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    命題反思:警惕“喜好偏向”,擺正教學(xué)導(dǎo)向

    2021-09-28 15:27:35周紅娟
    關(guān)鍵詞:試題命制

    周紅娟

    摘要:從一份八年級(jí)的校級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷中的一道考查配方法的閱讀理解題的解答與評(píng)分情況說起,反思其命題的教學(xué)導(dǎo)向及暴露出的“喜好偏向”,指出:命題需要警惕網(wǎng)絡(luò)流行試題和自身教研興趣成為“喜好偏向”,可以通過重視教材“經(jīng)典問題”擺正教學(xué)導(dǎo)向。

    關(guān)鍵詞:試題命制;教學(xué)導(dǎo)向;“喜好偏向”;配方法

    最近,受學(xué)校教導(dǎo)處信任,筆者被安排命制一份八年級(jí)的校級(jí)期末數(shù)學(xué)試卷,測(cè)試范圍包括整式乘法與因式分解。由于多年任教九年級(jí),筆者覺得,八年級(jí)這部分內(nèi)容的教學(xué)要重視完全平方公式以及配方法,因?yàn)榕浞椒ㄔ诰拍昙?jí)一元二次方程、二次函數(shù)問題的解決中有著非常廣泛的應(yīng)用。所以,命題組卷時(shí),筆者選用了一道考查配方法的閱讀理解題。本文從該題的解答與評(píng)分情況說起,反思其命題的教學(xué)導(dǎo)向及暴露出的“喜好偏向”,提供研討。

    一、一道配方法閱讀理解試題及其解答與評(píng)分

    (一)試題

    我們知道,利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成(a±b)2。而對(duì)a2+2a-3這樣的二次三項(xiàng)式,則不能直接利用完全平方公式分解,但可以先用配方法配出一個(gè)完全平方式,再用平方差公式分解,過程如下:

    a2+2a-3=a2+2a+1-1-3=(a+1)2-4=(a+1+2)(a+1-2)=(a+3)(a-1)。

    請(qǐng)用配方法解決下列問題:

    (1)分解因式:a2-6a+5;

    (2)已知ab=34,a+2b=3,求a2-2ab+4b2的值;

    (3)若4x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,試求常數(shù)m的值。

    (二)預(yù)設(shè)解答和評(píng)分

    第(1)、第(2)問不算太難,筆者預(yù)設(shè)學(xué)生根據(jù)閱讀材料,利用完全平方公式能夠順利解決。對(duì)第(3)問,筆者預(yù)設(shè)的解答思路是:將多項(xiàng)式4x2+12x+m局部配方,可得[(2x)2+2×2x×3+32]-9+m=(2x+3)2-9+m;因?yàn)?x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,即利用平方差公式對(duì)代數(shù)式(2x+3)2-9+m變形會(huì)產(chǎn)生因式2x+4,這樣就可逆向推導(dǎo)出(2x+3)2-9+m=(2x+3+1)(2x+3-1);等式兩邊比較,得出-9+m=-1的結(jié)論,可得m=8的結(jié)果。為突出對(duì)配方法的考查,筆者預(yù)設(shè)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):使用十字相乘法等其他方法得出正確結(jié)果的,得分減半。

    (三)實(shí)際解答和評(píng)分

    閱卷所見學(xué)生的解題思路很多。以下是閱卷組收集的一些學(xué)生的解法:

    解法1根據(jù)多項(xiàng)式乘法法則(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,以及多項(xiàng)式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系,將多項(xiàng)式4x2+12x+m因式分解,得4x2+12x+m=(x+2)(4x+n),因而可得8+n=12,

    m=2n,解得n=4,

    m=8。

    解法2對(duì)多項(xiàng)式4x2+12x+m局部變形,得4x2+12x+m=4x(x+2)+4x+m,分析得出4x+m這個(gè)多項(xiàng)式中含有x+2這個(gè)因式,即4x+m=4(x+2),進(jìn)而求得m=8。

