關(guān)于Kane難題的一種解決方案

張九鑄

(金昌市龍門學(xué)校 甘肅 金昌 737100)

1 引言

如圖1所示，質(zhì)量為m1,半徑為r1的均質(zhì)剛性球殼繞其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1，與剛性水平面進(jìn)行斜碰．碰撞之初，球殼的質(zhì)心速度為V01，與豎直的Oy軸負(fù)向的夾角為α，角速度ω01沿逆時(shí)針方向．球殼與水平面之間的碰撞恢復(fù)系數(shù)為e．再設(shè)上述各量能夠保證：球殼碰撞點(diǎn)的水平初速度為v0x>0，球殼在整個(gè)碰撞過程中受到方向不變的動(dòng)摩擦力且該力滿足庫侖摩擦定律，動(dòng)摩擦因數(shù)為fd．由平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)方程及恢復(fù)系數(shù)定義有

圖1 剛性球殼與剛性平面之間的碰撞

-fdIN=m1V1x-m1V01sinα

(1)

IN=m1V1y-m1(-V01cosα)

(2)

-r1fdIN=J1ω1-J1ω01

(3)

(4)

其中IN是球殼在整個(gè)碰撞過程中受到的支持力的沖量，V1和ω1分別是球殼在碰撞過程末的質(zhì)心速度和角速度，各矢量方向如圖1所示．聯(lián)立以上4式，可得到

V1x=V01[sinα-fd(1+e)cosα]

(5)

(6)

其中

系統(tǒng)在碰撞過程中的動(dòng)能損失為

(7)

將式(5)，式(6)代入式(7)，得到

(8)

取具體數(shù)值α=30°，e=0.7，fd=0.4，a=0.30．將這些數(shù)值代入式(8)，算得ΔEk<0，這顯然不符合能量守恒定律．出現(xiàn)此類結(jié)果的問題稱為Kane難題[1]．

上述問題中的運(yùn)動(dòng)初始條件是合理的，解答過程中所用其他定理和公式也是合適的，故Kane難題產(chǎn)生的原因，只能是用庫侖摩擦定律If=fdIN將法向沖量大小IN和動(dòng)摩擦力沖量大小If聯(lián)系起來這一點(diǎn)，進(jìn)一步講，僅由上述運(yùn)動(dòng)學(xué)條件(V01，α，ω01)、幾何條件(r1)、動(dòng)摩擦系數(shù)fd和恢復(fù)系數(shù)e這6個(gè)量無法確定球殼碰撞過程各階段的受力或各力之間關(guān)系，當(dāng)然也無法保證球殼在碰撞過程中始終受的是滿足庫侖摩擦定律Fτ=fdFN的動(dòng)摩擦力．實(shí)際上，在碰撞過程各階段，球殼與水平面之間的接觸力比較復(fù)雜．比如兩個(gè)彈性球體的碰撞，且接觸面是一個(gè)圓面，如圖2所示.

圖2 兩個(gè)彈性球之間的存在切向力時(shí)的接觸面

則碰撞過程中某些階段還可能出現(xiàn)這種情況：兩球之間的總法向力大小根據(jù)赫茲分布[2]應(yīng)為

(9)

而接觸面之間的總切向力可用公式[2]

(10)

計(jì)算．以上二式中的a為接觸面半徑，c為黏著區(qū)(該區(qū)域內(nèi)，兩球之間因分子間范德瓦耳斯力而相互吸引)半徑，c

鑒于此，筆者建議，仿照針對二碰撞點(diǎn)沿二剛體公法線的運(yùn)動(dòng)我們定義了可通過實(shí)驗(yàn)測定的恢復(fù)系數(shù)e，現(xiàn)在也可以定義一個(gè)絕對值小于等于1的并且也可以通過實(shí)驗(yàn)測定的“切向恢復(fù)系數(shù)k”，即二碰撞點(diǎn)的切向相對末速度與切向相對初速度之比．誠然，由式(10)和式(1)、(3)可知，式(7)中必然有

V1x≤V01x

ω1≤ω01

即ΔEk一定大于等于零．而由以上二式得到

V1x+r1ω1≤V01x+r1ω01

即圓球碰撞點(diǎn)的初、末速度滿足

為不失一般性，以下我們導(dǎo)出兩個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的剛性球碰撞過程中的、含參量k的動(dòng)能損失計(jì)算式，繼而找出關(guān)于k值的滿足能量守恒定律的范圍．

