固定結(jié)合面法向接觸阻尼三維分形模型*

蘭國生，李 祥，孫 萬，張學(xué)良，冀成龍，李聲祺

(太原科技大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，太原 030024)

0 引言

在機(jī)械結(jié)構(gòu)中結(jié)合面分布廣泛，對(duì)整體的靜、動(dòng)態(tài)特性都有重大影響[1-2]。結(jié)合面剛度在機(jī)床總剛度中的占比高達(dá)60%～80%[3],結(jié)合面的接觸阻尼占總阻尼的90%以上[4]。現(xiàn)階段對(duì)結(jié)合面接觸阻尼的研究較少。文獻(xiàn)[5]通過試驗(yàn)識(shí)別的方法預(yù)估結(jié)合面接觸參數(shù),該方法實(shí)驗(yàn)量大，通用性難以保證；文獻(xiàn)[6]基于分形接觸理論，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼分形模型，但未考慮分布域擴(kuò)展因子的影響；文獻(xiàn)[7]考慮分布域擴(kuò)展因子的影響，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼與損耗因子模型；文獻(xiàn)[8]區(qū)分了彈性接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系，推導(dǎo)了界面法向接觸剛度、損耗因子和法向接觸阻尼的計(jì)算方程式；文獻(xiàn)[9]基于一種加載-卸載混合彈塑性接觸模型，建立了結(jié)合面法向接觸阻尼統(tǒng)計(jì)模型，該模型中的粗糙表面統(tǒng)計(jì)參數(shù)受取樣長度和測試儀器的分辨率的影響，不具有客觀唯一確定性；文獻(xiàn)[6-9]所建接觸阻尼模型均與結(jié)合部基體質(zhì)量有關(guān)，然而結(jié)合面基體質(zhì)量不屬于結(jié)合面的內(nèi)在參數(shù)，使得模型不具有普適性；文獻(xiàn)[10]考慮了彈塑性的影響，建立了與基體質(zhì)量無關(guān)的結(jié)合面法向接觸阻尼分形模型，但未區(qū)分彈性接觸面積和橫截面積。

以上模型皆是在二維接觸曲線下建立的，這與結(jié)合面實(shí)際三維特性不符；上述模型均未考慮摩擦因素的影響；對(duì)處于塑性狀態(tài)的微凸體未區(qū)分彈性應(yīng)力所做功(變形量小于臨界變形量時(shí))和塑性應(yīng)力所做功(變形量大于臨界變形量時(shí))，僅以塑性能耗來計(jì)算微凸體的能量耗損。針對(duì)以上不足，本文建立了固定結(jié)合面法向接觸阻尼與損耗因子三維分形模型，并分析了結(jié)合面法向接觸阻尼和損耗因子與各相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系。

1 微凸體法向接觸特性

1.1 單個(gè)微凸體彈性變形階段

機(jī)械結(jié)合面是由兩個(gè)相互接觸的粗糙面構(gòu)成，根據(jù)赫茲理論可以將其簡化為一個(gè)剛性平面和一個(gè)等效粗糙表面的接觸。對(duì)于結(jié)合面上的單個(gè)微凸體，可以等效為球體。單個(gè)微凸體的等效曲率半徑為R，圓心為O，變形量為δ，實(shí)際接觸區(qū)域半徑為r，橫截接觸區(qū)域半徑為r′，如圖1所示。

圖1 理想剛性平面與微凸體接觸

由圖1可知，微凸體的等效曲率半徑可以表示為：R2=(R-δ)2+r′2，由于R?δ，則有r′2=2Rδ，因此可得微凸體橫截面積為：

a′=2πRδ

(1)

當(dāng)微凸體接觸變形在彈性階段時(shí)，接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系為[12]：

(2)

ae=πRδ

(3)

式中,E為兩接觸材料的綜合彈性模量，E= 1/[(1-υ12)/E1+(1-υ22)/E2]，E1和E2分別為兩接觸材料的彈性模量，υ1和υ2分別為兩接觸材料的泊松比。由式(1)和式(3)可得微凸體彈性變形階段的接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系為ae=0.5a′。

根據(jù)剛度的定義，僅有發(fā)生彈性變形的微凸體才具有法向剛度，即：

(4)

當(dāng)單個(gè)微凸體最終狀態(tài)是彈性接觸時(shí)，等效微凸體變形量由0到δ一直處于彈性變形階段，因此所儲(chǔ)存的彈性勢能為：

(5)

1.2 單個(gè)微凸體塑性變形階段

由文獻(xiàn)[13]可得，單個(gè)微凸體的彈塑性接觸臨界變形量為：

(6)

