基于小波包散布熵與Meanshift概率密度估計的軸承故障識別方法研究

張雄 張逸軒 張明 萬書亭 何玉靈 豆龍江

摘 ? 要：為提升軸承故障特征提取精度和運行狀態(tài)評估準確性，提出一種基于小波包散布熵與Meanshift概率密度估計的診斷方法. 首先，采用小波包變換對軸承振動信號數(shù)據(jù)進行升維，通過計算每個子帶的散布熵構建特征矩陣;然后，利用PCA對多維矩陣進行可視化降維，采用Meanshift無參估計得到訓練樣本的概率密度最大位置作為聚類中心;最后，通過計算測試樣本散布熵坐標與各聚類中心的歐式距離判定測試樣本類別歸屬. 采用CWRU和QPZZ-II軸承實驗臺不同故障類型和故障程度樣本數(shù)據(jù)對所提方法進行驗證，結果表明，得益于小波包完備的理論模型和信號頻帶分解稀疏性，結合散布熵指標對數(shù)據(jù)樣本良好的魯棒性，所構造的特征矩陣具有較好的類內(nèi)聚集性和較大的類間距離，同時，Meanshift以概率密度最大化為目標自適應迭代聚類中心和隸屬度，可以有效實現(xiàn)對不同數(shù)據(jù)樣本的分類識別.

關鍵詞：滾動軸承;小波包散布熵;Meanshift概率密度估計;故障診斷

中圖分類號：TH212;TH213.3 ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Research on Bearing Fault Identification Method Based on Wavelet

Packet Dispersion Entropy and Meanshift Probability Density Estimation

ZHANG Xiong1，2，ZHANG Yixuan1，ZHANG Ming1，

WAN Shuting1，2，HE Yuling1，2，DOU Longjiang1，2

（1. Hebei Key Laboratory of Electric Machinery Health Maintenance & Failure Prevention，Baoding 071003，China;

2. Department of Mechanical Engineering，North China Electric Power University，Baoding 071003 ，China）

Abstract：In order to improve the accuracy of bearing fault feature extraction and operation condition evaluation，a diagnosis method based on wavelet packet dispersion entropy and Meanshift probability density estimation is proposed. Firstly，wavelet packet transform is used to increase the dimension of bearing vibration signal data，and the dispersion entropy （DE） of each sub-band is calculated to construct the characteristic matrix. Then，PCA is used to reduce the dimension of multi-dimensional matrix visually. Meanshift nonparametric estimation is used to obtain the maximum probability density position of training samples as the clustering center. Finally，the Euclidean distance between the test sample distribution entropy coordinates and each cluster center is calculated to determine the test sample category. The experimental data of CWRU and QPZZ-II are used to verify the effectiveness of the proposed method for identifying different fault types and fault degrees. Due to the complete theoretical model of wavelet packet and the ability of signal band decomposition sparsity，combined with the good robustness of the DE index，the constructed feature matrix has good aggregation and large inter-class distance. At the same time，Meanshift aims at maximizing probability density，and can effectively classify different data samples by adaptive iterative clustering center and membership.

Key words：rolling bearing;wavelet packet dispersion entropy;Meanshift probability density estimation;fault diagnosis

滾動軸承是旋轉機械中最常見、故障率最高的零部件之一，它的運行狀態(tài)關系到整個機械設備的可靠性和安全性，因此，軸承故障診斷方法是近年來工程測試和信號處理領域的熱點[1-3]. 振動信號中含有大量的軸承周期性沖擊信息，在軸承故障診斷中有著廣泛的應用[3-6].

