三項式xn-bx+a的二次不可約因式

吳華明

(湛江師范學院數(shù)學與計算科學學院，廣東湛江 524048)

三項式xn-bx+a的二次不可約因式

吳華明*

(湛江師范學院數(shù)學與計算科學學院，廣東湛江 524048)

三項式； 二次不可約因式； Lucas數(shù)； 本原素因數(shù)

設n是大于1的正整數(shù)，f(x)=xn-bx+a，其中a,b是非零整數(shù).三項式f(x)在有理數(shù)域的可約性和因式分解在代數(shù)學及其應用領域有著重要的意義[1].根據(jù)Gauss引理可知：如果f(x)在有理數(shù)域上可約，則f(x)可表成2個次數(shù)都小于n且首項系數(shù)等于1的整系數(shù)多項式的乘積(參見文獻[2]的定理1.13.2).本文主要討論f(x)的首項系數(shù)等于1的二次整系數(shù)不可約因式(以下簡稱二次因式)的存在性.對此，陳宏基[3]證明了：當b=1且n>512 880時，如果f(x)有二次因式，則必有

n≡2(mod 6),a=1,b=1,g(x)=x2-x+1.

(1)

(2)

上述結(jié)果的證明要用到有關代數(shù)數(shù)對數(shù)線性型的下界估計.這里應該指出：當a=1,b=-1,n≡5(mod 6)時，因為x3≡-1(modx2-x+1)，故有f(x)≡-x2+x-1≡0(modx2-x+1),由此可知文獻[5]遺漏了以下情況

n≡5(mod 6),a=-1,b=-1,g(x)=x2-x+1.

(3)

本文將運用有關Lucas數(shù)本原素因數(shù)的存在性方面的結(jié)果，修正并改進文獻[5]得到的下界，即證明了：

1 若干引理

設g(x)=x2-sx+t是整系數(shù)二次多項式，又設r=s2-4t.已知g(x)在有理數(shù)域上不可約的充要條件是r為非平方整數(shù).此時，g(x)有2個不同的根

(4)

對于非負整數(shù)k，設

(5)

引理1[6]設m是正整數(shù)，u和v是任意復數(shù).此時

對此，教師在平時的教學中可以讓學生在閱讀時養(yǎng)成積累寫作素材的好習慣，調(diào)動學生寫作的積極性，讓學生能夠在寫作的過程中大膽進行創(chuàng)新，展示自我，另外，教師也要對學生的寫作進行適當?shù)墓膭睿寣W生逐漸喜歡上寫作，培養(yǎng)其寫作的積極性，增加寫作和閱讀的熱情。

其中[m/2]表示m/2的整數(shù)部分，

都是正整數(shù).

引理2 設d=gcd(s,t).當k是正整數(shù)時，Lk(α,β)是適合

Lk(α,β)≡0(modd[k/2])

(6)

的非零整數(shù).

證明因為α≠β，所以當k是正整數(shù)時，Lk(α,β)≠0.由于d=gcd(s,t)，故有

r=dr1,s=ds1,t=dt1,

(7)

其中r1,s1,t1都是非零整數(shù).當k是奇數(shù)時，根據(jù)引理1，從式(4)可知

(8)

從式(7)和式(8)可知此時式(6)成立.當k是偶數(shù)時，k可表成k=2lk1，其中l(wèi)是正整數(shù)，k1是正奇數(shù).此時，因為

(9)

所以根據(jù)引理1也可推出式(6).證畢.

引理3f(x)有二次因式g(x)的充要條件是b=Ln(α,β).

引理3的證明可參見文獻[5]的引理3，在此略.

當gcd(s,t)=1且α/β不是單位根時，(α,β)稱為一個Lucas對.此時，Lk(α,β)稱為與Lucas對應的Lucas數(shù).當k是大于1的正整數(shù)時，如果Lk(α,β)的素因數(shù)p不能整除tL1(α,β)…Lk-1(α,β)，則稱p是Lk(α,β)的本原素因數(shù).

引理4 當k>30時，Lucas數(shù)Lk(α,β)必有本原素因數(shù).

引理5 如果p是Lucas數(shù)Lk(α,β)的本原素因數(shù)，則必有p≡±1(mod 2k).

引理4和引理5的證明可分別參見文獻[7]、文獻[8]，在此略.

2 定理的證明

設g(x)是f(x)的二次因式.根據(jù)文獻[5]中定理的證明過程以及本文的分析可知：當α/β是單位根時，n,a,b必定滿足式(1)、(2)或(3).因此，以下僅需考慮α/β不是單位根的情況.

設n是適合

(10)

的正整數(shù)，又設d=gcd(s,t).當d>1時，根據(jù)引理2可知

(11)

同時，從引理3可知

(12)

結(jié)合式(11)和(12)立得

(13)

與式(10)矛盾，故不可能.

當d=1時，(α,β)是Lucas對，Ln(α,β)是相應的Lucas數(shù).因為n>30，所以從引理4可知Ln(α,β)必有本原素因數(shù)p，故有

(14)

又從引理5可知p≥2n-1，故從式(14)立得

(15)

[1] 劉木蘭.數(shù)學在密碼中的某些應用[J].數(shù)學的實踐與認識，1986，16(3):47-55.

[2] 華羅庚.數(shù)論導引[M].北京：科學出版社，1979:19-20.

[3] 陳宏基.關于三項式xn-x-a的二次因式[J].數(shù)學雜志，2002，22(3):319-322.

CHEN Hongji.On the quadratic factorization ofxn-x-a[J].Journal of Mathematics,2002,22(3):319-322.

[4] 樂茂華.三項式xn-x-a的二次不可約因式[J].數(shù)學雜志，2004，24(6):635-637.

LE Maohua.The irreducible quadratic factor of the trinomialxn-x-a[J].Journal of Mathematics,2004,24(6):635-637.

[5] 楊仕椿.關于三項式xn-bx-a的二次整系數(shù)因式[J].南京大學學報:數(shù)學半年刊，2004，21(1):178-183.

YANG Shichun.On the intergral coefficient quadratic factorization ofxn-bx-a[J].Journal of Nanjing University:Mathematical Biquarterly,2004,21(1):178-183.

[6] LIDI R,NIEDERREITER H.Finite fields[M].Massachusetts: Addison-Wesley,1983:176-178.

[7] BILU Y,HANROT G,VOUTIER P M.Existence of primitive divisors of Lucas and Lehmer numbers[J].J Reine Angew Math,2001,539:75-122.

[8] LEHMER D H.An extended theory of Lucas’ functions[J].Ann Math,1930,31:419-448.

Keywords： trinomial； irreducible quadratic factor； Lucas number； primitive divisor

【責任編輯 莊曉瓊】

THEIRREDUCIBLEQUADRATICFACTORSOFTHETRINOMIALxn-bx+a

WU Huaming

(School of Mathematics and Computation, Zhanjiang Normal University, Zhanjiang, Guangdong 524048, China)

2010-06-01

國家自然科學基金項目(10771186,10971184)

*通訊作者,wuhuam3329@126.com

1000-5463(2011)02-0046-03

O156.7

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