式中，σy為相互接觸材料中較軟材料的屈服強(qiáng)度σy=φE，φ為應(yīng)變指數(shù)；kμ為摩擦力的修正系數(shù)，當(dāng)0≤μ≤0.3時(shí)，kμ=1-0.228μ；當(dāng)0.3<μ<0.9時(shí)，kμ=0.932exp[-1.58(μ-0.3)]，其中μ為摩擦系數(shù)。

當(dāng)微凸體接觸變形在塑性階段時(shí)，接觸載荷和接觸面積與變形量之間的關(guān)系為[10]：

Pp=2πHRδ=2πkσyRδ

(7)

ap=2πRδ

(8)

式中，H為兩接觸材料中較軟材料的硬度H=kσy；k為塑性指數(shù)。由式(1)和式(8)可得微凸體塑性變形階段的接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系為ap=a′。

當(dāng)單個(gè)微凸體最終狀態(tài)是塑性接觸時(shí)，等效微凸體變形量由0到δc處于彈性變形階段，由δc到δ處于塑性變形階段，因此所消耗的能量為：

(9)

2 結(jié)合面法向接觸特性

2.1 結(jié)合面接觸分形理論

基于分形理論，微凸體的變形量δ可由其余弦函數(shù)的波峰和波谷的幅值表示[11]，即：

(10)

(11)

(12)

根據(jù)式(12)并選取結(jié)合面參數(shù)φ=0.7～2.5，G=10-11～10-9m，D=2.1～2.9，μ=0.15進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。

φ=1.5,μ=0.15圖2 D和G對(duì)的影響

D=2.6,G=10-10m,μ=0.15圖3 φ對(duì)的影響

由圖2和圖3可得，臨界橫截面積隨著分形維數(shù)增大而增大，并逐漸趨于緩和；臨界橫截面積隨著分形粗糙度參數(shù)增大而增大，并逐漸趨于陡峭；臨界橫截面積隨著應(yīng)變指數(shù)增大而增大，并逐漸趨于緩和。

結(jié)合面微接觸橫截面積分布函數(shù)為[14]：

(13)

2.2 結(jié)合面法向特性建模

結(jié)合微凸體實(shí)際接觸面積和橫截面積之間的關(guān)系可得，結(jié)合面總實(shí)際接觸面積和總的橫截面積分別為：

(14)

(15)

結(jié)合面總法向載荷為：

(16)

將式(10)、式(11)代入式(2)、式(7)，再將式(2)、式(7)、式(13)代入式(16)可得：

(17)

結(jié)合面總法向接觸剛度為：

(18)

將式(10)、式(11)代入式(4)，再將式(4)、式(13)代入式(18)可得：

(19)

結(jié)合面總法向能量儲(chǔ)存為：

(20)

將式(10)、式(11)代入式(5)，再將式(5)、式(13)代入式(20)可得：

(21)

結(jié)合面總法向能量耗損為：

(22)

將式(6)、式(10)、式(11)代入式(9)，再將式(9)、式(13)代入式(22)可得：

(23)

3 結(jié)合面法向接觸阻尼建模

將固定結(jié)合面法向接觸動(dòng)力學(xué)特性等效為彈簧和黏性阻尼器，如圖4所示，可以得到：

(24)

圖4 結(jié)合面動(dòng)力學(xué)模型

式中，t為時(shí)間；F(t)=Pncos(ωt)為作用于結(jié)合面的法向動(dòng)態(tài)接觸載荷；Kn為結(jié)合面法向接觸剛度；Cn為結(jié)合面法向接觸阻尼；x(t)=Xncos(ωt-θn)為結(jié)合面間法向動(dòng)態(tài)接觸相對(duì)位移,ω為角頻率、θn為初始相位。因此，η=Wd/We=|fcx(t)|/|fkx(t)|=Cnω/Kn，即：

(25)

結(jié)合面的阻尼損耗因子η為：

(26)

結(jié)合式(14)，分別對(duì)式(16)、式(19)、式(26)、式(24)進(jìn)行無量綱化處理可得：

(27)

(28)

(29)

(30)

4 仿真與分析

4.1 仿真計(jì)算

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(φ=1.5,μ=0.15)圖5 G*對(duì)的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(G*=10-10,μ=0.15)圖6 φ對(duì)的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(G*=10-10,φ=1.5)圖7 μ對(duì)的影響曲線

(a) D=2.1 (b) D=2.2

(c) D=2.3 (d) D=2.4

(e) D=2.5 (f) D=2.6

(g) D=2.7 (h) D=2.8

(i) D=2.9(φ=1.5,μ=0.15)圖8 G*對(duì)lg(η)的影響曲線

(a)D=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5 (b)D=2.5，2.6，2.7，2.8，2.9(G*=10-10,φ=1.5,μ=0.15)圖9 D對(duì)的影響曲線

