蒙特卡洛方法計(jì)算圓周率

圓周率（Pi）是圓的周長與直徑的比值，一般用希臘字母π表示，是數(shù)學(xué)中最基本的常數(shù)之一。π也等于圓形之面積與半徑平方之比，是精確計(jì)算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵值。它是一個無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)。在日常生活中，通常都用3.14代表圓周率去進(jìn)行近似計(jì)算。這里我想問大家?guī)讉€問題：圓周率是誰發(fā)明的？從前的人們是怎樣推導(dǎo)出圓周率的呢？今天我們在Python中用一種概率算法“蒙特卡洛方法”來計(jì)算圓周率吧。

蒙特卡洛是一座位于歐洲摩納哥公國的賭城，這個地名也象征概率。蒙特卡洛方法是由大名鼎鼎的數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼在上世紀(jì)40年代參與美國研究原子彈的“曼哈頓計(jì)劃”時提出的。這個方法的原理是通過大量隨機(jī)樣本，去了解一個系統(tǒng)，進(jìn)而得到所要計(jì)算的值。

蒙特卡洛方法在計(jì)算圓周率時設(shè)一個正方形內(nèi)部相切一個圓，這時圓和正方形的面積之比是π/4。在這個正方形內(nèi)部，隨機(jī)產(chǎn)生n個點(diǎn)（這些點(diǎn)服從均勻分布），計(jì)算它們與中心點(diǎn)的距離是否大于圓的半徑，以此判斷是否落在圓的內(nèi)部。統(tǒng)計(jì)圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)，與n的比值乘以4，就是π的值。理論上，n越大，計(jì)算的π值越精確。

首先引入random庫和time庫，調(diào)用random和perf_counter，再編寫一個計(jì)時函數(shù)start用來計(jì)算得出圓周率所需要的時間，然后通過循環(huán)編寫模擬撒點(diǎn)代碼，讓計(jì)算機(jī)每次隨機(jī)生成兩個0到1之間的數(shù)（設(shè)圓的半徑為1），看以這兩個實(shí)數(shù)為橫縱坐標(biāo)的點(diǎn)是否在單位圓內(nèi)，因此我們實(shí)際只是計(jì)算了1/4圓，但不影響結(jié)果。通過生成一系列隨機(jī)點(diǎn)，統(tǒng)計(jì)單位圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)與總點(diǎn)數(shù)，當(dāng)隨機(jī)點(diǎn)獲取越多時，其結(jié)果越接近于圓周率。計(jì)算出結(jié)果后將圓周率和計(jì)算的時間輸出結(jié)果。

通過比較點(diǎn)到圓心的距離判斷點(diǎn)是否在圓內(nèi)，利用計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度，可以很快統(tǒng)計(jì)出多次撒點(diǎn)的結(jié)果，即使我們計(jì)算1000萬次，也只需要8.7秒（具體計(jì)算時間與計(jì)算機(jī)運(yùn)行速度相關(guān)）。根據(jù)運(yùn)算結(jié)果來看即使有這么大的數(shù)據(jù)量使用概率算法求出的π精度依然不夠高。