軸承故障診斷一般分為兩步. 第一步是故障特征的提取過程. 這一過程的核心是如何準確地抑制振動信號中的干擾信息，準確地提取故障特征元素. 在這一過程中，通常采用小波變換（Wavelet Transform[7]、小波包變換（Wavelet Packet Transform）[8]、經(jīng)驗小波變換（Empirical Wavelet Transform）[9]、經(jīng)驗模態(tài)分解（Empirical Mode Decomposition）[10]、集成經(jīng)驗模態(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition）[11]、局部均值分解（Local Mean Decomposition）[12]等處理手段對信號進行濾波和增維處理，目的是提取能更有效反映軸承故障信息的模態(tài)分量. 通過對分解后和濾波后的分量的動態(tài)特性進行統(tǒng)計學計算，構造出能夠反映軸承振動信號的特征矩陣. 其中信息熵、排列熵、模糊熵等動力學指標常被用來反映信號的瞬態(tài)特征. 陳法法等[13]提出一種基于信息熵與優(yōu)化最小二乘支持向量機的軸承性能退化趨勢模糊粒子預測方法，用于提升軸承性能退化指標預測精度. Zhang等[14]通過計算局部迭代分解濾波后固有模態(tài)分量的多尺度排列熵，構造歸一化特征向量，對不同工況條件下的軸承故障進行識別. 鄭近德等[15]采用復合多尺度模糊熵和迭代拉普拉斯得分對變分模態(tài)分解升維后的信號進行敏感特征選擇，以支持向量機對不同故障類型進行劃分. 第二步是利用機器學習方法將特征集作為訓練樣本和測試樣本進行模式識別. 該部分的核心問題包括聚類、分類、回歸和降維. Li等[16]對比分析了模糊C均值（Fuzzy C-Means，F(xiàn)CM）、Gustafson-Kessel算法、FN-DBSCAN和FCMFP算法各自特點. Yu等[17]利用Gath-Geva（GG）聚類對故障特征進行分類，得到各軸承狀態(tài)的聚類中心和隸屬度矩陣，進行模式識別.

構造能夠充分反映信號樣本屬性且具有良好類內(nèi)聚集性的特征矩陣，并尋求具有自適應能力和邊界特征的樣本分類方法是模式識別領域的核心問題. 本文提出了一種基于小波包散布熵與Meanshift概率密度估計軸承故障特征矩陣構造方法，通過計算樣本小波包各子帶的散布熵值，構建特征矩陣;進而利用PCA對特征矩陣進行可視化降維，選取貢獻度最高的兩個主成分;最后采用Meanshift概率密度估計聚類中心位置. 通過實驗數(shù)據(jù)分析，驗證了該方法能有效識別不同類型的故障和不同程度的故障.

1 ? 基本理論

1.1 ? 小波包散布熵

小波包變換能同時連續(xù)分解信號的高頻分量和低頻分量，并能自適應地確定不同頻段的分辨率，大大提高了信號的時頻局部分析能力，得到了廣泛的應用. 小波包變換過程可用式（1）表示.

式中：xi，j表示第i層的第j子帶信號（其中，i是分解層數(shù)，j是對應層的信號數(shù)）;K為序列長度;Ln和Gn分別是小波包的低通濾波器和高通濾波器.

為了解決樣本熵計算時間長、實時性差、排列熵不考慮平均振幅與振幅之差等問題，Rostaghi等[18]提出了一種新的時間序列不規(guī)則性度量指標，稱為散布熵（Dispersion Entropy，DE）. 與樣本熵和排列熵（Permutation Entropy，PE）類似，散布熵也是一種表征時間序列不規(guī)則性的方法. 散布熵值越大，不規(guī)則度越高;散布熵值越小，不規(guī)則度越低.

對于長度為N的時間序列x = {xj，j = 1，2，…，N}，散布熵的計算步驟如下：

1）通過正態(tài)分布函數(shù)用于將時間序列映射到y(tǒng) = {yj，j = 1，2，…，N}.

式中：μ和σ2分別表示序列的期望和方差.

2）通過線性變換將y映射到[1，2，…，c]范圍.

zcj = R（c·yj + 0.5） ? ? ? ? （3）

式中：c為類別個數(shù);R為取整函數(shù).