    解法3畫出圖1,大矩形的面積是4x2+12x+m,被分成4個(gè)面積是x2的正方形和4個(gè)面積是2x的矩形,以及A和B兩個(gè)矩形。矩形A的一邊長(zhǎng)為x,面積為12x-8x=4x,算出其相鄰的另一邊長(zhǎng)是4,因此矩形B的面積是2×4=8,即m=8。

    解法44x2+12x+m分解因式所得結(jié)果中有一個(gè)因式為x+2,說明方程4x2+12x+m=0有一根為x=-2。將x=-2代入方程4x2+12x+m=0,可得16-24+m=0,求得m=8。

    解法1充分體現(xiàn)了“回到定義”的解題思想,即基于整式乘法與因式分解的互逆關(guān)系,設(shè)出另一個(gè)因式,求出待定的系數(shù)。解法2體現(xiàn)出對(duì)分組分解法的較好理解,即先在一部分和式中找到已知因式,得到剩下的和式中也有已知因式。解法3充分利用了二次式的幾何意義,借助矩形的拼接,以形助數(shù)直觀獲解。解法4從方程的視角看多項(xiàng)式,基于方程的根與多項(xiàng)式的因式的關(guān)系,靈活運(yùn)用方程的根的概念,采用試根法解決問題,體現(xiàn)了“高觀點(diǎn)”的解題思想。

    閱卷組覺得,這些解法各有各的精彩,各有各的價(jià)值,如果因?yàn)闆]有采用配方法而被扣去較多的分,對(duì)學(xué)生而言是不公平的。于是,閱卷組討論決定修改評(píng)分標(biāo)準(zhǔn):不使用配方法,而使用其他方法得出正確結(jié)果的,只扣1分——之所以還扣分,是因?yàn)轭}目提出了使用配方法的要求。

    二、關(guān)于命題的“喜好偏向”及教學(xué)導(dǎo)向的思考

    檢索一些搜題網(wǎng)站、組卷網(wǎng)站,可以找出海量的名校試卷、縣區(qū)期末試卷以及全國(guó)各地中考試卷。前兩類試卷普遍存在“拿來主義”的命題現(xiàn)象:幾乎所有試題全部可以在網(wǎng)上檢索到原題(數(shù)字、字母、圖形都是原樣)。這樣命題的教學(xué)導(dǎo)向就是“逼著”師生走進(jìn)“題?!?、大量“刷題”,誰(shuí)做得多,誰(shuí)就可能碰到原題、得到高分。雖然中考試卷較少存在“拿來主義”的命題樣態(tài),但是,其中依然存在“喜好偏向”的命題現(xiàn)象。對(duì)此,命題人需要自我審視,提高警惕,以進(jìn)一步擺正教學(xué)導(dǎo)向。

    (一)警惕“喜好偏向”:不可追逐“網(wǎng)絡(luò)流行”和“個(gè)人興趣”

    1.網(wǎng)絡(luò)流行試題常常成為命題的“喜好偏向”。

    目前,由于自媒體(如微信公眾號(hào))的內(nèi)容在微信群或朋友圈的傳播,各地一些熱點(diǎn)試題很快會(huì)成為網(wǎng)絡(luò)流行的試題,特別是經(jīng)過一些地區(qū)中考試卷的“強(qiáng)力推薦”,往往就會(huì)成為命題的“喜好偏向”。茲舉兩例:

    1.(2018年北京市中考數(shù)學(xué)卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)y=kx(x>0)的圖像G經(jīng)過點(diǎn)A(4,1),直線l:y=14x+b與圖像G交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C。

    (1)求k的值。

    (2)橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)。記圖像G在點(diǎn)A、B之間的部分與線段OA、OC、BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W。

    ①當(dāng)b=-1時(shí),直接寫出區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù);

    ②若區(qū)域W內(nèi)恰好有4個(gè)整點(diǎn),結(jié)合函數(shù)圖像,求b的取值范圍。

    2018年之后,這類考題就在北京市各個(gè)區(qū)九年級(jí)階段(月考)練習(xí)、期中(期末)試卷中流行起來。這類試題的出現(xiàn),改變了有些地區(qū)以反比例函數(shù)圖像(雙曲線)為背景的幾何綜合題命題方式,對(duì)于引導(dǎo)師生關(guān)注反比例函數(shù)的本質(zhì)有著較好的導(dǎo)向作用。