2 動(dòng)能定理的一種形式

設(shè)質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，其在dt時(shí)間內(nèi)的初、末速度分別為v0i和vi，合力(包括系統(tǒng)的內(nèi)力和外力)的沖量為Ii合，則由質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理，有

mi(vi-v0i)=Ii合

先用vi標(biāo)乘上式，再用v0i標(biāo)乘上式，然后將兩個(gè)結(jié)果相加，得到

(11)

將質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)的相似方程相加，得到系統(tǒng)的動(dòng)能損失為

(12)

上式中Ii已不再含有mi所受系統(tǒng)的內(nèi)力．

現(xiàn)在將式(12)運(yùn)用于兩個(gè)始終做平面運(yùn)動(dòng)的剛體的碰撞，且設(shè)只有一對碰撞點(diǎn)，如圖3所示．

圖3 二彈體的碰撞，單位矢量n和τ沿公法線和公切面

注意：同一剛體上所有內(nèi)力做功之和為零，故式(12)右端這時(shí)只針對兩個(gè)碰撞點(diǎn)．設(shè)碰撞初，二剛體角速度分別為ω01和ω02，二碰撞點(diǎn)速度分別為v01,v02；碰撞末，二剛體的角速度分別為ω1和ω2，二碰撞點(diǎn)速度分別為v1和v2；碰撞中二碰撞點(diǎn)受到的法向沖量分別為I1n和-I1n，切向沖量分別為I′1τ和-I′1τ，其中n和τ分別為法向單位矢量和切向單位矢量．則由式(12)得到

(13)

3 兩個(gè)均質(zhì)剛球在碰撞過程中的動(dòng)能損失

研究兩個(gè)均質(zhì)剛球的摩擦碰撞，如圖3所示．定義法向恢復(fù)系數(shù)、切向恢復(fù)系數(shù)分別為

(14)

代入式(13)，消去其中的末速度，得到

2ΔEk=-I1(1-e)(v01n-v02n)-
I′1(1+k)(v01τ-v02τ)

(15)

先求I1．設(shè)在碰撞過程中，球1質(zhì)心的初、末速度分別為V01和V1，球2質(zhì)心的初、末速度分別為V02和V2，系統(tǒng)的折合質(zhì)量為μ，則由兩體運(yùn)動(dòng)動(dòng)量定理，在n方向上有

I1=μ(v1n-v2n)-μ(v01n-v02n)

再用式(14)第一式將其改寫為

I1=-μ(1+e)(v01n-v02n)

(16)

再求I′1．由質(zhì)心系中的角動(dòng)量定理，對二剛球分別有

其中J1，J2分別是兩個(gè)圓球?qū)Ω髯灾睆降霓D(zhuǎn)動(dòng)慣量．以上二式分別乘以r1,r2，變?yōu)?/p>

(17)

由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，二剛球在τ方向上分別有

(18)

將式(17)第一式與式(18)第一式相加，將式(14)第二式與式(18)第二式相加，且考慮

V1τ+ω1r1=v1τ

V01τ+ω01r1=v01τ

V2τ+ω2r2=v2τ

和

V02τ+ω02r2=v02τ

分別得到

兩式相減，并且利用式(14)第二式，且令

(19)

得到

I′1=c(k-1)(v01τ-v02τ)

(20)

將式(16)、(20)代入式(15)，得到

(21)

4 k值的范圍及物理意義

由式(21)可知：因?yàn)?≤e≤1，所以，要恒有ΔEk≥0，則k值必須滿足

-1≤k≤1

(22)

式(22)是式(21)成立的必要條件，即式(22)是能量守恒對k值的限制結(jié)果．我們以二剛體沿n方向做對心的完全彈性(e=1)碰撞的情形為例，來考查式(22)的物理意義．當(dāng)k=1時(shí)，由式(14)第二式，這表示碰撞過程中二碰撞點(diǎn)在τ方向上的相對速度不變，即二圓球在碰撞中不受切向力，當(dāng)然有ΔEk=0．當(dāng)k=0時(shí)，二碰撞點(diǎn)在τ方向上的末相對速度為零，這類似于n方向上的完全非彈性碰撞，這時(shí)ΔEk最大．當(dāng)k=-1時(shí)，表示二碰撞點(diǎn)在τ方向上的末相對速度與初相對速度等大而反向，這說明二圓球之間的切向力保證了二碰撞點(diǎn)在τ方向上無相對運(yùn)動(dòng)，且該方向上的碰撞過程類似于n方向上的完全彈性碰撞，故

ΔEk=0