3）計算嵌入向量：

zm，ci ? ? ?=（zci，zc ? i+d，…，zc ? ? ? ? ? ? ? i+（m-1）d），i = 1，2，…，N-（m-1）d

（4）

式中：m和d表示嵌入維數(shù)和時延.

4）計算散布模式π v0 v1…vm - 1（v=1，2，…，c），如果zc ? i+d=v1，…，zc ? ? ? ? ? ? ? i+（m-1）d=vm - 1，則π v0 v1…vm - 1為zm，ci ? ? ?對應散布模式.

5）計算散布模式π v0 v1…vm - 1的概率：

式中：Number（π v0 v1…vm - 1）表示zm，ci ? ? ?在π v0 v1…vm - 1中的映射個數(shù).

6）類比香農(nóng)熵定義，將原信號的散布熵定義為：

當所有散布模式具有相同的概率（如噪聲信號）時，散布熵取最大值lncm. 相反，當只有一個p（π v0 v1…vm - 1）值不等于零時（如周期信號），則表示時間序列是完全規(guī)則或可預測的數(shù)據(jù)，散布熵取最小值.

1.2 ? Meanshift概率密度估計

Meanshift聚類算法是一種無參數(shù)的聚類算法，能夠在根據(jù)樣本點計算數(shù)據(jù)概率密度分布區(qū)間. 該算法已成功應用于圖像平滑、圖像分割和運動目標跟蹤等領域.

設Rd為d維空間，x = {xi}（i = 1，2，…，n）為離散數(shù)據(jù)集合. Meanshift可以定義為：

（7）

式中：Sh（x） = { y：（y - x）T（y - x） ≤ h2 }為球體區(qū)域;h為半徑.

向量Mh（x）對數(shù)據(jù)的概率密度梯度具有指向性. 由于不同距離的點具有不同的權重系數(shù)，引入核函數(shù)K（x），概率密度函數(shù)f（x）表示為：

（8）

核函數(shù)定義為：

K（x） = ok，d k（‖x‖2） ? ? ? ? （9）

式中：o為正則化系數(shù)，用來保證k（x）dx = 1.

通過求偏導得到概率密度函數(shù)f（x）極值點.

式中：g（x）=-k′（x），相應的核函數(shù)為G（x）=og，dg（||x||2）. 公式前半部分是以G（x）為核函數(shù)的概率密度估計的概率密度估計，后半部分為Meanshift所指向的最大概率密度梯度的方向，可以表示為

Meanshift算法本質上是一種自適應遞增迭代搜索數(shù)據(jù)分布概率密度分布梯度峰值的運算. 迭代次數(shù)為t，搜索窗口（空間）為r，給定任意初始點x. 迭代過程可以表述如下：

1）初始化t，r，設定閾值σ;

2）計算第t次迭代的概率密度梯度mh（xt）;

3）更新搜索空間r，xt + 1 = xt + mh（xt）;

4）重復步驟2和步驟3，直至mh（xt）≤σ.

采用仿真數(shù)據(jù)對上述過程進行說明. 給定一組以一定概率分布在二維空間中的數(shù)據(jù)點. 設定Meanshift算法參數(shù)為r = 0.5，σ = 1 × 10-4. 迭代過程如圖1所示，對所設定的高維球區(qū)域內(nèi)中心位置到離散數(shù)據(jù)點的向量進行加權處理，合成迭代向量梯度方向（類似于力的合成），然后，更新搜索窗口位置. Meanshift算法在不預先設定分類數(shù)的情況下，可以自適應地沿著概率密度梯度方向迭代，并最終找到聚類中心的位置.

1.3 ? 故障特征表征及模式識別過程

本文提出的軸承故障診斷方法流程如圖2所示，具體步驟如下.

1）構建特征矩陣. 選取訓練樣本形成信號集x = （x1，x2，…，xm），對原始信號集中的各個元素進行小波包分解，計算每個小波包子帶的散布熵構建特征矩陣WP = （WPix1，WPix2，…，WPixn） i = 1，2，3，4.

