，可得：

(26)

4 數(shù)值分析

在區(qū)域Ω上定義均勻網(wǎng)格為：

xi=ihi=0,1,2,…,M,M=L/h
tj=jτj=0,1,2,…,N,N=T/τ

(27)

(28)

采用中心差商將方程(13)化為：

(29)

5 數(shù)值算例

令m2=1，k=c=1，h=0.01π，τ=0.01，L=π，T=1，取T0=e-x+t，p0=sin(x)et，U0=e-x+t，Ω=[0,π]×[0,1]，分別得出其邊界條件。首項(xiàng)誤差圖形如圖1所示。

圖1 首項(xiàng)誤差圖

通過(guò)圖1可以看出，對(duì)于T0，U0數(shù)值差分格式得出的數(shù)值解誤差在可接受范圍內(nèi)，當(dāng)選取步長(zhǎng)更小時(shí)，誤差會(huì)更小，由此得出其數(shù)值解是有效的。雖然p0的誤差較大，但是根據(jù)所構(gòu)造漸近解形式，系數(shù)ε可使得其值很小，不影響整體解。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文討論一類熱彈耦合方程在有界區(qū)域上帶邊界條件的問(wèn)題。在溫度場(chǎng)基礎(chǔ)上，考慮彈性場(chǎng)，解耦溫度場(chǎng)與彈性場(chǎng)方程，并通過(guò)求解溫度場(chǎng)方程，得出彈性場(chǎng)變化。后期將針對(duì)不能解耦情況下的一維熱彈耦合問(wèn)題展開研究，繼而探究二維、三維情形，并分析間斷熱傳導(dǎo)系數(shù)下的熱彈耦合問(wèn)題。