(a)D=2.1，2.2，2.3，2.4，2.5 (b)D=2.5，2.6，2.7，2.8，2.9(G*=10-10,φ=1.5,μ=0.15)圖10 D對(duì)的影響曲線

4.2 仿真結(jié)果分析

綜上仿真結(jié)果進(jìn)一步分析可得：

(1)由分形理論可知，分形參數(shù)是與尺度無關(guān)的，可以體現(xiàn)出粗糙表面的內(nèi)在特征；分形維數(shù)D反映了具有分形特征曲線輪廓的復(fù)雜程度、不規(guī)則性；分形粗糙度參數(shù)G表征了表面輪廓的粗糙程度；對(duì)于分形維數(shù)D取值較大，分形粗糙度參數(shù)G取值較小的粗糙表面一般會(huì)呈現(xiàn)出微凸體緊密相連，表面輪廓較為平坦的特征；對(duì)于分形維數(shù)D取值較小，征尺度參數(shù)G取值較大的粗糙表面一般會(huì)呈現(xiàn)出微凸體稀疏分布，表面輪廓凹凸不平的特征。

(2)一方面當(dāng)分形維數(shù)D取值較大時(shí)，結(jié)合面上的微凸體扁平且分布緊密，導(dǎo)致相互接觸的微凸體之間摩擦阻力較大；另一方面隨著分形維數(shù)D增大，臨界橫截面積也會(huì)隨之增大，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比增多；此外，處于相同接觸面接的微凸體會(huì)隨著曲率半徑增加能量耗損也會(huì)隨著變大。因此結(jié)合面法向阻尼隨著分形維數(shù)的增大而增大。

(3)一方面當(dāng)分形粗糙度參數(shù)G取值較大時(shí)，結(jié)合面上的微凸體多瘦高，導(dǎo)致相互接觸的微凸體之間摩擦阻力較??；另一方面隨著分形粗糙度參數(shù)G增大，臨界橫截面積也會(huì)隨之增大，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比增多；此外，處于相同接觸面接的微凸體會(huì)隨著曲率半徑減小能量耗損也會(huì)隨著變小。然而在分形維數(shù)取值D=2.1～2.4時(shí)，微凸體密度較小且分形粗糙度參數(shù)G對(duì)臨界橫截面積影響較小，故而第一、第三因素影響程度相對(duì)較大，結(jié)合面法向阻尼隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而增小；在分形維數(shù)取值D=2.5～2.9時(shí)，微凸體密度較大且分形粗糙度參數(shù)G對(duì)臨界橫截面積影響較大，故而第二因素影響程度相對(duì)較大，結(jié)合面法向阻尼隨著分形粗糙度參數(shù)的增大而減小。

(4)隨著應(yīng)變指數(shù)φ的增大臨界橫截面積減小，結(jié)合面上處于塑性狀態(tài)微凸體的數(shù)量占比減少，故而結(jié)合面法向阻尼隨著應(yīng)變指數(shù)的增大而減小。

(5)結(jié)合面法向載荷Pn、分形維數(shù)D、分形粗糙度參數(shù)G與結(jié)合面阻尼Cn的變化規(guī)律和文獻(xiàn)[10，14]的相應(yīng)變化規(guī)律基本一致，因而此處結(jié)論可信?？紤]摩擦因素的影響以及微凸體由彈性到塑性的動(dòng)態(tài)變化過程是更符合實(shí)際情況的，說明本文模型是有意義的。

5 結(jié)論

(1)固定結(jié)合面法向接觸阻尼和阻尼損耗因子均與結(jié)合面的分形維數(shù)、分形粗糙度參數(shù)、法向接觸總載荷、振動(dòng)的角頻率、結(jié)合面材料參數(shù)(彈性模量、屈服強(qiáng)度、硬度)有關(guān)，分形維數(shù)是影響阻尼損耗因子和法向接觸阻尼的主要因素。

(2)結(jié)合面無量綱法向接觸阻尼隨著應(yīng)變參數(shù)的增大而減小，隨著粗糙表面分形維數(shù)的增大而增大。無量綱法向接觸載荷、無量綱分形粗糙度參數(shù)、摩擦系數(shù)對(duì)結(jié)合面無量綱法向接觸阻尼的影響趨勢均與分形維數(shù)所處范圍有關(guān)。

(3)阻尼損耗因子隨著無量綱法向接觸載荷增大而減小，隨著粗糙表面分形維數(shù)和無量綱分形粗糙度參數(shù)增大而增大。