2）采用主成分分析法對特征矩陣進行降維. 將特征矩陣投影到二維空間，選擇貢獻率最高的兩個主成分構造二維特征矩陣（選擇兩個主成分（Principal Component，PC）可以顯示為二維圖，三個PC可以顯示為三維圖，本文數(shù)據(jù)特征樣本以二維平面圖的形式顯示，選擇貢獻率最高的前兩個PC分量構造特征矩陣）.

WP = （WPix1，WPix2，…，WPixn）Λ=（PC1xn，PC2xn）

3）建立了估計模型. 設定Meanshift參數(shù)（本文搜索半徑r的取值原則為在保障聚類種數(shù)的前提下，選擇盡可能小的窗口半徑），對主成分空間坐標點進行概率密度估計，得到聚類類別和聚類中心.

4）對測試樣本進行估計. 對測試樣本重復上述步驟1和步驟2，得到主成分特征矩陣，并計算其與訓練樣本的聚類中心的歐式距離，得到相應的隸屬關系.

2 ? 實測信號分析

為了驗證該方法對軸承不同故障類型和故障程度診斷的有效性，分別采用CWRU實驗室開源數(shù)據(jù)和QPZZ-II旋轉機械故障模擬實驗臺數(shù)據(jù)進行分析.

2.1 ? CWRU滾動軸承實驗數(shù)據(jù)分析（不同故障程度）

故障源數(shù)據(jù)為驅動端SKF6205軸承經(jīng)電火花加工在內(nèi)圈生成的四類故障程度樣本，故障尺寸分別為0.007英寸，0.014英寸，0.021英寸和0.028英寸（本文選用數(shù)據(jù)為美國凱斯西儲大學實驗臺數(shù)據(jù)，原數(shù)據(jù)說明中使用單位為英寸，故本文使用單位為英寸.轉換為國際單位后，四類樣本故障尺寸分別是0.017 78 cm，0.035 56 cm，0.053 34 cm和0.071 12 cm）. 電機轉速為1 750 r/min，采樣頻率為12 kHz，軸承實驗臺模型如圖3所示.

對四類不同故障程度的振動信號數(shù)據(jù)各取一組樣本，其時域波形如圖4所示.

驗證散布熵相較于排列熵的穩(wěn)定性以及對于不同故障程度具有較好的區(qū)分度. 對四類不同故障程度的振動信號劃分成不同數(shù)據(jù)長度構造數(shù)據(jù)節(jié)點，節(jié)點1數(shù)據(jù)長度為512，節(jié)點2數(shù)據(jù)長度為1 024（512×2），節(jié)點3數(shù)據(jù)長度為2 048（512×4），節(jié)點4對應數(shù)據(jù)長度為3 072（512×6），以此類推. 分別計算四類故障程度振動信號10個節(jié)點數(shù)據(jù)的散布熵，結果如圖5所示. 可以看出，不同故障程度下散布熵隨數(shù)據(jù)點長度增長的走勢大體相近且變化平緩，四種故障程度在各節(jié)點具有較好的區(qū)分度.

計算上述各節(jié)點的排列熵作為對比，結果如圖6所示，可以看出，不同故障程度下排列熵隨數(shù)據(jù)長度增長的走勢振蕩明顯，且存在交叉，說明數(shù)據(jù)長度的選擇在較大程度上影響類間區(qū)分度.

對四類不同故障程度振動信號各取40組分析樣本，其中20組為訓練樣本，20組為測試樣本，采用本文所提故障識別方法進行處理. 首先利用小波包分解對訓練樣本數(shù)據(jù)進行升維處理，然后計算每個樣本小波包各子帶的散布熵值，構建特征矩陣，進而利用PCA對特征矩陣進行可視化降維，選取貢獻度最高的兩個主成分，最后采用Meanshift概率密度估計聚類中心位置，結果如圖7所示.

