淺談一道代數(shù)題的一題多解

余國(guó)勝

[摘? ? ? ? ? ?要]? 用四種不同的方法給出了一道代數(shù)題的解法，能夠幫助學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和運(yùn)用，達(dá)到觸類旁通、舉一反三的目的.

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 上三角形矩陣;逆矩陣;一題多解

[中圖分類號(hào)]? G642? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）36-0158-02

本文討論一道代數(shù)題：上三角形矩陣的逆矩陣仍為上三角形矩陣.運(yùn)用四種不同的方法證明這樣的結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生在尋找不同解法的過(guò)程中深化對(duì)書本知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí).通過(guò)一題多解，可以提高學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的領(lǐng)悟力，有效激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維，提升綜合解決問(wèn)題的能力.具體來(lái)說(shuō)：B=（bij）是上三角形矩陣，設(shè)C=（cij）是它的逆矩陣，則C是上三角形矩陣.

一、四種不同的證明

方法1.直接按定義求

考查BC=E的第j列的第j+1，j+2，...n個(gè)元素，則有

bj+1，1c1j+bj+1，2c2j+…+bj+1，jcjj+bj+1，j+1cj+1，j+bj+1，j+2cj+2，j+…+bj+1，ncnj=0，

bj+2，1c1j+bj+2，2c2j+…+bj+2，j+1cj+1，j+bj+2，j+2cj+2，j+…+bj+2，ncnj=0，

…

bn-1，1c1j+bn-1，2c2j+…+bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=0，

bn1c1j+bn2c2j+…+bn，n-1cn-1，j+bnncn，j=0.

由于i>j時(shí)，bij=0，即bnj=…=bj+1，j=0.故有

bj+1，j+1cj+1，j+bj+1，j+2cj+2，j+…+bj+1，n-1cn-1，j+bj+1，ncnj=0，

bj+2，j+2cj+2，j+…+bj+2，n-1cn-1，j+bj+2，ncnj=0，

…

bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=0，

bnncn，j=0.

B是可逆的上三角形矩陣，B=b11b22…bnn≠0.所以bii≠0，i=1，2，…，n.要證明C是上三角形矩陣，只需驗(yàn)證任意j

bn-1，n-1cn-1，j+bn-1，ncn，j=bn-1，n-1cn-1，j=0.

由bn-1，n-1≠0得cn-1，j=0.這樣從后面式子到前面式子可依次推出

cnj=cn-1，j=…=cj+1，j=0.

所以對(duì)任意i>j，有cij=0，即C是上三角形矩陣，后面的三種方法都需要借助下面的引理：

引理：兩個(gè)上三角形矩陣的乘積仍是上三角形矩陣.

證明：設(shè)B=（bij），C=（cij）均為上三角形矩陣，即當(dāng)i>j時(shí)有bij=cij=0，令A(yù)=BC=（aij），證明當(dāng)i>j時(shí)有aij=0.

aij=bi1c1j+bi2c2j+…+bi，i-1ci-1，j+biicij+…+bincnj.

它的前i-1項(xiàng)中有

bi1=bi2=…=bi，i-1=0.

而后面的項(xiàng)中有cij=…=cnj=0，因此它的每一項(xiàng)皆為零，故當(dāng)i>j時(shí)有aij=0.

方法2.用分塊運(yùn)算和數(shù)學(xué)歸納法證明

對(duì)n作數(shù)學(xué)歸納法，n-1顯然成立.設(shè)對(duì)于n-1階上三角形矩陣的逆矩陣結(jié)論成立，對(duì)n階上三角形矩陣B來(lái)證明它的逆也是上三角形的，將B寫成如下的分塊矩陣：

B=b11 β0? B1，

其中b11≠0，B1是n-1階上三角形可逆矩陣，由歸納假設(shè)，B1-1仍是上三角形的.作如下乘積

b11-1? 0 0? ?B1-1b11? β 0? B1=1 b11-1β0 En-1，

1 -b11-1β0? En-11 b11-1β0 En-1=1? 00 En-1=En，

于是

B-1=1 -b11-1β0? En-1b11-1? 0 0? ?B1-1.

上面兩個(gè)矩陣皆為上三角形矩陣，根據(jù)引理，B1-1仍是上三角形的.

方法3.用線性變換的思想

由于B是上三角形可逆矩陣，則b11≠0，則可以通過(guò)若干次初等列變換使得

b12=b13=…=b1n=0.

初等列變換相當(dāng)于右乘了一個(gè)上三角形初等矩陣.此時(shí)所得矩陣b22≠0，則可以通過(guò)若干次初等列變換使得

b23=b24=…=b2n=0.

…

依次類推通過(guò)一系列初等列變換可以把A變?yōu)閷?duì)角矩陣，最終變?yōu)閱挝痪仃?，由引理，B-1仍是上三角形的.

方法4.用哈密頓-凱萊定理

設(shè)B是一個(gè)上三角形可逆矩陣，f（λ）=λE-B是B的特征多項(xiàng)式，則

f（B）=Bn-（b11+b22+…+bnn）Bn-1+…+bB+（-1）nBE=0.

即B（Bn-1-（b11+b22+…+bnn）Bn-2+…+bE）=（-1）n+1BE.

由于B≠0，再根據(jù)引理

B-1=（Bn-1-（b11+b22+…+bnn）Bn-2+…+bE）.

二、結(jié)論

本文從定義、數(shù)學(xué)歸納法、線性變換和哈密頓-凱萊定理證明了上三角形矩陣的逆矩陣仍為上三角形矩陣.由此可見，掌握一題多解有助于線性代數(shù)的概念的理解和運(yùn)用.因此，教師在線性代數(shù)教學(xué)中，應(yīng)該有針對(duì)性地對(duì)學(xué)生進(jìn)行一題多解的專項(xiàng)訓(xùn)練.

參考文獻(xiàn)：

[1]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2019.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)輔導(dǎo)與習(xí)題解答[M].北京：高等教育出版社，2007.

[3]高云峰，楊麗娟.線性代數(shù)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2015.

[4]王侃民.線性代數(shù)[M].上海：同濟(jì)大學(xué)出版社，2005.

◎編輯 魯翠紅