    2.(2018年蘭州市中考數(shù)學(xué)卷)如圖2,M、N是正方形ABCD的邊CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足AM=BN,連接AC,交BN于點(diǎn)E,連接DE,交AM于點(diǎn)F,連接CF。若正方形的邊長(zhǎng)為6,則線段CF的最小值是。

    解決此題,需要利用一系列已知的或由三角形全等得到的角相等,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡是以AD為直徑的半圓。2018年之后,很多喜歡動(dòng)點(diǎn)軌跡的命題人就不斷圍繞這個(gè)題目進(jìn)行各種改編,并拓展到了“定角定弦”問題。這類考題通常解法比較單一,且具有一定的技巧性,使得師生不斷歸納、提煉解題技巧或模型,把教學(xué)帶向?qū)?xì)枝末節(jié)的關(guān)注。其實(shí),這類題的很多解題技巧價(jià)值不大:高中學(xué)習(xí)平面解析幾何知識(shí)后,很容易通過“建系,設(shè)點(diǎn)(或其他量),表示長(zhǎng)度,確定最值”的路徑和方法解決。

    可見,網(wǎng)絡(luò)流行試題本身的教學(xué)導(dǎo)向有好有壞。但是,一旦這樣的試題經(jīng)常出現(xiàn),就會(huì)被師生發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”,從而“逼著”師生花費(fèi)較多時(shí)間去收集、研究,進(jìn)而使解題教學(xué)成為“題?!苯虒W(xué)、“刷題”教學(xué),至少是題型教學(xué),造成學(xué)生基礎(chǔ)不實(shí)。從這個(gè)意義上看,命題者需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)流行試題提高警惕:可以適當(dāng)挑選好的網(wǎng)絡(luò)流行試題改編組卷,但是不宜過分?jǐn)D占經(jīng)典問題的考查空間。

    2.自身教研興趣常常成為命題的“喜好偏向”。

    相對(duì)于網(wǎng)絡(luò)流行試題,命題人自身的教研興趣更容易成為命題的“喜好偏向”——實(shí)際上,很多網(wǎng)絡(luò)流行試題也是因?yàn)槊}人自身的教研興趣而成為命題的“喜好偏向”的。比如,命題人偏好幾何模型,往往試卷中關(guān)鍵位置的考題多是幾何綜合題;命題人喜歡繁雜運(yùn)算,往往試卷中有不少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算,或者不少試題的運(yùn)算結(jié)果 “不好看”。

    以上文提及的考查配方法的閱讀理解題為例,其設(shè)問“強(qiáng)制”學(xué)生使用配方法解答,多少也是筆者的教研興趣導(dǎo)致的。其實(shí),盡管配方法是一種非常重要的變形技能,但是對(duì)于因式分解問題而言,“回到定義”去思考,直接分析出另一個(gè)因式的系數(shù)特點(diǎn),反而是更簡(jiǎn)單和自然的解法??梢?,基于教研興趣命制的試題,同樣可能帶來不好的教學(xué)導(dǎo)向,需要命題者提高警惕。

    (二)擺正教學(xué)導(dǎo)向:重視教材“經(jīng)典問題”

    為了切實(shí)防范命題的“喜好偏向”(這是一件“知易行難”的事),擺正命題的教學(xué)導(dǎo)向,筆者以為,命題人要重視對(duì)教材的研究,挑選出教材中的“經(jīng)典問題”(一般是指那些經(jīng)過相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間檢驗(yàn)保留下來的數(shù)學(xué)問題)進(jìn)行改編,從而引導(dǎo)教學(xué)充分關(guān)注教材,促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)思考,發(fā)展思維,“以不變應(yīng)萬變”。限于篇幅,也舉兩例:

    1.圍長(zhǎng)方形問題。

    (1)(面積最大問題)用定長(zhǎng)l的繩子圍矩形,怎樣設(shè)定長(zhǎng)、寬能使圍出的矩形的面積最大?