對20組測試樣本進行分析，采用同樣的方法計算小波包散布熵構造特征矩陣，并通過PCA進行可視化降維，然后計算測試樣本點與上述聚類中心的歸一化歐氏距離，結果如圖8所示. 歸一化歐氏距離越小，說明樣本與該聚類中心的隸屬度越高，可以看出，測試樣本被較清晰的劃分到四類故障程度類別中.

采用EEMD排列熵構造特征矩陣進行對比分析，通過PCA可視化降維和Meanshift概率密度估計后的訓練樣本分布和聚類中心位置如圖9所示.可以看出，數(shù)據(jù)分布的類間距較小，類內(nèi)聚集性較差. 測試樣本與各聚類中心的歸一化歐氏距離如圖10所示，可以看出，測試樣本1和測試樣本2出現(xiàn)較為嚴重的混疊，難以明確其隸屬關系.

2.2 ? QPZZ-II旋轉機械故障模擬實驗臺數(shù)據(jù)分析

（不同故障類型）

為進一步驗證所提方法的有效性，采用QPZZ-II軸承故障模擬實驗臺（電機功率0.55 kW，調速范圍75～1 450 r/min）進行數(shù)據(jù)分析，故障軸承型號6205E（利用線切割分別在內(nèi)圈、外圈及滾動體植入故障），軸承座位置水平方向和垂直方向布置振動加速度傳感器（型號：東華1A116E，量程：50 g），測試系統(tǒng)采用DH5922N型動態(tài)信號采集分析儀（16通道/256 kHz），采樣頻率為12 800 Hz，實驗臺結構圖如圖11所示. 對三類不同故障類型的振動信號數(shù)據(jù)各取一組樣本，其時域波形如圖12所示.

對三類不同故障類型振動信號各取40組分析樣本，其中20組為訓練樣本，20組為測試樣本，采用本文所提故障識別方法進行處理. 對20組訓練樣本構造小波包散布熵特征矩陣，利用PCA進行可視化降維，并用Meanshift概率密度估計聚類中心，結果如圖13所示. 對20組測試樣本進行分析，計算測試樣本點與上述聚類中心的歸一化歐氏距離，結果如圖14所示. 可以看出，測試樣本被較清晰的劃分到三類故障程度類別中. 采用EEMD排列熵構造特征矩陣進行對比分析，訓練樣本分布和聚類中心位置如圖15所示，測試樣本與各聚類中心的歸一化歐氏距離如圖16所示，可以看出，測試樣本1和測試樣本2出現(xiàn)較為嚴重的混疊.

3 ? 結 ? 論

本文針對軸承故障模式識別領域的兩類典型問題（不同故障類型和不同故障程度數(shù)據(jù)樣本識別）展開研究，提出一種基于小波包散布熵和Meanshift概率密度估計的軸承故障模式識別方法，通過CWRU和QPZZ-II實驗臺數(shù)據(jù)分析驗證了所構造的小波包散布熵特征矩陣能夠充分反映信號樣本屬性且具有較好類內(nèi)聚集性，同時Meanshift無參概率密度估計具有良好的聚類邊界和數(shù)據(jù)樣本模式識別能力. 具體而言：

1）散布熵隨數(shù)據(jù)點長度增長的走勢相較于排列熵變化平緩，各節(jié)點具有較好的區(qū)分度，說明散布熵對截取的不同長度信號樣本具有更好的穩(wěn)定性和適應性.

2）訓練樣本的小波包散布熵經(jīng)PCA降維后相較于同樣處理的EEMD排列熵具有更穩(wěn)定的聚類區(qū)域以及更大的類間距離.

3）Meanshift無參概率密度估計能夠通過迭代準確識別樣本特征的聚類中心，通過計算測試樣本散布熵坐標與各聚類中心的歐氏距離可以實現(xiàn)對測試樣本隸屬關系的判別.

參考文獻

[1] ? ?邵海東，張笑陽，程軍圣，等. 基于提升深度遷移自動編碼器的軸承智能故障診斷[J]. 機械工程學報，2020，56（9）：84—90.

SHAO H D，ZHANG X Y，CHENG J S，et al. Intelligent fault diagnosis of bearing using enhanced deep transfer auto-encoder[J]. Journal of Mechanical Engineering，2020，56（9）：84—90. （In Chinese）

[2] ? ?楊蕊，李宏坤，王朝閣，等. 利用FCKT以及深度自編碼神經(jīng)網(wǎng)絡的滾動軸承故障智能診斷[J]. 機械工程學報，2019，55（7）：65—72.

YANG R，LI H K，WANG C G，et al. Intelligent fault detection for rolling element bearing based on FCKT and deep auto-coding neural network[J]. Journal of Mechanical Engineering，2019，55（7）：65—72. （In Chinese）

[3] ? ?陳仁祥，黃鑫，楊黎霞，等. 基于卷積神經(jīng)網(wǎng)絡和離散小波變換的滾動軸承故障診斷[J]. 振動工程學報，2018，31（5）：883—891.

CHEN R X，HUANG X，YANG L X，et al. Rolling bearing fault identification based on convolution neural network and discrete wavelet transform[J]. Journal of Vibration Engineering，2018，31（5）：883—891. （In Chinese）

[4] ? ?羅潔思，張紹輝，李葉妮. 多分辨奇異值分解在滾動軸承振動信號解調分析中的應用[J]. 振動工程學報，2019，32（6）：1114—1120.

LUO J S，ZHANG S H，LI Y N. Application of multi-resolution singular value decomposition in vibration signal demodulation analysis of rolling bearing[J]. Journal of Vibration Engineering，2019，32（6）：1114—1120. ?（In Chinese）

[5] ? ?彭延峰，劉貞濤，程軍圣，等. 基于初值優(yōu)化的自適應最稀疏時頻分析方法[J]. 湖南大學學報（自然科學版），2017，44（8）：50—56.

PENG Y F，LIU Z T，CHENG J S，et al. Adaptive and sparsest time-frequency analysis method based on initial value optimization[J]. Journal of Hunan University （Natural Sciences），2017，44（8）：50—56. （In Chinese）

[6] ? ?余發(fā)軍，周鳳星. 基于可調Q因子小波變換和譜峭度的軸承早期故障診斷方法[J]. 中南大學學報（自然科學版），2015，46（11）：4122—4128.

YU F J，ZHOU F X. Bearing early faults diagnosis based on tunable Q-factor wavelet transform and spectral kurtosis[J]. Journal of Central South University （Science and Technology），2015，46（11）：4122—4128. ?（In Chinese）

[7] ? ?趙靖，廖英英，楊紹普，等. 基于無跡卡爾曼濾波的動態(tài)貝葉斯小波變換在軸承故障診斷中的應用[J]. 振動與沖擊，2020，39（11）：53—62.

ZHAO J，LIAO Y Y，YANG S P，et al. An extension of unscented Kalman filter to dynamic Bayesian wavelet transform in fault diagnosis of rolling element bearings[J]. Journal of Vibration and Shock，2020，39（11）：53—62. （In Chinese）

[8] ? ?王麗華，陶潤喆，張永宏，等. 基于CEEMD-WPT的滾動軸承特征提取算法[J]. 振動·測試與診斷，2017，37（1）：181—188.

WANG L H，TAO R Z，ZHANG Y H，et al. Feature extraction of rolling bearing based on CEEMD-WPT[J]. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2017，37（1）：181—188. （In Chinese）

[9] ? ?杜小磊，陳志剛，王衍學，等. 基于IEWT和IFractalNet的滾動軸承故障診斷[J]. 振動與沖擊，2020，39（24）：134—142.