    (2)(周長(zhǎng)最小問題)當(dāng)圍成的矩形的面積一定時(shí),怎樣設(shè)定長(zhǎng)、寬能使圍成的矩形的周長(zhǎng)最???

    “圍長(zhǎng)方形”問題是教材中的“經(jīng)典問題”。這類問題的結(jié)論“顯而易見”,學(xué)生在小學(xué)就已熟知,但嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明卻需要使用初中階段的數(shù)學(xué)工具。根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),這類問題設(shè)計(jì)成考題后,難度系數(shù)都在0.5—0.6,具有很好的區(qū)分、測(cè)評(píng)功能,又有很好的教學(xué)導(dǎo)向。

    2.正方形邊上的點(diǎn)(非頂點(diǎn))引出的直角問題。

    (1)如圖3,E為正方形ABCD的邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE,作EF⊥AE,交CD于點(diǎn)F。請(qǐng)指出圖中互余的角有幾對(duì)?

    (2)在(1)的條件下,求證:∠BAE=∠CEF。

    (3)如圖4,點(diǎn)E、F、G分別在正方形ABCD的邊AB、BC、CD上,且AE=BF=CG,連接EF、FG,求證:EF=GF。

    (4)如圖5,正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊BC上,連接AE,作EF⊥AE,交正方形ABCD的頂點(diǎn)C處的外角平分線于點(diǎn)F,求證:AE=EF。

    正方形是接近完美的直邊圖形,其四條邊相等,四個(gè)角均為90°。以一條邊上任意一點(diǎn)(非頂點(diǎn))為頂點(diǎn)在正方形內(nèi)作直角,直角的邊與正方形的邊相交(相當(dāng)于作出正方形的一個(gè)“形周角”,類比“圓周角”可叫“方周角””),結(jié)合正方形的邊形成的平角以及頂點(diǎn)處的直角,可以得到很多角互余、很多角相等以及很多(直角)三角形相似;如果加上一些線段相等的條件,可以得到很多(直角)三角形全等,進(jìn)而得出更多的線段相等。上述4個(gè)小題便是基于這一“經(jīng)典問題”的改編,從角互余到角相等,再到直角三角形全等(得到線段相等),最后到非直角三角形(即最大的角為135°的鈍角三角形)全等(得到線段相等),自然深入。特別值得一提的是,相比于上述蘭州市中考題,本題考查的圖形更為簡(jiǎn)潔、基本,命制并不顯得刻意,解答無須復(fù)雜技巧,尤其是第(4)小題,即使想不到構(gòu)造鈍角三角形全等,也可以發(fā)現(xiàn)A、E、C、F四點(diǎn)共圓,得到∠AFE=∠ACE=45°,或者利用正方形和外角平分線設(shè)出有關(guān)線段的長(zhǎng),再根據(jù)直角三角形相似(相似很容易得出,全等比較難得出)得到線段長(zhǎng)的比例關(guān)系,通過解方程的手段解決問題(這是算的方法,比較好想,其實(shí)體現(xiàn)了解析幾何的思想,也體現(xiàn)了張景中院士改造歐氏幾何的“教育數(shù)學(xué)”思想)。

    參考文獻(xiàn):

    [1] 劉東升.學(xué)測(cè)命題要重視“關(guān)鍵題”的教學(xué)導(dǎo)向——有感于一道九年級(jí)“糾錯(cuò)題”[J].教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2021(4).

    [2] 王小林.關(guān)注經(jīng)典問題教學(xué):值得重視的教研主題——從李大潛院士“懷念徐質(zhì)夫老師”說起[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊,2019(8).

    [3] 郭文欣.求聯(lián)求變:讓經(jīng)典問題從“快思”到“慢想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué),2018(10).

    [4] 徐章韜.從全等、相似到面積、三角——教育數(shù)學(xué)研究之七[J].教育研究與評(píng)論(中學(xué)教育教學(xué)),2019(1).

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