DU X L，CHEN Z G，WANG Y X，et al. Fault diagnosis of rolling bearings based on improved empirical wavelet transform and IFractalNet [J]. Journal of Vibration and Shock，2020，39（24）：134—142. ?（In Chinese）

[10] ?張立智，徐衛(wèi)曉，井陸陽，等. 基于EMD-SVD和CNN的旋轉機械故障診斷[J]. 振動·測試與診斷，2020，40（6）：1063—1070.

ZHANG L Z，XU W X，JING L Y，et al. Fault diagnosis of rotating machinery based on EMD-SVD and CNN[J]. Journal of Vibration，Measurement & Diagnosis，2020，40（6）：1063—1070. （In Chinese）

[11] ?李華，劉韜，伍星，等. EEMD和優(yōu)化的頻帶熵應用于軸承故障特征提取[J]. 振動工程學報，2020，33（2）：414—423.

LI H，LIU T，WU X，et al. EEMD and optimized frequency band entropy for fault feature extraction of bearings[J]. Journal of Vibration Engineering，2020，33（2）：414—423. （In Chinese）

[12] ?張坤，馬朝永，胥永剛，等. 快速自適應局部均值分解及軸承故障診斷應用[J]. 振動工程學報，2020，33（1）：206—212.

ZHANG K，MA C Y，XU Y G，et al. Fast and adaptive local mean decomposition method and its application in rolling bearing fault diagnosis[J]. Journal of Vibration Engineering，2020，33（1）：206—212. （In Chinese）

[13] ?陳法法，楊勇，馬婧華，等. 信息熵與優(yōu)化LS-SVM的軸承性能退化模糊?；A測[J]. 儀器儀表學報，2016，37（4）：779—787.

CHEN F F，YANG Y，MA J H，et al. Fuzzy granulation prediction for bearing performance degradation based on information entropy and optimized LS-SVM[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument，2016，37（4）：779—787. （In Chinese）

[14] ?ZHANG J B，ZHAO Y Q，LIU M，et al. Bearings fault diagnosis based on adaptive local iterative filtering-multiscale permutation entropy and multinomial logistic model with group-lasso[J]. Advances in Mechanical Engineering，2019，11（3）：1—13.

[15] ?鄭近德，姜戰(zhàn)偉，代俊習，等. 基于VMD的自適應復合多尺度模糊熵及其在滾動軸承故障診斷中的應用[J]. 航空動力學報，2017，32（7）：1683—1689.

ZHENG J D，JIANG Z W，DAI J X，et al. VMD based adaptive composite multiscale fuzzy entropy and its application to fault diagnosis of rolling bearing[J]. Journal of Aerospace Power，2017，32（7）：1683—1689. （In Chinese）

[16] ?LI C，CERRADA M，CABRERA D，et al. A comparison of fuzzy clustering algorithms for bearing fault diagnosis[J]. Journal of Intelligent & Fuzzy Systems，2018，34（6）：3565—3580.

[17] ?YU K，LIN T R，TAN J W. A bearing fault diagnosis technique based on singular values of EEMD spatial condition matrix and Gath-Geva clustering[J]. Applied Acoustics，2017，121：33—45.

[18] ?ROSTAGHI M，AZAMI H. Dispersion entropy：a measure for time-series analysis[J]. IEEE Signal Processing Letters，2016，23（5）：610—614.

收稿日期：2021-03-04

基金項目：國家自然科學基金資助項目（52105098，51777075），National Natural Science Foundation of China（52105098，51777075）;河北省自然科學基金資助項目（E2021502038，E2019502064），Natural Science Foundation of Hebei Province（E2021502038，E2019502064）;中央高?；究蒲袠I(yè)務費專項資金資助項目（2020MS111），The Fundamental Research Funds for the Central Universities（2020MS111）

作者簡介：張雄（1990—），男，河北保定人，華北電力大學博士，碩士生導師

通信聯(lián)系人，E-mail：zxncepu@163.com